Trigonometri

Enhetscirkeln

Teori

Enhetscirkeln

Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 11 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt PP röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel vv mellan den positiva xx-axeln och den radie som går ut till P.P. Om punkten rör sig medurs från positiva xx-axeln låter man vv vara negativ.

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln vv kan man bestämma koordinaterna, (x,y),(x,y), för punkten PP med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från PP till xx-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med xx-axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas, x,x, är lika med punktens xx-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln vv och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid 1,1, vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens xx-koordinat: cos(v)=Närliggande katetHypotenusa=x1=x. \cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{x}{1}=x. På motsvarande sätt kan punktens yy-koordinat uttryckas med definitionen för sinus: sin(v)=Motstående katetHypotenusa=y1=y. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{y}{1}=y. Generellt gäller för alla punkter (x,y)(x,y) på enhetscirkelns rand att xx-koordinaten är lika med cos(v)\cos(v) och att yy-koordinaten är sin(v).\sin(v).

x=cos(v)   och   y=sin(v)x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Trigonometriska samband

Med hjälp av definitionerna för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna tangens, sinus och cosinus.

Regel

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Regel

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)

Regel

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

Regel

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan 00^\circ och 180.180^\circ.

Vinkel vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef.
Vinkel vv 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt