{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Aritmetik

Potenser

Teori

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation av ett tal, t.ex. kan 7777 \cdot 7 \cdot 7 skrivas som 73.7^3. Detta uttryck kallas alltså för en potens där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

Potenser1.svg

737^3 utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten 33 anger att basen 77 multipliceras tre gånger. I nedanstående tabell syns ett par till exempel.

121212=123 12\cdot 12\cdot 12=12^3 1212 upphöjt till 33
2222=24 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4 22 upphöjt till 44
66666=65 6\cdot 6\cdot 6 \cdot 6 \cdot 6=6^5 66 upphöjt till 55
När exponenten är 22 utläser man den ibland som "i kvadrat", exempelvis kan 828^2 utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen 838^3 utläsas "åtta i kubik".

Digitala verktyg

Potenser på räknare
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: \wedge. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
TI-beräkning som visar potens

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2x^2 för att upphöja det till 2.2.

TI-beräkning som visar kvadrering
Visa mer

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Multiplikation och division av potenser

Regel

abac=ab+ca^b\cdot a^c=a^{b+c}
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att addera exponenterna. Enligt regeln är 23222^3\cdot 2^2 lika med 23+2=25.2^{3+2}=2^5. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
23222^3 \cdot 2^2
Dela upp i faktorer
(222)(22)(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)
222222 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
252^5
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.
Visa mer

Regel

abac=abc\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln, blir divisionen av 363^6 och 343^4 lika med 364=323^{6-4}=3^2. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
3634\dfrac{3^6}{3^4}
Dela upp i faktorer
3333333333\dfrac{3\cdot 3\cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3}
333\cdot3
323^2
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och cc, men inte om a=0.a=0. Då blir uttrycket odefinierat.
Visa mer

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(ab)c=abc\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}
Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är (52)3\left(5^2\right)^3 lika med 523=56.5^{2\cdot3}=5^6. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
(52)3\left(5^2\right)^3
a3=aaaa^3=a\cdot a\cdot a
5252525^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2
a2=aaa^2=a\cdot a
5555555\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5
565^{6}
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.
Visa mer

Regel

(ab)c=acbc(ab)^c=a^c b^c
När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är (25)3\left(2\cdot 5\right)^3 samma sak som 2353.2^3\cdot 5^3. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
(25)3\left(2\cdot 5\right)^3
a3=aaaa^3=a\cdot a\cdot a
(25)(25)(25)(2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5)
2525252\cdot 5 \cdot 2\cdot 5 \cdot 2\cdot 5
2225552\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 5
aaa=a3a\cdot a\cdot a=a^3
23532^3\cdot 5^3
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.
Visa mer

Regel

(ab)c=acbc\left(\dfrac{a}{b}\right)^c=\dfrac{a^c}{b^c}
När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.
(65)4\left(\dfrac{6}{5}\right)^4
Dela upp i faktorer
65656565\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}
66665555\dfrac{6\cdot 6\cdot6\cdot6}{5\cdot 5\cdot5\cdot5}
6454\dfrac{6^4}{5^4}
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och c,c, men inte om b=0.b=0.
Visa mer

Potens med negativ exponent

Regel

a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}
När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5-3,5^{\text{-}3}, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 153.\frac{1}{5^3}. Denna motiveras genom att skriva -3\text{-}3 som t.ex. 474-7 och använda en av potenslagarna.
5-35^{\text{-}3}
5475^{4-7}
5457\dfrac{5^{4}}{5^{7}}
Dela upp i faktorer
55555555555\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}
1555\dfrac{1}{5\cdot5\cdot5}
aaa=a3a\cdot a\cdot a=a^3
153\dfrac{1}{5^3}
En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.
Visa mer

Specialfall

Det finns ett par specialfall som är bra att komma ihåg när man räknar med potenser.

Ur potenslagarna följer några vanliga fall, som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

0a=00^{a}=0

Potens med basen 0

En potens med basen 0, exempelvis 030^3, blir 0. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 0 med sig själv blir ju produkten alltid 0, t.ex. 03=000=0eller05=00000=0. 0^3=0\cdot0\cdot0=0 \quad \text{eller} \quad 0^5=0 \cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0.

Regeln gäller alltid, förutom när exponenten är 0, eftersom 000^0 är odefinierat.
Visa mer

Regel

1a=11^{a}=1

Potens med basen 1

En potens med basen 1 blir alltid 1. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 1 med sig själv blir ju produkten alltid 1, t.ex. 13=111=1och15=11111=1. 1^3=1\cdot1\cdot1=1 \quad \text{och} \quad 1^5=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1.

Regeln gäller för alla reella exponenter.
Visa mer

Regel

a0=1a^{0}=1

Potens med exponenten 0

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 404^0? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 22.2-2.

404^0
Skriv 0 som 222-2
4224^{2-2}
4242\dfrac{4^2}{4^2}
aa=1\dfrac{a}{a}=1
11
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 000^0. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202,\frac{0^2}{0^2}, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.
Visa mer

Regel

a1=aa^{1}=a

Potens med exponenten 1

En potens med exponenten 11 är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför: 75=7777774=777773=77772=7771=7\begin{aligned} 7^5&=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\\ 7^4&=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\\ 7^3&=7\cdot 7\cdot 7\\ 7^2&=7\cdot 7\\ 7^1&=7 \end{aligned}

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför a1=a.a^1=a.
Visa mer

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Exempel

Beräkna med potenslagarna

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare. 6369656-7 6^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

6369656-76^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}
636956-76^3\cdot6^{9-5}\cdot6^{\text{-}7}
Beräkna 959-5
63646-76^3\cdot6^{4}\cdot6^{\text{-}7}
63+476^{3+4-7}
606^0
a0=1a^0=1
11

Uttryckets värde är 1.1.

Visa mer

Uppgifter