Slumpförsök i flera steg

Vi markerar utfallen där vi får minst en 3:a i ett utfallsrum. Raderna representerar prickarna på den ena tärningen och kolumnerna antalet prickar på den andra.

Av de 36 möjliga utfallen innehåller 11 av dem minst en 3:a. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Vi markerar de utfall där tärningssumman är udda.

Det är 18 gynnsamma utfall och totala antalet utfall är fortfarande 36. Vi sätter in detta i sannolikhetsformeln.

Vi kallar händelsen att ta upp en bok från Henning Mankel för M och händelsen att ta upp en bok från Stieg Larsson för L. Totalt har Oskar 5+3=8 böcker han kan välja mellan. Eftersom fem av dessa är skrivna av Henning Mankel och tre av Steig Larsson blir sannolikheten P(M)=5/8 och P(L)=3/8 att den första boken är skriven av respektive författare. När Oskar tagit den första boken är antalet böcker av den författaren en mindre i bokhyllan och det totala antalet böcker är också en mindre vilket påverkar sannolikheten för vilken författare den andra boken är skriven av. Vi ritar ett träddiagram och markerar händelserna P(H,H) och P(L,L).

Sannolikheten att böckerna är av samma författare är summan av händelserna P(M, M) och P(L, L).

Sannolikheten att båda böcker Oskar tar är från samma författare är alltså ca 46 %.

Minst ett mål innebär att hon sätter en, två eller alla tre straffar. Men beräkningarna blir något lättare om vi istället bestämmer sannolikheten för komplementhändelsen till minst ett mål, nämligen att hon inte gör något mål alls. Om sannolikheten för mål är 40 % är sannolikheten för miss 60 %. Det betyder att P(tre missar)= 0,6 * 0,6 * 0,6=0,216. Om vi kallar händelsen att Petra gör minst ett mål för A, är komplementhändelsen A^c lika med 0,216. För att ta reda på sannolikheten för minst ett mål använder vi sambandet P(A)+P(A^c)=1. Vi sätter in P(A^c) och löser ut P(A).

Sannolikheten är cirka 78 % att Petra gör minst ett mål.

Vi kallar händelsen att slå minst en etta (dvs. mellan en och femton stycken) för A. Istället för att beräkna sannolikheten för alla kombinationer där man slår minst en etta beräknar vi sannolikheten för komplementhändelsen och subtraherar från 1: P(A)+P(A^c)=1. Då sannolikheten att slå en etta när man kastar en tärning är 16 måste sannolikheten för att slå något annat än en etta vara 56. Händelsen A^c är att man slår icke-ettor i alla kast. Sannolikheten att göra det beräknar vi genom att multiplicera P(inte etta) 15 gånger: (A^c)=(5/6)^(15) Nu kan vi beräkna P(A) genom att sätta in P(A^c) i formeln för komplementhändelse.

Sannolikheten är cirka 93,5 % att slå minst en etta så även om sannolikheten är hög att man får minst en etta kan Maximilian inte vara helt säker.

Ett primtal är ett heltal större än 1 och som endast är delbart med 1 och sig själv. Hjulet har 6 primtal. 2, 3, 5, 7, 11 och 13. Av 16 möjliga utfall är alltså 6 gynnsamma. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten för att två eller flera påföljande händelser inträffar är produkten av händelsernas sannolikheter.

Sannolikheten att vinna tre gånger i rad är ca 5 %.

Vi antar att det är lika sannolikt att du väljer en stig som en annan när du står vi ett vägskäl. När stigen delar sig i två delar är sannolikheten 12 att man väljer någon av dem och när de finns tre är sannolikheten 13. Då kan vi illustrera sannolikheterna att ta de olika stigarna med ett träddiagram där V står för vänster, H för höger och R för rakt fram.

I diagrammet har vi markerat de två vägar genom skogen som leder fram till huset. Genom att multiplicera sannolikheterna längs dessa två grenar och summera produkterna kan vi beräkna sannolikheten att du tar rätt väg fram genom skogen.

Det är 29 % sannolikhet att du tar rätt väg.

På hur många sätt kan minst få tillbaka det man satsat? Ganska många. T.ex. kan man plocka 10 kr+5kr eller 0 kr + 15 kr. Det blir ganska knöligt att beräkna sannolikheterna för alla kombinationer. Vi undersöker istället komplementhändelsen dvs. att man går med förlust. Det kan man bara göra genom att plocka båda gula kulorna.

Det finns två gula bollar av fem. Sannolikheten för att dra en av dem i första dragningen blir då P(gul)=2/5. Andra gången man drar finns det fyra bollar kvar och en av dessa är röd, vilket ger sannolikheten 14. Den totala sannolikheten för att dra båda röda bollar beräknar vi genom att multiplicera sannolikheterna.

Sannolikheten att gå med förlust är alltså 0,1. Detta är komplementhändelsen till att minst få pengarna tillbaka. Summan av de båda sannolikheterna är 1, vilket betyder att P(minst pengarna tillbaka)=1-0,1=0,9.

Vi illustrerar riddarens flykt med ett träddiagram. Vid första vägskälet kan riddaren välja mellan tre vägar: höger (H), rakt fram (R) eller till vänster (V). Sannolikheten att han väljer rätt väg (rakt fram) är 13.

Om han tar rätt väg ska han svänga höger (ur riddarens perspektiv) vid nästa vägskäl och eftersom han har två valmöjligheter blir sannolikheten 12 att han tar rätt väg. Vi kompletterar ovanstående träddiagram och markerar vägen till frihet i träddiagrammet.

Genom att multiplicera sannolikheterna längs den markerade grenen i träddiagrammet kan vi beräkna sannolikheten att riddaren blir fri.

Det är ca 17 % sannolikhet att riddaren blir fri.

Det finns bara en lila kula, så det är inte möjligt att båda plockar en sådan. Det enda sättet för dem att ta kulor som har samma färg är om de båda är svarta eller vita. Vi markerar de vägarna i diagrammet.

Sannolikheten för att båda plockar en vit beräknar vi genom att multiplicera sannolikheterna längs den vägen.

Sannolikheten för att båda plockar en svart beräknar vi på samma sätt: P(svart,svart)=5/9*4/8=5/18. För att beräkna sannolikheten att någon av dessa händelser inträffar lägger vi ihop deras sannolikheter.

Sannolikheten att de plockar kulor av samma färg är alltså 1336.

Om Josefin ska plocka en lila kula, får inte Wilhelm plocka den först. Det finns alltså två vägar i träddiagrammet som ger Josefin en lila kula. Antingen om Wilhelm först plockar en svart eller en vit.

Vi beräknar sannolikheten för båda vägar genom att multiplicera sannolikheterna längs med dem: P(vit,lila)=3/9*1/8 och P(svart,lila)=5/9*1/8. Nu summerar vi dessa sannolikheter.

Sannolikheten att Josefin plockar en lila kula är alltså 19.

Johannas situation handlar om ett slumpförsök i flera steg. Hon har 5 vita och 3 gula golfbollar, så hon har totalt 8 bollar. När hon tar upp en första boll är sannolikheten för att den är vit P(vit)=5/8. Om hon fått en vit boll finns det 7 bollar kvar i bagen, varav 4 är vita. Sannolikheten att Johanna på måfå får upp en vit boll till är därför P(vit, om $1$:a vit)=4/7. När man gör flera slumpförsök fås den slutliga sannolikheten av produkten av de enskilda sannolikheterna. Alltså ges sannolikheten för att Johanna får upp två vita bollar av P(två vita)=5/8*4/7. Slutligen beräknar vi denna bråkmultiplikation. Notera att man kan förkorta med 4 eftersom det finns en 4:a i täljaren och en 8:a i nämnaren.

Sannoliheten att Johanna får upp två vita bollar är alltså 514.

