Sammansatta funktioner

Vi skapar först den sammansatta funktionen f(g(x)).

Vi fortsätter sedan med att skapa g(f(x)).

Sätter vi dessa uttryck lika med varandra får vi ekvationen f(g(x))=g(f(x)) som vi sedan kan lösa.

Lösningarna till ekvationen är alltså x=-1 och x=0.

Mary menar att den sammansatta funktionen f(g(x))=( x^3+1 )^2 har den inre funktionen g(x)=x^3+1. Vad blir då den yttre funktionen f(x)? Genom att markera den inre funktionen blir det tydligare vad den yttre är. f( g(x)) = ( x^3 + 1 )^2 Vi ser nu att den inre funktionen upphöjs till 2. Alltså är den yttre funktionen f(x) = x^2 — Mary har rätt att den inre funktionen är g(x) = x^3 + 1. Men kan det Max säger också stämma? Nu markerar vi istället den inre funktionen g(x) = x^3. f( g(x)) = ( x^3 + 1 )^2 I det här fallet adderas den inre funktionen och 1 innan hela uttrycket upphöjs till 2. Det innebär att den yttre funktionen istället är f(x) = (x + 1)^2 — om man ersätter x med x^3 får man tillbaka den sammansatta funktionen. Vi kan därför även säga att Max har rätt. Slutsatsen är att båda två har rätt.

Vi kan tänka att funktionen y=sqrt(- x^2+2x+3) består av den yttre funktionen f(x)=sqrt(x) och den inre funktionen g(x)=- x^2+2x+3. Den sammansatta funktionens definitionsmängd beror delvis på den yttre funktionens definitionsmängd och vi kan börja med att konstatera att den är x≥ 0. Eftersom den inre funktionen, g(x), sätts in i den yttre måste vi bestämma för vilka x som g(x)≥0. Funktionen g(x) är en andragradsfunktion med negativ x^2-koefficient och har därför en maximipunkt. Genom att hitta funktionens nollställen bestämmer vi på vilket intervall g(x)≥0.

Den inre funktionen g(x) är alltså ≥ 0 då - 1≤ x ≤ 3. Det innebär att definitionsmängden för den sammansatta funktionen är just D_y : - 1≤ x≤ 3. För att bestämma värdemängden måste vi bestämma vilka värden funktionen y=sqrt(- x^2+2x+3) antar för - 1≤ x≤ 3. Det kan vi göra genom att bestämma största och minsta värde för den inre funktionen, eftersom y antar sitt största respektive minsta värde när den inre funktionen gör det. Den är en andragradsfunktion med en maximipunkt, och kommer anta sitt största värde mittemellan nollställena dvs. x=1. Vi sätter in det i g(x) för att bestämma y-värdet.

Den sammansatta funktionen antar alltså sitt maximivärde då den inre funktionen antar funktionsvärdet 4. Då kommer den sammansatta funktionen anta värdet sqrt(4)=2. Detta innebär att den övre gränsen för värdemängden till den sammansatta funktionen är just 2. Nu bestämmer vi värdemängdens nedre gräns genom att bestämma den inre funktionens minsta värde. Detta hittar vi i någon av definitionsmängdens ändpunkter, x=-1 eller x=3. Eftersom dessa är symmetriska kring maximipunkten behöver vi bara bestämma funktionsvärdet i en av punkterna. Vi väljer x=3.

Den sammansatta funktionen antar alltså sitt minsta värde då den inre funktionen antar värdet 0. Då kommer den sammansatta funktionen anta värdet sqrt(0)=0. Den nedre gränsen för värdemängden till den sammansatta funktionen är alltså 0. Sammanfattningsvis har vi alltså fått fram att D_y : - 1≤ x≤ 3 och V_y : 0≤ y ≤ 2.

Man skapar en sammansatt funktion genom att sätta in funktionsuttrycket för den inre funktionen i den yttre. Nu vill vi göra det motsatta och identifiera funktionsuttrycket för den inre funktionen, x + 1, så att vi kan byta ut det. Om vi tittar på den sammansatta funktionen f(g(x)) = (x + 1)^3 + x - 1 kan vi direkt identifiera x + 1 inne i potensen, men utanför står det x - 1. Vi kan dock skriva om detta som x + 1 genom att lägga till och dra ifrån 1.

Nu står alla x tillsammans med en 1:a på formen x + 1, så vi kan byta ut dem mot g(x).

Vi har nu funktionsuttrycket för f(x) där man har satt in g(x) istället för x. Vi kan alltså byta ut g(x) mot x för att få den yttre funktionen. f(g(x))=(g(x))^3+g(x)-2 ⇔ f(x)=(x)^3+x-2 Den yttre funktionen är alltså f(x)=x^3+x-2.

Vi börjar med att teckna en funktion som visar hur arean beror beror av tiden. Arean av en cirkel ges av uttrycket A=π r^2. Radien är 0 m när stenen slår i vattnet och ökar sedan med den konstanta hastigheten 1.5 m/s. Radien kan alltså skrivas som en funktion som beror på tiden t efter stenens nedslag enligt r(t)=1.5 t. Om vi sätter in detta i uttrycket för arean får vi en funktion som anger arean vid en viss tidpunkt. A(t)=π (1.5 t)^2 För att sedan ta reda på hur arean ändras med tiden deriverar vi uttrycket.

Vi vill veta hur snabbt arean ökar vid tiden t=6.0 sekunder. Vi sätter därför in t=6 i uttrycket och får A'(6)=4.5π * 6 =84.823... ≈ 85 m^2/s. Efter 6.0 sekunder ökar alltså cirkelytans area med ungefär 85 m^2/s.