Sammansatta funktioner: Inre och yttre funktioner )

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion
$y = cos (u)$	$u = 7 x$	$y = cos (7 x)$
$y = u^{4}$	$u = x - 6$	$y = (x - 6)^{4}$
$y = ln (u)$	$u = 3 x - 5$	$y = ln (3 x - 5)$
$y = e^{u}$	$u = 2 x$	$y = e^{2 x}$

Yttre funktion

Inre funktion

Sammansatt funktion

y = cos (u)

u = 7 x

y = cos (7 x)

y = u^{4}

u = x - 6

y = (x - 6)^{4}

y = ln (u)

u = 3 x - 5

y = ln (3 x - 5)

y = e^{u}

u = 2 x

y = e^{2 x}

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion	Utläses
$y$	$u$	$y (u)$	" $y$ av $u$ "
$f (x)$	$g (x)$	$f (g (x))$	" $f$ av $g$ av $x$ "
$f$	$g$	$f \circ g$	" $f$ boll $g$ "

Yttre funktion

Inre funktion

Sammansatt funktion

Utläses

y

u

y (u)

y

u

f (x)

g (x)

f (g (x))

f

g

x

f

g

f \circ g

f

boll

g

I koordinatsystemen syns graferna till funktionerna $f (x)$ och $g (x) .$

En tredje funktion, $h (x),$ är definierad som den sammansatta funktionen $h (x) = f (g (x)) .$ Använd graferna för att bestämma följande.

h (1)

h (f (4))

Eftersom h(x)=f(g(x)) kan vi skriva h(1) som h(1)=f(g(1)). Vi måste alltså först bestämma g(1), dvs. funktionsvärdet för g när x=1.

Funktionsvärdet är g(1)=2. Eftersom h(1)=f(g(1)) betyder det att vi byter ut g(1) mot 2:

Vi beräknar alltså h(1) genom att bestämma f(2). Det värdet kan vi läsa av i grafen till f(x).

Funktionsvärdet är alltså f(2)=-4 vilket betyder att h(1)=- 4.

För att bestämma h(f(4)) gör vi på liknande sätt. Det kommer dock att bli ett steg till eftersom h(f((x)) är en sammansättning av tre funktioner. Vi börjar med att bestämma f(4) som vi kan läsa av i grafen.

När x är 4 är funktionsvärdet 0, dvs. f(4)=0. Det betyder att vi ska bestämma h(f(4))=h(0). Eftersom h(0)=f(g(0)) börjar vi att bestämma g(0), alltså funktionsvärdet för g när x=0.

Vi läser av att g(0)=1, så sista steget är att bestämma f(g(0))=f(1). Det gör vi genom att läsa av funktionsvärdet i grafen för f(x) när x=1.

Vi får f(1)=-3. Det betyder att h(f(4))=-3.

Två funktioner är definierade som

f (x) g (x) = x = 4 sin (x) .

Låt nu en tredje funktion vara definierad som

h (x) = f (g (x)) .

Vad är definitions- och värdemängden för

h (x) ?

Det framgår inte av uppgiften vilken enhet x har. Vi kan då välja själva och här har vi valt enheten radianer. Till att börja med kan vi bilda den sammansatta funktionen h(x)=f(g(x)) genom att ersätta x:et i f(x) med funktionsuttrycket för g(x): f(g(x))=sqrt(4sin(x)). Vi börjar med att bestämma denna funktions definitionsmängd. Den yttre funktionen, f(x)=sqrt(x), har definitionsmängden x≥ 0, så vi måste bestämma för vilka värden på x som den inre funktionen g(x)=4sin(x) är större än eller lika med 0. Vi börjar med att hitta den inre funktionens nollställen.

Funktionen 4sin(x) har alltså oändligt många nollställen, där x=0 och x=π är två av dem. Eftersom g(x) är en oförskjuten sinusfunktion kommer den gå genom origo med positiv lutning. Det innebär att den på intervallet 0≤ x ≤ π kommer vara ≥0. När vi lägger till perioden 2π till detta får vi att den inre funktionen är större än eller lika med 0 på intervallen

...
-2π ≤ x ≤ - π
0 ≤ x ≤ π
2π ≤ x ≤ 3π
...

som vi på ett enklare vis kan skriva 0 +n* 2π ≤ x ≤ π +n * 2π. Dessa intervall motsvarar även definitionsmängden för funktionen h(x) som då är D_h : 0 +n* 2π ≤ x ≤ π +n * 2π. För att hitta värdemängden för den sammansatta funktionen behöver vi först hitta värdemängden för g(x). Eftersom g(x) är periodisk räcker det med att vi tar reda på värdemängden för ett intervall, t.ex. 0≤ x ≤ π. Funktionen y=sin(x) har minsta värdet 0 och största värdet 1 på detta intervall, så funktionen g(x)=4sin(x) måste på samma intervall anta y-värdena 0 ≤ y ≤ 4. Den sammansatta funktionen kan skrivas som h(x)=sqrt(g(x)) och dess värdemängd blir då sqrt(0) ≤ y ≤ sqrt(4), eller enklare V_h : 0 ≤ y ≤ 2. Tillsammans med det vi kom fram till tidigare blir alltså svaret på uppgiften D_h : 0 +n* 2π ≤ x ≤ π +n * 2π och V_h : 0 ≤ y ≤ 2.

Sammansatta funktioner

Exempel

Bilda den sammansatta funktionen

Exempel

Identifiera den inre och yttre funktionen

Egenskaper hos sammansatta funktioner

Graf

Definitions- och värdemängd

Sammansatta funktioner

Rekommenderade uppgifter

	4 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.