Triangelsatserna som modeller

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Triangelsatserna är det gemensamma namnet för areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Sinus- och cosinussatsen anger samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel, medan areasatsen även innefattar triangelns area.

Begrepp

Areasatsen

Enligt areasatsen är en triangels area lika med produkten av två sidor och sinusvärdet för den mellanliggande vinkeln, delat med 2.2.

Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}

Begrepp

Sinussatsen

I en triangel är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida konstant. Detta kallas för sinussatsen.

sin(A)a=sin(B)b=sin(C)c\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}

Begrepp

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan triangelns samtliga sidor och en av vinklarna.

a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)

Uppgift

I figuren visas två trianglar. Den blå triangeln har arean 1212 ae.

Bestäm sidan xx och vinkeln v.v. Avrunda svaren till närmaste heltal.

Lösning

När man löser den här typen av problem är det bra att utgå ifrån vad man känner till och vad man söker. Utifrån detta väljer man sedan lämpliga samband eller satser.

Sidan xx

I den blå triangeln ska vi bestämma sidan x.x. Utifrån det vi vet kan vi använda areasatsen. Vi sätter alltså in värdena i satsen och löser ut x.x.
12=x7sin(59)212=\dfrac{x\cdot7 \sin(59^\circ)}{2}
24=x7sin(59)24=x\cdot7 \sin(59^\circ)
x7sin(59)=24x\cdot7 \sin(59^\circ)=24
x=247sin(59)x=\dfrac{24}{7 \sin(59^\circ)}
x=3.99988x=3.99988\ldots
Avrunda till närmaste heltal
x4x\approx4
Längden av xx är alltså ca 4 le.

Vinkeln vv

Nu till den gröna triangeln. Här känner vi till triangelns samtliga sidor och söker en vinkel. Vi kan inte använda sinussatsen eftersom den kräver två vinklar, men cosinussatsen passar bra eftersom problemet innefattar just triangelns samtliga sidor och en vinkel.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
62=82+1122811cos(v)6^2=8^2+11^2-2\cdot8\cdot11 \cos(v)
36=64+121176cos(v)36=64+121-176 \cos(v)
36=185176cos(v)36=185-176 \cos(v)
36+176cos(v)=18536+176 \cos(v)=185
176cos(v)=149176 \cos(v)=149
cos(v)=149176\cos(v)=\dfrac{149}{176}
v=arccos(149176)v=\arccos\left(\dfrac{149}{176} \right)
v=32.15720v= 32.15720\ldots ^\circ
Avrunda till närmaste heltal
v=32v=32 ^\circ
Vinkeln vv är alltså ca 32.32^\circ.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Triangulering

Triangulering är en metod för att bestämma avstånd som är svåra eller omöjliga att mäta direkt, t.ex. för att de är väldigt stora.

Metoden går ut på att mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma och sedan använda trigonometri, exempelvis sinus- eller cosinussatsen, för att beräkna något sökt avstånd. Triangulering används t.ex. för att mäta höjder på byggnader, avstånd till himlakroppar och för att fastställa GPS-positioner.
Uppgift

Vid en viss tidpunkt förhåller sig himlakropparna AA-DD till varandra som i bilden. Det är känt att avståndet mellan himlakropparna BB och CC är 62 astronomiska enheter (AE) och att vinklarna vid BB och CC i figuren är 5858^\circ respektive 73.73^\circ.

Bestäm avståndet xx mellan himlakropparna AA och D.D. Svara med två värdesiffror.

Lösning

Vi kan börja med att bestämma den tredje vinkeln, A,A, i triangeln ABCABC med hjälp av triangelns vinkelsumma: A=1805873=49. A=180^\circ-58^\circ-73^\circ=49^\circ. Sedan vill vi bestämma x,x, som är katet i de två rätvinkliga trianglarna ABDABD och ACD.ACD. Vi kallar hypotenusan i den vänstra av dessa för cc eftersom den är motstående till vinkeln C.C.

Vi bestämmer nu cc så att vi därefter kan räkna ut xx med definitionen för sinus. Längden av cc beräknas med sinussatsen eftersom vi känner till vinklarna AA och CC samt längden a.a.

sin(A)a=sin(C)c\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(C)}{c}
sin(49)62=sin(73)c\dfrac{\sin(49^\circ)}{62}=\dfrac{\sin(73^\circ)}{c}
sin(49)c=62sin(73)\sin(49^\circ)\cdot c=62 \cdot \sin(73^\circ)
c=62sin(73)sin(49)c=\dfrac{62 \cdot \sin(73^\circ)}{\sin(49^\circ)}
c=78.56120c=78.56120\ldots

Nu använder vi definitionen för sinus för att ställa upp uttrycket sin(58)=xc, \sin(58^\circ)=\dfrac{x}{c}, där vi sätter in värdet på cc och bestämmer x.x. För att undvika avrundningsfel behåller vi många decimaler för värdet på c.c.
sin(58)=xc\sin(58^\circ)=\dfrac{x}{c}
sin(58)=x78.56120\sin(58^\circ)=\dfrac{x}{{\color{#0000FF}{78.56120}}}
sin(58)78.56120=x\sin(58^\circ)\cdot 78.56120=x
x=sin(58)78.56120x=\sin(58^\circ)\cdot 78.56120
x=66.62368x=66.62368\ldots
x67x\approx 67
Avståndet mellan himlakropparna AA och DD är alltså ca 6767 AE. Om man slår upp värdet på 11 AE får man att det är ca 150 miljoner km, vilket innebär att avståndet xx är ca 1010 miljarder km.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}