Slumpförsök i flera steg

Vi kallar händelsen att få två sexor för A. Utöver den finns det ytterligare 35 utfall när man kastar tärningarna. P(A) ska vara 25 % större än sannolikheten för övriga utfall tillsammans. Om vi kallar sannolikheten att få något av de övriga utfallen för x blir P(A) lika med1,25x. Vi får följande ekvationer P(A)=1.25x och P(A^c)=x. Sannolikheten för händelsen och komplementhändelsen summerar till 1. Detta ger oss en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Nu kan vi bestämma sannolikheten förA genom att subtrahera sannolikheten för komplementhändelsen från 1: 1-4/9=5/9. När man beräknar sannolikheten för att två på varandra följande händelser ska inträffa multipliceras de ingående sannolikheterna. Om sannolikheten för att slå en sexa är p är sannolikheten för att slå två sexor p* p=p^2. Detta ska vara lika med 59.

Kastas en av tärningarna är sannolikheten för en sexa ca. 75 %.

Sannolikheten 1 % kan även skrivas som en hundradel: 1 %=1/100. Anta att sannolikheten är p att man vinner på ett snurr. Eftersom man snurrar hjulet två gånger blir sannolikheten att vinna två gånger i rad p* p = p^2 . Detta ska vara lika med 1100 vilket ger oss en ekvation.

Sannolikheten att vinna vid ett snurr är 110 och då måste vinstfälten tillsammans täcka en tiondel av hjulet: 360^(∘)/10 = 36^(∘). De fyra vinklarna ska alltså tillsammans utgöra 36^(∘). Alla är lika stora vilket betyder att 4v=36^(∘) ⇔ v=9^(∘).

Vi kallar händelsen att minst ett klassrum är upptaget för A.Komplementhändelsen A^c till detta är att alla klassrum är lediga. Om ett visst klassrum är upptaget fyra timmar under en skoldag är det ledigt 10-4=6 timmar varje dag dvs. 6/10=3/5 av dagen. Sannolikheten att ett visst klassrum är ledigt är därför 35. Multipliceras denna sannolikhet med sig själv nio gånger kan vi beräkna hur sannolikt det är att alla nio klassrum är ledig (A^c)=(3/5)^9 Vi beräknar sannolikheten för händelsen A med formeln för komplementhändelse.

Sannolikheten är cirka 99 % att minst ett klassrum är upptaget vid en godtycklig tidpunkt.

Den här uppgiften blir lättare att lösa om man gör ett träddiagram. Vi vet att 1 % av befolkningen bär på genen. Om man väljer en person slumpmässigt är därför sannolikheten att den personen är bärare (S) 1 %, eller 0,01. Sannolikheten för att man inte är bärare (F) är 99 %, eller 0,99.

Om man inte är bärare är sannolikheten att man får ett negativt resultat 95 %, eller 0,95. Sannolikheten att det blir positivt blir 0,05. Vi ritar in det i träddiagrammet.

Om man bär på genen är sannolikheten 98 % att man får ett positivt resultat. Därför är sannolikheten 2 % att det blir negativt. Vi skriver dessa sannolikheter som 0,98 och 0,02.

Hur kan man få ett positivt resultat på testet? Antingen har man genen och får ett korrekt positivt resultat eller har man den inte, men får ett falskt positivt svar. Det finns alltså två vägar i träddiagrammet.

Man kan alltså få ett positivt resultat på två sätt. Vi multiplicerar sannolikheterna längs med en väg och lägger sedan ihop sannolikheterna för varje väg. Det ger oss P(+)=0,99*0,05+0,01*0,98=0,0593. Sannolikheten att man får ett positivt resultat är alltså 0,0593 eller 5,93 %.

Nisse har fått ett positivt svar. Det betyder att vi endast är intresserade av de vägar i träddiagrammet som kan ge detta.

Eftersom vi vet att resultatet är positivt utgör dessa två vägar alla möjliga utfall. Vad är sannolikheten att man är bärare av genen och att testet ger ett positivt resultat?

Det kan ju bara ske på ett sätt (den rödmarkerade vägen) och vi multiplicerar sannolikheterna längs med den vägen: P(S och+)=0,01*0,98=0,0098. Detta är då det gynnsamma utfallet. Nu kan vi använda oss av sannolikhetsformeln, men istället för antal sätter vi in motsvarande sannolikheter istället. Sannolikheten för alla utfall (dvs. positivt resultat) beräknade vi i förra uppgiften.

Sannolikheten att Nisse bär på genen är alltså cirka 16,5 %.

Vi beräknar först antalet sifferkombinationer man kan prova. Det finns 10 möjliga siffror (0-9) att trycka in på tredje och 10 möjliga siffror på fjärde plats i koden. Detta ger totalt 10* 10 = 100 utfall. Vi kallar händelsen att man gissar båda siffror rätt på något försök för A. Då måste komplementhändelsen till detta A^c vara att man gissar fel alla tre gånger.

P(A^c)

Det finns 100 utfall. Av dessa är 1 rätt och 99 fel. Sannolikheten att du gissar fel första gången är därför P=99/100. Andra gången finns det 99 kombinationer kvar att testa. En av dem är rätt så sannolikheten att du gissar fel andra gången blir 9899. Tredje gången finns det 98 kombinationer kvar så sannolikheten att man gissar fel en tredje gång är 9798. Sannolikheten för tre fel är produkten av dessa sannolikheter.

