Faktorisering

Delar vi upp uttrycket i konstanter och variabler får vi 100ab=100* a* b. Vi fortsätter uppdelningen genom att primtalsfaktorisera 100.

Nej, det är inte en primtalsfaktorisering. Även om 100 inte kan delas upp i mindre faktorer så vet vi inte vilka tal som gömmer sig bakom variablerna. De kan vara primtal eller så kan de vara sammansatta tal. Därför kan man inte säga talet har primtalsfaktoriserats.

Faktorisera så långt som möjligt innebär att vi delar upp talen i så små faktorer som möjligt. Talen primtalsfaktoriserar vi och potenserna skriver vi som upprepad multiplikation: 2 * 2 * 3* x * x * x+2 * 2 * 7 * x. Den största möjliga faktorn är 4x. Låt oss bryta ut detta.

Eftersom både 4 och 10 är jämna tal kan vi bryta ut faktorn 2.

2x och 5 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.

20 och 12 är jämna tal så faktorn 2 kan brytas ut från båda. De innehåller också faktorn x så vi börjar med att bryta ut termen 2x.

Vi kan faktorisera ytterligare. 10 och 6 också är jämna tal, så vi kan bryta ut ytterligare en tvåa.

5x och 3 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.

Termerna i uttrycket har delar faktorn x. Vi bryter ut det.

Ingen av termerna i parentesen har någon gemensam faktor så nu kommer vi inte längre.

För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut faktoriserar vi båda termer och identifierar vilka faktorer som är gemensamma.

När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller en 5:a så vi kan bryta ut denna ur uttrycket.

Vi gör på samma sätt igen och börjar med att bryta ner termerna i faktorer.

När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller två 2:or som vi kan bryta ut ur uttrycket. Vi multiplicerar dock ihop dem först så att vi bryter ut talet 4.

Vi bryter ner termerna i faktorer.

När båda termer bryts ner i faktorer ser vi att båda innehåller tre 3:or så vi kan bryta ut dessa i uttrycket. För att göra saker lite enklare att hantera multiplicerar först vi ihop dem till talet 27.

Båda termer innehåller faktorn x, så vi bryter ut den.

När vi ska faktorisera ett uttryck börjar vi med att undersöka termerna för att se om de har någon faktor gemensam. 9, 6 och 12 är alla delbara med 3 så vi kan bryta ut en trea.

För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut delar vi upp båda termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Vi ser minustecknet som faktorn - 1.

Vi ser att de gemensamma faktorerna är 3 och x, så vi bryter ut 3x.

Nu sätter vi in x=- 5 i uttrycket och förenklar.

Vi börjar med att dela upp termerna i faktorer. För talet 5 kan det verka som att 5 är den enda faktorn, men det finns även en faktor 1 i alla tal. Oftast brukar man inte skriva ut den när man delar upp tal och uttryck i faktorer, men i det här fallet måste vi göra det för att se vad som blir kvar när vi bryter ut femman.

Det faktoriserade uttrycket blir 5(2x + 1) och vi kan se att det blir en etta kvar där femman fanns tidigare.

Nu när vi bryter ut x ur x - x^2 måste vi tänka på samma sätt som i förra uppgiften, alltså att faktorn 1 finns i termen x.

Vi ser igen att när vi bryter ut en hel term blir 1 kvar, och det faktoriserad uttrycket är x(1-x).

För att bryta ut den största möjliga faktorn delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga utbrytbara faktorn.

7, x och y finns i alla termer så vi kan bryta ut 7xy.

Samma sak en gång till. Vi delar upp termerna i faktorer och identifierar de som är gemensamma för alla.

Den största gemensamma faktorn är alltså 4n.

För att identfiera vad som kan brytas ut delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma för alla termer. Det räcker alltså inte att en faktor återfinns i två av termerna utan den måste finnas i alla om den ska brytas ut.

Vi ser att 2, 3 och a är faktorer som finns i alla tre termer och dessa kan brytas ut. Men kombinationer av dessa kan också brytas ut: 2 * a=2a, 2* 3=6, 3 * a=3a, 2 * 3 * a=6a Svaret är alltså att faktorerna 2, 3, a, 2a, 6, 3a och 6a kan brytas ut ur uttrycket.

Vi gör samma sak igen och delar upp termerna i faktorer.

Tittar vi i tabellen ser vi att det inte finns någon faktor som är gemensam för alla tre termer och därför kan vi inte bryta ut något ur uttrycket.

Vi kommer att distribuera faktorn 6 till varje term inom parentesen. Därefter kommer vi att kombinera termer av samma slag för att förenkla uttrycket.

Uttrycket förenklades till a-b+8.

Vi kan t.ex. bryta ut faktorn 2 vilket gör att både första och sista termen inuti parentesen blir heltal: 2x^2+5x+10=2(x^2+ +5). Men hur blir det med mittentermen 5x? Multiplicerar vi in 2 i parentesen ska vi få 5x. Låt oss då kalla parentesens mittenterm för m och ställa upp ekvationen 2* m=5x. Vi löser ut m för att bestämma mittentermen.

Mittentermen ska vara 52x. Nu kan vi färdigställa faktoriseringen: 2(x^2+5/2x+5). På samma sätt skulle vi kunna bryta ut 5, vilket skulle ge heltal framför den andra och tredje termen innanför parentesen. Om man löser ut den första termen på samma sätt som ovan får vi att det faktoriserade uttrycket då blir 5(2/5x^2+x+2).

Om decimaltecknet i ett tal flyttas ett steg åt vänster innebär det att man delar talet med 10. Flyttar vi decimaltecknet ett steg åt höger innebär det istället att man multiplicerar talet med 10, dvs. 29,2/10=2,92 och 1,3* 10=13. Detta innebär att talet 2,92* 13 kan skrivas som 29,210* 1,3* 10 . Eftersom vi multiplicerar och dividerar med 10 i samma tal så tar dessa tior ut varandra.

Vi ser att 2,92* 13 kan skrivas om som 29,2* 1,3, vilket vi från uppgiftstexten vet är lika med 37,96. Alltså är 2,92* 13 också lika med 37,96.