Istället för att titta direkt på sannolikheter för att få upp olika färger kan vi beräkna sannolikheten för komplementhändelsen, alltså sannolikheten för att Johanna får upp två bollar av samma färg. Vi har redan beräknat sannolikheten för att få två vita bollar till 514. På samma sätt som i första deluppgfiten beräknar vi sannolikheten för att få två gula bollar.

Sannolikheten för att Johanna först får en gul boll är P(gul)=3/8. Om hon fått en gul boll finns det 2 gula kvar i bagen och sannolikheten att hon får upp en gull boll till är P(gul, om $1$:a gul)=2/7. Den totala sannolikheten för två gula bollar ges av produkten av de enskilda sannolikheterna: P(två gula)=3/8*2/7. Notera att man här kan förkorta med 2 eftersom det finns en 2:a i täljaren och en 8:a i nämnaren. P(två gula)=3/8*2/7 = 3*2/4*2*7= 3/28. Eftersom sannolikheten att få två bollar av samma färg är 514 för vita och 328 för gula så är sannolikheten för att Johanna får upp en boll av varje färg 1 - 5/14 - 3/28 . Detta går förenkla med regler för bråkräkning, men vi tar till miniräknaren direkt och beräknar 1 - 5/14 - 3/28≈ 0,54 = 54 % . Sannolikheten att Johanna får upp två bollar med olika färg är 54 %.

Det finns totalt 10 st kulor i påsen, vilket innebär att antalet möjliga utfall är 10. Av dessa kulor är 4 st röda, och antalet gynnsamma utfall är därför 4. Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.

Sannolikheten för att dra en röd kula ur påsen är alltså 0.4.

Sannolikheten som Peter har ställt upp är en multiplikation, så vi kan anta att det är två slumpförsök som har sker efter varandra. I nämnaren står antalet möjliga utfall, vilket i det här fallet är antalet bollar. Den sänks från 10 till 9 mellan sannolikheterna, så det dras en boll i första händelsen som inte läggs tillbaka. Vi ritar ett träddiagram med de olika utfallen.

Vi kan nu identifiera de grenarna i trädet som motsvarar sannolikheterna 610 och 59 i uppställningen.

Genom att multiplicera sannolikheterna får man den sammanslagna sannolikheten för vägen, P(vit, vit)=6/10 * 5/9, vilket är det vi söker. Peter har alltså beräknat sannolikheten för att dra två vita kulor efter varandra, utan återläggning.

I deluppgift B hade vi två slumpförsök efter varandra och det har vi nu med. Vi ser dock nu att nämnaren är 10 för båda termerna, så även i den andra dragningen finns det 10 kulor i påsen. Det betyder att den första kulan läggs tillbaka innan den andra dras. Vi ritar upp ett träddiagram som beskriver olika sätt att dra två kulor med återläggning.

Vi markerar den väg som matchar uppställningen, vilket ger den sammanlagda sannolikheten P(röd, vit)= 410 * 610. Peter har alltså beräknat sannolikheten för att först dra en röd kula och sedan en vit kula, med återläggning av den första kulan.

Det finns 20 kuvert och sannolikheten att ett visst kuvert (det man drar) innehåller startnummer 20 är 120 (=5 %). Sannolikheten är samma för Marcus och Erik, det spelar ingen roll vem som drar först!

Är det inte övertygande borde detta argument visa att Marcus inte kan ha större chans än Erik: Antag att alla kuvert delas ut till 20 deltagare. Sannolikheten för var och en av dem att just den personen har fått nr. 20 är 120. Marcus kan inte öka sin chanser genom att vara snabb och öppna sitt kuvert först!

Att Marcus tror att han har störst chans beror kanske på att han tänker så här: Om han får nr. 20 finns ju det kuvertet inte kvar när Erik drar sitt kuvert och då är chansen att han får nr. 20 lika med 0 . Det är sant, men om Marcus inte drar nr. 20 så stiger istället chansen för att Erik drar nr. 20 eftersom han bara har 19 kuvert att välja mellan. För slumpförsök i flera steg multipliceras sannolikheterna och talet 19 visar sig "försvinna" genom förkortning: 19/20*1/19=1/20 .