Sannolikheten för A^c är alltså 0,97.

P(A)

Om man lägger ihop sannolikheterna för A och A^c blir summan 1. Eftersom vi precis bestämt P(A^c) kan vi nu beräkna P(A).

Sannolikheten att du gissar rätt kod på något försök är 3 %.

För att maximera sannolikheten vill vi täcka in så många utfall som möjligt. Vi delar upp lösningen i två fall. Först tittar vi på obligationsnummer som går att få både med individuella tärning och som en summa, dvs. 1-6. Andra fallet är de obligationer som bara kan vinna genom en summa, dvs. 7 - 12.

Obligationerna 1-6

Det är lika stor sannolikhet att minst en av de individuella tärningarna visar någon av siffrorna. Detta ser vi om vi t.ex. tittar på hur många utfall som ger att någon av tärningarna visar 1 (till vänster) respektive 2 (till höger).

Räknar vi de markerade rutorna ser vi att det finns 11 sätt att få minst en 1:a och lika många sätt att få en 2:a. Samma sak gäller för siffrorna 3-6. Eftersom sannolikheten är lika stor att få de individuella siffrorna är det endast intressant att titta på antal sätt att få summorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Ett går inte att få som en summa, men figuren visar de utfall som ger summorna 2-6.

Vi ser att 6 är den summa som går att få på flest sätt, nämligen fem. Totalt kan vi få 6 på 11 + 5 = 16 olika sätt. Alltså är obligation nr 6 bäst av de längre numrena.

Obligationerna 7-12

Dessa obligationsnummer går endast att få som summor. Vi sammanfattar antal fall i ett utfallsrum.

Den obligation som går att få på flest sätt av dessa är 7 (sex sätt). Men detta är fortfarande betydligt färre än antalet sätt vi kan få 6 på (16 sätt). Alltså är 6 den bästa obligationen.

Vi har redan konstaterat att obligation 6 kan vinna på 16 olika sätt, dvs. det finns 16 gynnsamma utfall och antal möjliga utfall är 36. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten att vinna med obligation 6 är alltså 44 %.

Vi kallar händelsen att minst två kollegor fyller år samma dag för A. Komplementhändelsen A^c blir att ingen av kollegorna delar födelsedag. Men hur beräknas komplementhändelsens sannolikhet?

Resonemang

Vi säger att kollega 1 fyller år en godtycklig dag av årets 365 dagar. Då kan kollega nummer två fylla år på någon av årets resterande 364 dagar. Sannolikheten att de inte fyller år på samma dag är alltså P(olika dagar)=365/365* 364/365. Men arbetsplatsen består av 18 kollegor så sannolikheten att alla fyller år på en egen dag, dvs. komplementhändelsen till A, blir P(A^c)=365/365*364/365*363/365*...* 348/365. Vi beräknar komplementhändelsens sannolikhet.

Till sist använder vi att summan av sannolikheterna för händelserna A och A^c är lika med 1.

Sannolikheten är ca 35 %.

Hälften av de anställda, dvs. 5602=280, svarade på första frågan och hälften svarade på andra. Om man väljer en person på måfå är sannolikheten 0,5 att hen fick svara på den första frågan och 0,5 att hen fick svara på den andra.

Vi kan anta att det inte är mer sannolikt att födas på en dag jämfört med en annan. Det finns sju dagar på en vecka så sannolikheten att man är född på en måndag-torsdag (dvs. Ja på första frågan) är 47. Sannolikheten att svara Nej på den första frågan blir därför 37.

Vi beräknar den totala andelen som svarade Nej på den första frågan genom att multiplicera sannolikheterna längs den vägen i träddiagrammet.

Det finns 560 personer på företaget och andelen är 314. Vi använder det för att beräkna Delen.

Vi uppskattar alltså att 120 personer svarade Nej på den första frågan. Eftersom det totalt var 288 Nej-svar innebär det att 288-120=168 svarade Nej på om de gillade fotboll.

168 personer av 280 svarade Nej på den andra frågan vilket ger andelen 168/280=0,6=60 %. Om 60 % svarade Nej på den andra frågan måste 40 % ha svarat Ja. Vi antar att denna andel är representativ för hela företaget vilket betyder att 40 % tycker om att titta på fotboll, dvs. 0,4*560=224 personer.

Vi kallar sannolikheten för att hjulet stannar på ett blått och rött fält för b respektive a. Vi ritar därefter ett träddiagram och markerar händelsen P(B,B,B).

Sannolikheten att lyckohjulet hamnar på tre blå fält är produkten av sannolikheterna längs den markerade grenen. P(B,B,B)=b* b* b=b^3. Vi vet att P(B,B,B) är 0,343 så vi likställer uttrycket med detta och löser ut b med hjälp av att dra tredje roten ur på räknaren.

Om sannolikheten att lyckohjulet stannar på ett blått fält är 0,7 måste sannolikheten att det stannar på ett rött fält vara 0,3. Vi kompletterar träddiagrammet med denna information.

Nu kan vi beräkna sannolikheten för händelsen P(R,R,R), alltså att hjulet bara stannar på rött. Denna händelse har markerats i träddiagrammet och vi får sannolikheten genom att multiplicera grenarna, dvs. genom att slå in 0,3 upphöjt till 3 på räknaren. P(R,R,R)=0,3^3=0,027 Sannolikheten att få rött tre gånger, och därmed förlora 10 miljoner kr, är alltså 0,027 vilket är lika med 2,7 %.