Avstånds- och mittpunktsformlerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.

Regel

Avstånds- och mittpunktsformlerna

För två punkter (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2)(x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet, d,d, mellan dem beräknas med avståndsformeln.

d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Mittpunkten, (xm,ym),(x_m, y_m), mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.

xm=x1+x22ochym=y1+y22x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{och} \quad y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}
Uppgift

Beräkna avståndet mellan punkterna. Bestäm också mittpunktens koordinater. Avrunda till två decimaler.


Lösning

Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.

De är (-6,4)(\text{-}6,4) och (6,-8).(6,\text{-}8).

Exempel

Avståndet

Vi sätter in koordinaterna i avståndsformeln.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(-66)2+(4(-8))2d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{\text{-}6}}-{\color{#009600}{6}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{4}}-\left({\color{#009600}{\text{-}8}}\right)\right)^2}
d=(-12)2+(4(-8))2d=\sqrt{(\text{-}12)^2+(4-(\text{-}8))^2}
d=(-12)2+122d=\sqrt{(\text{-}12)^2+12^2}
d=144+144d=\sqrt{144+144}
d=288d=\sqrt{288}
d=16.97056d=16.97056\ldots
d16.97d\approx16.97

Avståndet mellan punkterna är alltså cirka 16.97 le.

Exempel

Mittpunkten

Nu använder vi mittpunktsformeln för xx- och yy-koordinaterna.
xm=x1+x22x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}
x1=-6x_1={\color{#0000FF}{\text{-}6}}, x2=6x_2={\color{#009600}{6}}
xm=-6+62x_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-}6}}+{\color{#009600}{6}}}{2}
xm=02x_m=\dfrac{0}{2}
xm=0x_m=0
xx-koordinaten för mittpunkten är 0.0. Nu beräknar vi yy-koordinaten.
ym=y1+y22y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}
y1=4y_1={\color{#0000FF}{4}}, y2=-8y_2={\color{#009600}{\text{-}8}}
ym=4+(-8)2y_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}+({\color{#009600}{\text{-}8}})}{2}
ym=-42y_m=\dfrac{\text{-}4}{2}
ym=-2y_m=\text{-}2

Mittpunkten är alltså (0,-2).(0,\text{-}2).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}