{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Oberoende händelser
- Beroende händelser
- Multiplikation av sannolikheter
- Addition av sannolikheter
- Träddiagram
- Utfallsmatris
Förkunskaper
Teori
Oberoende händelser
Två händelser A och B är oberoende händelser om förekomsten av en händelse inte påverkar förekomsten av den andra. Det sägs också att de är oberoende om och endast om sannolikheten att båda händelserna inträffar är lika med produkten av de individuella sannolikheterna.
P(A och B)=P(A)⋅P(B)
Varför
Till exempel, anta att en skål innehåller tre kulor, en grön, en orange och en blå. Låt G, B, och O vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.
Anta att kulorna dras en i taget och den första kulan byts ut innan den andra dragningen. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula, och sedan en orange kula?
I det här fallet finns det 9 möjliga utfall för att dra två kulor om kulorna dras en i taget och varje kula byts ut innan nästa dragning. Endast 1 av dessa utfall motsvarar händelsen att dra en grön kula först och sedan en orange kula.
GGGBGOBBBGBOOOOGOB
Därför är sannolikheten att först plocka en grön kula och sedan en orange kula 91.
P(fo¨rst G och sedan O)=91
Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse individuellt. Sannolikheten att först plocka en grön kula kan beräknas genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet möjliga utfall. Skålen innehåller 3 kulor totalt, varav 1 är grön. Efter att den första dragna kulan har bytts ut finns det återigen 3 kulor i skålen, varav 1 är orange.
P(G)=31P(O)=31
Eftersom sannolikheten för att båda händelserna inträffar är lika med produkten av de individuella sannolikheterna, är händelserna oberoende.
P(fo¨rst G och sedan O)91==P(G)31⋅⋅P(O)31
Teori
Beroende händelser
Två händelser A och B betraktas som beroende händelser om förekomsten av en av händelserna påverkar förekomsten av den andra. Om händelserna är beroende, är sannolikheten att båda händelserna inträffar lika med produkten av sannolikheten för att den första händelsen inträffar och sannolikheten för att den andra händelsen inträffar efter att den första händelsen har inträffat.
P(A och B)=P(A)⋅P(B givet A)
Varför
Till exempel, anta att en skål innehåller tre kulor, en grön, en orange och en blå. Låt G, B, och O vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.
Anta att kulorna dras en i taget och kulorna inte byts ut. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?
Som visas påverkas utfallet av den andra dragningen av utfallet av den första dragningen. Till exempel, om den orange kulan dras först, finns det inga orange kulor kvar. Därför är sannolikheten att dra en orange kula vid den andra dragningen 0. Som ett resultat finns det 6 möjliga utfall för att dra två kulor om de dras en i taget och utan att bytas ut.
GBBGOGGOBOOB
Av de 6 möjliga utfallen motsvarar endast 1 utfall att först dra den gröna kulan och sedan den orange kulan. Därför är sannolikheten för att detta inträffar 61.
P(fo¨rst G och sedan O)=61
Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse individuellt. Sannolikheten att först plocka en grön kula kan beräknas genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet möjliga utfall. Skålen innehåller 3 kulor totalt, varav 1 är grön.
P(G)=31
Om det är givet att den första dragningen är grön, finns det fortfarande 1 orange kula kvar i skålen. Det finns dock endast 2 kulor kvar totalt. Därför är sannolikheten att plocka den orangea kulan, givet att den första är grön, 21.
P(O given G)=21
Sammanfattningsvis är händelserna beroende eftersom förekomsten av den första händelsen påverkar förekomsten av den andra händelsen. Detta stöds ytterligare av regeln.
P(fo¨rst G och sedan O)61 =P(G)=31⋅⋅P(O givet G)21
Teori
Multiplikation av sannolikheter
När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse A och B, från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.
P(A och B)=P(A)⋅P(B)
Exempel
Vad är sannolikheten för två beroende händelser?
Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3\/51"]}}
Ledtråd
Analysera om händelserna att välja en spader första och andra gången är beroende eller oberoende. Multiplicera sedan deras sannolikheter.
Lösning
I en kortlek finns det 52 kort med 13 av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är
Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså 513.
P(Spader)=5213.
Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt 51 kort kvar varav 12 är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader
P(Spader, om 1:a spader)=5112.
Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.
5213⋅5112
MultFrac
Multiplicera bråk
52⋅5113⋅12
ReduceFrac
Förkorta med 13
4⋅5112
ReduceFrac
Förkorta med 4
513
Teori
Addition av sannolikheter
För två händelser, A och B, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.
P(A eller B)=P(A)+P(B)
Teori
Träddiagram
Ett träddiagram illustrerar alla möjliga utfall av ett experiment som involverar flera steg, som att kasta en tärning två gånger. Det består huvudsakligen av noder och grenar.
- Noder: Varje nod representerar ett visst utfall.
- Grenar: En gren kopplar samman två noder. Flera grenar kan sträcka sig från varje nod och visa olika möjligheter.
P(1 och 1)=361
Denna sannolikhet kan också hittas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra händelsen. Sannolikheten att slå en 1 på Kast 1 är 61. Detta är samma sannolikhet som att få en 1 på Kast 2.
Denna regel gäller endast när en händelse inte påverkar den andra — om sannolikheten för händelse A är P(A) och sannolikheten för händelse B är P(B), då är sannolikheten för att både A och B inträffar tillsammans produkten av deras individuella sannolikheter.
P(A och B)=P(A)⋅P(B)
Träddiagram hjälper till att hitta sannolikheter i flerstegade experiment. Att skriva sannolikheter på grenarna visar hur de kombineras. Genom att multiplicera sannolikheter längs grenarna kan sannolikheten för specifika utfall snabbt beräknas.Exempel
Beräkna sannolikhet med träddiagram
Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 1−8 och i det andra finns bokstäverna A–H.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3\/8"]}}
Ledtråd
Bestäm om händelserna är beroende eller oberoende. Hitta deras sannolikheter och beräkna sedan deras produkt.
Lösning
Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är 4 av de 8 siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är
För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:
P(U)=84=21.
På andra hjulet är 6 av de 8 bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är P(K)=86=43. P(U, K)=21⋅43=83.
Teori
Utfallsmatris
Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 2:a och en 5:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 2 gynnsamma utfall.
Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (2 st.) med antal möjliga (36 st.):
362≈0,06=6%.
Avslut
Sammanfattning
Den här lektionen introducerade begreppen oberoende och beroende händelser.
| Oberoende händelser | Beroende händelser |
|---|---|
| Förekomsten av en händelse påverkar inte förekomsten av den andra. | Förekomsten av en händelse påverkar förekomsten av den andra. |
| P(A and B)=P(A)⋅P(B) | P(A and B)=P(A)⋅P(B given A) |
Den behandlade också reglerna för multiplikation och addition av sannolikheter för två eller fler händelser. Slutligen visades användbara visualiseringstekniker, såsom ett träddiagram eller utfallsdiagram.
Laddar innehåll