Ena parten i paret är ringmärkt med sannolikhet 0.7 eftersom vi i problemformuleringen fått veta att ungefär 70 % av alla örnar är ringmärkta. Den andra parten är också ringmärkt med sannolikhet 0.7. Om vi antar att de två eventuella ringmärkningarna är oberoende av varandra, har vi att sannolikheten att båda är ringmärkta är 0.7* 0.7 = 0.49, då vi ska multiplicera de oberoende händelsernas sannolikheter med varandra. Att vi faktiskt kan anta att ringmärkningarna är oberoende av varandra beror på att när örnarna väljer partner tar de förmodligen inte hänsyn till eventuella ringar på benen.

I denna uppgift behöver vi ta hänsyn till på hur många olika sätt precis en av fåglarna kan vara ringmärkt. Eftersom (om vi antar att paret består av en hona och en hane) honan kan vara märkt och hanen omärkt, samt, honan omärkt och hanen märkt. Alltså, märkt hona, omärkt hane omärkt hona, märkt hane.

Med sannolikheten 0.7 att en fågel är märkt fås att sannolikheten för att den inte är märkt, komplementhändelsen, är 1-0.7=0.3. Anledningen är att sannolikheten för en händelse plus sannolikheten för komplementhändelsen alltid är 1. Detta ger oss att den efterfrågade sannolikheten är 0.7 * 0.3_(märkt hona omärkt hane) + 0.3 * 0.7_(omärkt hona märkt hane) = 0.42.

De två tärningarna kan ge många olika utfall, exempelvis 3 och 5 såväl som 2 och 1. Totalt finns det 6* 6 = 36 olika utfall då tärningarna var för sig kan visa prickar på 6 olika sätt. Det vi är intresserade av är summan av antalet prickar som tärningarna visar. För att få lite klarhet gör vi en tabell över de olika utfallen med sina respektive summor.

I tabellen kan vi se att summan 7 förekommer sex gånger, vilket är flest av alla möjliga summor. Det betyder att vi ska gissa på 7 prickar för att ha så stor chans som möjligt att vinna.

Vardera hjul har 10 fält, varav 5 är körsbär, 3 är bananer och 2 är citroner. Eftersom hälften av fälten är körsbär är sannolikheten för att ett hjul stannar på körsbär 12. När man har flera slumphändelser och man vill ha ett visst utfall för var och en av dessa multipliceras de enskilda sannolikheterna. Sannolikheten att Elin vinner blir därför 1/2*1/2 = 1/4 , vilket är detsamma som 25 %.

När vi ska bestämma vilken sannolikheten är att ingen av Elin, Petter och Ali vinner bestämmer vi först vilken sannolikheten är att någon av dem faktiskt vinner; denna sannolikhet ges av summan av deras olika vinstchanser.

Vi vet redan att Elins chanser till vinst är 25 %.

Petter vinner om båda hjulen stannar på bananer. Sannolikheten att ett hjul stannar på banan är 310 (eftersom det är 3 gynnsamma utfall av 10 möjliga utfall). Sannolikheten för banan på båda hjulen är då 3/10*3/10 = 9/100 , vilket är detsamma som 9 %.

Sannolikheten att Ali vinner beräknas på liknande sett. Citron på ett hjul fås med sannolikheten 210 och sannolikheten att båda hjulen stannar på citron är 2/10*2/10 = 4/100 . eller 4 %.

Vi adderar sannolikheterna för att få sannolikheten för att någon av dem vinner: 25 % + 9 % + 4 % = 38 %. Men det som efterfrågas är vilken sannolikheten är att ingen av dem vinner. Totala sannolikheten är 100 %, den sökta sannolikheten är alltså 100 %-38 %=62 %.