Slumpförsök i flera steg

Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.

Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då $0$ : $P(\text{lila, om 1:a lila})=0.$

Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.

Regel

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse $A$ och $B,$ från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Regel
$P(A \text{ och } B) = P(A) \cdot P(B)$

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

krona i båda kasten
klave i båda kasten
först krona och sedan klave
först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså 1, med det totala antalet möjliga utfall, 4. $P(\text{Kr, Kr}) = \frac{1}{4}.$ Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet. $P(\text{Kr, Kr}) = P(\text{Kr}) \cdot P(\text{Kr}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$ Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Uppgift

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Lösning

I en kortlek finns det $52$ kort med $13$ av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är $P(\text{Spader}) = \frac{13}{52}.$ Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt $51$ kort kvar varav $12$ är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader $P(\text{Spader, om 1:a spader}) = \frac{12}{51}.$ Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

\dfrac{13}{52}\cdot\dfrac{12}{51}

Multiplicera bråk

\dfrac{13\cdot12}{52\cdot51}

Förkorta med

13

\dfrac{12}{4\cdot51}

Förkorta med

4

\dfrac{3}{51}

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså $\frac{3}{51}$ .

Visa lösning

Regel

Addition av sannolikheter

För två händelser, $A$ och $B$ , som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel
$P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)$

Man kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en $1$ :a är $\frac{1}{6}$ eftersom det finns $1$ gynnsamt utfall av $6$ möjliga. För händelsen att antingen slå en $1$ :a eller en $2$ :a ökar antalet gynnsamma utfall till $2$ så sannolikheten blir $\frac{2}{6}.$

Genom att dela upp sannolikheten för att slå en $1$ :a eller $2$ :a från $\frac{2}{6}$ till $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ kan man se att sambandet gäller. $\frac{1}{6}$ är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att $P(\text{1:a eller 2:a}) = P(\text{1:a}) + P(\text{2:a}).$

Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Uppgift

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna $1-8$ och i det andra finns bokstäverna A–H.

Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?

Lösning

Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är $4$ av de $8$ siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är $P(\text{U})=\frac 4 8 = \frac{1}{2}.$ På andra hjulet är $6$ av de $8$ bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är $P(\text{K})=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet: $P(\text{U, K})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}.$

Visa lösning

Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en $2$ :a och en $5$ :a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns $2$ gynnsamma utfall.

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall ( $2$ st.) med antal möjliga ( $36$ st.):

\frac{2}{36}\approx0.06=6\,\%.

Slumpförsök i flera steg

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Oberoende händelser

Beroende händelser

Multiplikation av sannolikheter

Regel

Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Addition av sannolikheter

Regel

Träddiagram

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Utfallsmatris

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Sannolikhet & statistik

Regel

Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Regel

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}