body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

2. Slumpförsök i flera steg

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 4

Slumpförsök i flera steg

Lektionen går in på konceptet sannolikhet genom flera steg, med hjälp av träddiagram. Den förklarar hur man beräknar sannolikheter för beroende och oberoende händelser, som att dra kort från en kortlek eller slå mynt. Innehållet inkluderar exempel som att bestämma sannolikheten för att träffa ett mål med pilar, plocka färgade bollar från en skål eller få specifika utfall i tärningskast. Träddiagram används för att visualisera dessa flerstegs slumpmässiga experiment, och förklaringen ges om hur man multiplicerar sannolikheter längs grenarna för att hitta den totala sannolikheten för specifika utfall. Sidan inkluderar också övningar och lösningar, vilket gör den till en omfattande lektionen för att förstå sannolikhet i olika sammanhang.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	26 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Slumpförsök i flera steg

Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Oberoende händelser
Beroende händelser
Multiplikation av sannolikheter
Addition av sannolikheter
Träddiagram
Utfallsmatris

Teori

Oberoende händelser

Två händelser $A$ och $B$ är oberoende om den ena händelsens förekomst inte påverkar den andra. De är också oberoende om och endast om sannolikheten att båda inträffar är lika med produkten av deras individuella sannolikheter.

P (A och B) = P (A) \cdot P (B)

Varför

Till exempel — tänk dig att en skål innehåller tre kulor: en grön, en orange och en blå. Låt $G,$ $B$ och $O$ vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.

Anta att man drar en kula i taget, och att den första kulan läggs tillbaka innan den andra dragningen. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?

I det här fallet finns det $9$ möjliga utfall när man drar två kulor, en i taget, och lägger tillbaka den första innan nästa dragning. Bara $1$ av dessa utfall motsvarar händelsen att först dra en grön kula och sedan en orange kula.

G G G B G O B B B G B O O O O G O B

Därför är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula $\frac{1}{9} .$

P (f \ddot{o} rst G och sedan O) = \frac{1}{9}

Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse var för sig. Sannolikheten att först dra en grön kula får man genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet kulor. Skålen innehåller $3$ kulor, varav $1$ är grön. Eftersom kulan läggs tillbaka, finns det vid nästa dragning återigen $3$ kulor i skålen, varav $1$ är orange.

P (G) = \frac{1}{3} P (O) = \frac{1}{3}

Eftersom sannolikheten att båda händelserna inträffar är lika med produkten av deras individuella sannolikheter, är händelserna oberoende.

P (f \ddot{o} rst G och sedan O) \frac{1}{9} = = P (G) \frac{1}{3} \cdot \cdot P (O) \frac{1}{3}

Teori

Beroende händelser

Två händelser $A$ och $B$ kallas beroende om det att den ena inträffar påverkar sannolikheten för att den andra inträffar. Om händelserna är beroende, är sannolikheten att båda inträffar lika med produkten av sannolikheten att den första händelsen inträffar och sannolikheten att den andra händelsen inträffar efter att den första redan har hänt.

P (A och B) = P (A) \cdot P (B givet A)

Varför

Till exempel — anta att en skål innehåller tre kulor: en grön, en orange och en blå. Låt $G,$ $B$ och $O$ vara händelserna att dra den gröna, blå respektive orange kulan.

Anta att man drar kulorna en i taget och att de inte läggs tillbaka efter dragning. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?

Som du ser påverkas utfallet vid den andra dragningen av vad som hände vid den första. Till exempel — om den orange kulan dras först, finns det inga orange kulor kvar. Därför är sannolikheten att dra en orange kula vid den andra dragningen $0$ i det fallet. När kulorna dras en i taget utan att läggas tillbaka, finns det totalt $6$ möjliga utfall för att dra två kulor.

G B B G O G G O B O O B

Av de $6$ möjliga utfallen är det bara $1$ utfall som motsvarar att först dra den gröna kulan och sedan den orange. Därför är sannolikheten för att detta inträffar $\frac{1}{6} .$

P (f \ddot{o} rst G och sedan O) = \frac{1}{6}

P (G) = \frac{1}{3}

Om det är givet att den första dragningen är grön, finns det fortfarande $1$ orange kula kvar i skålen. Men nu finns det bara $2$ kulor kvar totalt. Därför är sannolikheten att dra den orange kulan, givet att den första var grön, $\frac{1}{2} .$

P (O given G) = \frac{1}{2}

Sammanfattningsvis är händelserna beroende, eftersom den första händelsen påverkar sannolikheten för att den andra inträffar. Detta bekräftas också av regeln för beroende händelser.

P (f \ddot{o} rst G och sedan O) \frac{1}{6} = P (G) = \frac{1}{3} \cdot \cdot P (O givet G) \frac{1}{2}

Teori

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse $A$ och $B,$ från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

$P (A och B) = P (A) \cdot P (B)$

Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Ledtråd

Analysera om händelserna att välja en spader första och andra gången är beroende eller oberoende. Multiplicera sedan deras sannolikheter.

Lösning

I en kortlek finns det

52

kort med

13

av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är

P (Spader) = \frac{1 3}{5 2} .

Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt

51

kort kvar varav

12

är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader

P (Spader, om 1 : a spader) = \frac{1 2}{5 1} .

Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

\frac{1 3}{5 2} \cdot \frac{1 2}{5 1}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{1 3 \cdot 1 2}{5 2 \cdot 5 1}

ReduceFrac

Förkorta med $13$

\frac{1 2}{4 \cdot 5 1}

ReduceFrac

Förkorta med $4$

\frac{3}{5 1}

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså

\frac{3}{5 1} .

Teori

Addition av sannolikheter

För två händelser, $A$ och $B,$ som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

$P (A eller B) = P (A) + P (B)$

Teori

Träddiagram

Ett träddiagram visar alla möjliga utfall i ett slumpförsök som består av flera steg, till exempel att kasta en tärning två gånger. Diagrammet består av noder och grenar som visar varje val eller händelse.

Noder: Varje nod representerar ett specifikt utfall i försöket.
Grenar: En gren kopplar ihop två noder. Från varje nod kan det gå flera grenar som visar olika möjliga fortsättningar.

För att skapa ett träddiagram som visar alla möjliga utfall när man kastar en tärning två gånger, börjar man med en rotnod. Från denna nod ritar man en gren för varje möjligt utfall av det första kastet. I slutet av varje gren skapar man en ny nod som representerar resultatet av det kastet.

Sex grenar sträcker sig från en rotnod, där varje gren representerar ett tärningskast: 1, 2, 3, 4, 5 och 6.

Oavsett vilket resultat man får vid det första kastet, finns det sex möjliga utfall även vid det andra kastet. Därför ritas sex grenar från varje nod efter det första kastet, som leder till noder för de möjliga utfallen av det andra kastet.

Ett träddiagram som visar utfallen när man kastar en tärning två gånger: sex grenar utgår från rotnoden för det första kastet, och var och en av dessa grenar delar sig i ytterligare sex för det andra kastets utfall.

Slutnoderna i träddiagrammet visar alla möjliga utfall i detta experiment — totalt $36$ stycken. Sannolikheten att få två ettor när man kastar en tärning två gånger är då $\frac{1}{3 6},$ eftersom det bara finns ett gynnsamt utfall för den händelsen. Detta motsvaras av den allra första grenen i träddiagrammet.

P (1 och 1) = \frac{1}{3 6}

Denna sannolikhet kan också beräknas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra. Sannolikheten att slå en etta på kast $1$ är $\frac{1}{6} .$ Samma sannolikhet gäller för att få en etta på kast $2 .$

P (1 och 1) = P (1) \cdot P (1)

Substitute

$P (1) = \frac{1}{6}$

P (1 och 1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

MultFrac

Multiplicera bråk

P (1 och 1) = \frac{1}{3 6}

Denna regel gäller endast när den ena händelsen inte påverkar den andra. Om sannolikheten för händelse $A$ är $P (A)$ och sannolikheten för händelse $B$ är $P (B),$ då är sannolikheten att både $A$ och $B$ inträffar lika med produkten av deras individuella sannolikheter:

P (A och B) = P (A) \cdot P (B)

Träddiagram hjälper till att räkna ut sannolikheter i flerstegsexperiment. Genom att skriva sannolikheter på grenarna ser man hur de kombineras. Om man multiplicerar sannolikheterna längs en gren, kan man snabbt beräkna sannolikheten för ett visst utfall.

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna $1 - 8$ och i det andra finns bokstäverna A–H.

Ett hjul är indelat i fält med siffrorna 1–8 och ett annat hjul är indelat i fält med bokstäverna A till H

Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?

Ledtråd

Bestäm om händelserna är beroende eller oberoende. Hitta deras sannolikheter och beräkna sedan deras produkt.

Lösning

Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är

4

av de

8

siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är

P (U) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .

På andra hjulet är

6

av de

8

bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är

P (K) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .

För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:

P (U, K) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .

Teori

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en

2 : a

och en

5 : a .

Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns

2

gynnsamma utfall.

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (

2

st.) med antal möjliga (

36

st.):

\frac{2}{3 6} \approx 0, 06 = 6 % .

Slumpförsök i flera steg

Övningar

En skål innehåller gröna och blå kulor. I träddiagrammet har man markerat händelsen att dra två blå kulor.

Ett träddiagram med en rödmarkerad gren som har sannolikheten 17x/20

Vad är sannolikheten att den andra kulan som dras är blå? Svara med ett bråk på enklaste form.

Hur många kulor fanns det från början i skålen?

Sannolikheten att dra två kulor, dvs. händelsen P(B, B), kan vi beräkna genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen i trädet. Produkten av 1720 och x ska alltså bli 187260: 17/20 * x =187/260. Vi löser ut x i ekvationen.

Vi kallar det totala antalet kulor för T och antalet blå kulor för B. Om vi delar antalet blå kulor med det totala antalet kulor ska vi få 1720: B/T=17/20. Vi vet även att om vi tar en blå kula från skålen blir sannolikheten att ta ytterligare en blå kula 1113. Antalet blå kulor är då B-1 och totala antalet kulor är T-1: B-1/T-1=11/13. Vi skriver om denna ekvation något.

Vi vill lösa ut T men ekvationen innehåller både B och T, dvs. två variabler. Om vi löser ut B i den första ekvationen kan vi ersätta denna variabel i den omskrivna ekvationen och därefter lösa ut T. B/T=17/20 ⇔ B=17 T/20. Nu kan vi ersätta B i ekvationen med 17 T20 och lösa ut T.

Det totala antalet kulor i skålen var 40.

Slumpförsök i flera steg

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.