Sannolikheter för normalfördelningar

Från funktionsuttrycket måste vi identifiera konstanterna μ och σ, men normalfördelningen står inte på vanlig form: f(x) = 1/σsqrt(2π) * e^(- 12( x-μσ )^2). Vi börjar genom att skriva om faktorn innan potensen så att vi kan identifiera standardavvikelsen σ. Vi måste då skriva om faktorn 2 i nämnaren som sqrt(2) * sqrt(2) för att få sqrt(2π) i nämnaren.

Vi kan alltså skriva täthetsfunktionen som f(x) = 1/sqrt(2) * sqrt(2π) * e^(- ( - 3 - x2 )^2), och kan nu identifiera att σ = sqrt(2). För att ta reda på vad μ är kan vi likställa exponenten vi har med den för allmänna normalfördelningar, alltså - ( - 3 - x/2 )^2 = - 1/2( x-μ/σ )^2. Genom att sätta in σ = sqrt(2) kan vi bestämma μ.

Vi skulle här kunna utveckla parenteserna för att lösa ut μ, men det är lättare att göra en omskrivning av ena ledet för att identifiera konstanten. Man kan ändra tecken på tal som kvadreras utan att de ändrar värde.

Vi kan nu identifiera att μ = - 3. Normalfördelningen har alltså medelvärdet μ = - 3 och standardavvikelsen σ = sqrt(2).

För att identifiera μ kan vi istället göra en omskrivning av exponenten, - ( - 3 - x/2 )^2, så den stor på vanlig form för en normalfördelning. Vi vet att σ = sqrt(2), alltså måste vi dela upp nämnaren i sqrt(2) * sqrt(2) och flytta ena faktorn utanför parentesen.

Till sist behöver vi skriva om täljaren i exponenten så att den står på formen x - μ. Eftersom parentesen kvadreras kan vi byta tecken på det innanför utan att det påverkar exponentens värde.

Täthetsfunktionen kan skrivas på formen f(x) = 1/sqrt(2) * sqrt(2π) * e^(- 12 ( x - (- 3)sqrt(2) )^2). Vi har alltså en normalfördelning med medelvärdet μ = - 3 och standardavvikelsen σ = sqrt(2).

Till att börja med kan vi direkt säga att f(x) inte kan vara en täthetsfunktion. I så fall hade arean under grafen varit 1, vilken den definitivt inte är. Om vi tittar på integranden ser vi dock något som ser lite mer bekant ut. Den integreras med avseende på variabeln t, så vi kan kalla den h(t). h(t) = 1/5sqrt(2π) * e^(- 12( t-45 )^2) Den här funktionen kan vi identifiera som täthetsfunktionen till en normalfördelning med medelvärdet μ = 4 och standardavvikelsen σ = 5. Det funktionen f(x) gör är att integrera denna täthetsfunktion från -∞ till x. f(x) = ∫_(-∞)^xh(t) d t Om man beräknar f(8) integrerar man alltså från -∞ till 8. Ritar man ut täthetsfunktionen h(t) skulle man då kunna visualisera integralen som arean under grafen fram till t = 8.

Att f(8) ≈ 0.79 betyder alltså att sannolikheten att temperaturen är under 8^(∘)C den dagen är 79 %. Mer generellt kan man sätta in vilket värde på x som helst och funktionen f(x) beräknar sannolikheten att temperaturen ligger under detta värde. Det är den så kallade kumulativa sannolikheten.

Vi ser här att f(x) går mot 0 för stora negativa x och mot 1 för stora positiva x. Detta är rimligt eftersom sannolikheten bör bli större och större ju fler temperaturer som inkluderas i beräkningen, och nå 1 när alla temperaturer är inkluderade.

För att tolka derivatan f'(x) börjar vi med att igen skriva f(x) som en integral över täthetsfunktionen h(t). f(x) = ∫_(-∞)^xh(t) d t Om vi nu antar att det finns en primitiv funktion H(x) till h(x) kan vi skriva om integralen med hjälp av integralkalkylens huvudsats. f(x) = ∫_(-∞)^xh(t) d t = [ H(x) ]_(-∞)^x Nu kan man inte riktigt sätta in -∞ i H(t), utan man får istället använda gränsvärdet lim _(t→ -∞) H(t). Då kan vi skriva funktionen som f(x) = [ H(x) ]_(-∞)^x = H(x) - lim _(t→ -∞) H(t). Vi kan gissa att gränsvärdet kommer vara 0, men det spelar inte så stor roll. Vi vet ju att det är konstant och inte beror på x, vilket räcker fint för oss eftersom vi tänker derivera f(x). Då försvinner gränsvärdet och vi behöver inte bry oss om vad det faktiskt är.

Vad är då derivatan av H(x)? Jo, det måste ju vara täthetsfunktionen h(x) eftersom vi specifikt definierade H(x) som en primitiv funktion till den. Vi får alltså f'(x) = h(x), och sätter vi in funktionsuttrycket får vi f'(x) = 1/5sqrt(2π) * e^(- 12( x-45 )^2). Om man deriverar den kumulativa sannolikhetsfunktionen får man alltså täthetsfunktionen med μ=4^(∘)C och σ=5^(∘)C.