Trigonometri

Sinussatsen

Teori

Sinussatsen

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Enligt regeln är kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man beräknar kvoten av.

sin(A)a=sin(B)b=sin(C)c\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}

AA, BB och CC är triangelns vinklar medan a,a, bb och cc är respektive vinkels motstående sida.

Sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller okänd sida. Var uppmärksam på att man kan få två lösningar när man bestämmer en vinkel, eftersom det finns två vinklar med samma sinusvärde på intervallet 0v180,0^\circ\leq v\leq180^\circ, och att man måste kontrollera om båda dessa vinklar är rimliga. Satsen kan även skrivas om så att vinklarnas sinusvärden står i nämnaren. asin(A)=bsin(B)=csin(C) \dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}=\dfrac{c}{\sin(C)}

Detta skrivsätt är användbart när man ska bestämma en okänd sida, eftersom beräkningarna blir färre.

Bevis

Bevis för sinussatsen

Exempel

Bestäm sidan med sinussatsen

Bestämma vinklar med sinussatsen

När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna XX och YY i triangeln XYZXYZ när man vet att motstående sida till XX är x=10x=10 mm och att Z=30Z=30 ^\circ är motstående vinkel till sidan z=7z=7 mm.

Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna xx och zz samt vinkeln Z.Z. Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen för att bestämma vinkel XX: sin(X)10=sin(30)7. \dfrac{\sin(X)}{10}=\dfrac{\sin(30^\circ)}{7}.

Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.

sin(X)10=sin(30)7\dfrac{\sin(X)}{10}=\dfrac{\sin(30^\circ)}{7}
sin(X)=10sin(30)7\sin(X)=\dfrac{10\sin(30^\circ)}{7}
sin(X)=10127\sin(X)=\dfrac{10\cdot\frac{1}{2}}{7}
sin(X)=57\sin(X)=\dfrac{5}{7}
X=arcsin(57)X=\arcsin\left(\dfrac{5}{7}\right)
X=45.58469X=45.58469^\circ \ldots
Avrunda till närmaste heltal
X46X \approx 46^\circ

Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: X46.X \approx 46^\circ. Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, Y,Y, är 1803046=104.180^\circ-30^\circ-46^\circ=104^\circ.

Enligt sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v) finns det två vinklar i intervallet 0<v<1800^\circ<v<180^\circ som ger samma sinusvärde. Vinkeln som ger samma sinusvärde som sin(46)\sin(46^\circ) är 18046=134. 180^\circ-46^\circ=134^\circ. Både X=46X=46^\circ och X=134X=134^\circ är alltså lösningar på ekvationen sin(X)10=sin(30)7.\frac{\sin(X)}{10}=\frac{\sin(30^\circ)}{7}. Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln XX är 134134^\circ. Vi kontrollerar detta geometriskt.

För att undersöka om 134134^\circ är en möjlig lösning, dvs. om den kan vara med och spänna upp triangel XYZ,XYZ, kontrollerar man om summan av 134134^\circ och 3030^\circ är mindre än triangelns vinkelsumma: 134+30=164. 134^\circ+30^\circ=164^\circ. Eftersom summan av vinklarna är mindre än 180180^\circ finns det "grader över" till triangelns sista vinkel, Y,Y, vilken kommer vara 18030134=16.180^\circ-30^\circ-134^\circ=16^\circ.

Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än 180180^\circ skulle vi inte kunna bilda en triangel där X=134X=134^\circ och Y=16.Y=16^\circ. Då hade triangeln där X=46X=46^\circ och Y=104Y=104^\circ varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar: X=46 och Y=104ellerX=134 och Y=16.\begin{aligned} X=46^\circ&\text{ och }Y=104^\circ\\[0.7em] &\text{eller}\\[0.7em] X=134^\circ&\text{ och }Y=16^\circ. \end{aligned}

Exempel

Bestäm vinkeln med sinussatsen