1. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion fokuserar på att lösa geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Den förklarar hur man kan beräkna avståndet och mittpunkten mellan två punkter med hjälp av deras koordinater. Detta görs genom att använda avståndsformeln för att beräkna avståndet och mittpunktsformeln för att bestämma mittpunkten. Lektionenen inkluderar exempel och förklaringar som illustrerar hur dessa formler kan användas i praktiken, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 3 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 3
Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.
Regel
Avstånds- och mittpunktsformlerna
För två punkter (x1,y1) och (x2,y2) i ett koordinatsystem kan avståndet, d, mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Mittpunkten, (xm,ym), mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.
xm=2x1+x2ochym=2y1+y2
Exempel
Bestäm avståndet och mittpunkten mellan punkterna
Beräkna avståndet mellan punkterna. Bestäm också mittpunktens koordinater. Avrunda till två decimaler.
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.
Exempel
Avståndet
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SubstitutePoints
Sätt in (−6,4) & (6,−8)
d=(−6−6)2+(4−(−8))2
SubTerm
Subtrahera term
d=(−12)2+(4−(−8))2
SubNeg
a−(−b)=a+b
d=(−12)2+122
CalcPow
Beräkna potens
d=144+144
AddTerms
Addera termer
d=288
UseCalc
Slå in på räknare
d=16.97056…
RoundDec
Avrunda till 2 decimal(er)
d≈16.97
Avståndet mellan punkterna är alltså cirka 16.97 le.
Exempel
Mittpunkten
xm=2x1+x2
SubstituteII
x1=−6 och x2=6
xm=2−6+6
AddTerms
Addera termer
xm=20
CalcQuot
Beräkna kvot
xm=0
ym=2y1+y2
SubstituteII
y1=4 och y2=−8
ym=24+(−8)
AddNeg
a+(−b)=a−b
ym=2−4
CalcQuot
Beräkna kvot
ym=−2
Mittpunkten är alltså (0,−2).
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Övningar
Beräkna avståndet mellan punkterna A och B. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["\\sqrt{320}","8\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna sträckan mellan A och B använder vi avståndsformeln. Vi ser att A har x-koordinaten - 2 och B har y-koordinaten - 13. För att använda avståndsformeln behöver vi veta punkternas båda koordinater.
Punkt A
Vi sätter in x=- 2 i funktionen och förenklar.
Första punkten ligger i koordinaterna (- 2,3).
Punkt B
Vi likställer y med - 13 och löser ut x.
Eftersom punkten ligger till höger om y-axeln är x positiv.
Avståndet mellan punkterna är sqrt(320) le.
security
report
code
På linjen y=2x finns en punkt P vars avstånd till origo är 24 längdenheter. Beräkna punkten P:s x-koordinat, x>0. Svara exakt.
Nationella provet HT98 MaB
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{24}{\\sqrt{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Avståndet från origo till P är 24 längdenheter. Vi vet även att P ligger på linjen y=2x. Det betyder att för varje x-koordinat kan man beräkna y-koordinaten genom att multiplicera x med 2. Koordinaterna för P kan därför skrivas (x,2x).
Vi sätter in punkterna (x, 2x) och (0, 0) i avståndsformeln och förenklar.
Eftersom avståndet till P är 24 le. är d=24. Vi sätter in det och löser ut x.
x-koordinaten är alltså 24sqrt(5).
security
report
code
En cirkel med radien 4 le. är inskriven i ett koordinatsystem. En godtycklig punkt (x,y) på cirkelns rand är markerad.
x2+y2=16?
Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi vet att cirkelns radie är 4 le. följer att avståndet mellan origo och alla punkter på randen är lika med 4. Det betyder alltså att avståndet från origo till den generella punkten (x,y) också är lika med 4.
Då kan vi ställa upp ett samband genom att använda avståndsformeln för punkterna (0,0) och (x,y).
likheten gäller alltså.
security
report
code
Två tåg åker lika snabbt mot varandra på en raksträcka i närheten av Norrköping. Det ena tåget befinner sig 58 km norr och 22 km väster om Norrköping samtidigt som det andra tåget befinner sig 36 km öster och 10 km söder om staden. Vad är avståndet från Norrköping när de två tågen möts?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["25"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att tolka tågens position som punkter i ett koordinatsystem. Vi låter Norrköping vara i origo och väljer sedan att norr är uppåt längs med y-axeln. Då kommer platser norr om Norrköping ha positiva y-värden och platser till söder ha negativa y-värden. På samma sätt blir platser till öster och väster om staden positiva respektive negativa på x-axeln.
Vi vet att det första tåget är 58 km norr och 22 km väster om Norrköping, vilket kan tolkas som koordinaterna (- 22, 58) medan det andra tåget är 36 km öster och 10 km söder om staden, vilket ger koordinaten (36, - 10). Om de färdas mot varandra med samma hastighet på en raksträcka kommer de att mötas i mittpunkten mellan dessa punkter. Den kan vi räkna ut den med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.
Vi räknar sedan ut y-koordinaten.
Vi får mittpunkten (7,24). Tågen kommer alltså att mötas 7 km norr och 24 km öster om Norrköping.
Vi vill nu veta avståndet från den punkten till Norrköping. Vi definierade koordinatsystemet så att staden ligger i origo, så vi använder avståndsformeln för de två punkterna (0,0) och (7,24).
Tågen möts alltså 25 km från Norrköping.
security
report
code
En cirkel med radien a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.
Bestäm den mindre cirkelns radie.
Nationella provet VT15 2a/2b/2c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a(\\sqrt{2}-1)"]}}
security
report
code
security
report
code
Mittpunkten på den stora cirkeln ligger i punkten (a,a). Genom att beräkna avståndet från origo till denna punkt kan vi bestämma summan av radierna.
Vi skapar ett uttryck för avståndet genom att sätta in (0,0) och (a,a) i avståndsformeln.
Summan av cirklarnas radier är alltså sqrt(2)a. Den mindre cirkelns radie är denna summa minus den stora cirkelns radie, dvs. a. Vi ställer upp denna differens och förenklar.
Den mindre cirkelns radie kan alltså uttryckas a(sqrt(2)- 1).
security
report
code
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll