Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Repetition av trigonometri

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens har flera geometriska förklaringar. Här repeteras deras definitioner både med rätvinkliga trianglar och enhetscirkeln.
Regel

Trigonometriska funktioner

I en rätvinklig triangel anger sinus, cosinus och tangens förhållandet mellan längderna på två av triangelns sidor, baserat på en viss vinkel. Förhållandet kan vara mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Definitionen för dessa trigonometriska funktioner ser ut på följande sätt.

sin(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Na¨rliggande katetHypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motsta˚ende katetNa¨rliggande katet\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel


Tangensfunktionen kan också definieras med sinus och cosinus.

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Uppgift

Bestäm tan(v)\tan(v) givet att sin(w)=12.\sin(w) = \dfrac{1}{2}. Svara exakt.

Lösning
Vi vill bestämma tangensvärdet för vinkeln vv och för att göra det behöver vi båda kateterna i den högra triangeln. För tillfället saknar vi dock den ena, höjden, men den finns också i den vänstra triangeln. Där känner vi till längden på hypotenusan och sinusvärdet för vinkeln w.w. Definitionen för sinus är sin(w)=Motsta˚ende katetHypotenusa. \sin(w) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. I det här fallet är den motstående kateten höjden på triangeln. Genom att sätta in de kända värdena kan vi bestämma höjden.
sin(w)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(w) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
12=Motsta˚ende katet4{\color{#0000FF}{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{\text{Motstående katet}}{{\color{#009600}{4}}}
2=Motsta˚ende katet2 = \text{Motstående katet}
Motsta˚ende katet=2\text{Motstående katet} = 2
Höjden på triangeln är alltså 22 cm. Vi använder till sist definitionen av tangens för att bestämma tan(v).\tan(v). tan(v)=Motsta˚ende katetNa¨rliggande katet=23 \tan(v) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}} = \dfrac{2}{3} Svaret är alltså att tan(v)=23.\tan(v) = \frac{2}{3}.
info Visa lösning Visa lösning
Regel

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Enhetscirkeln, alltså en cirkel med radien 11 centrerad i origo, kan kopplas till sinus- och cosinusfunktionerna. En punkt på enhetscirkeln vars radie skapar vinkeln vv mot positiva xx-axeln har alltid xx-koordinaten cos(v)\cos(v) och yy-koordinaten sin(v)\sin(v).

x=cos(v)   och   y=sin(v)x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)

Med hjälp av dessa samband kan man med härleda exakta sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar.

vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00
Uppgift


Bestäm den röda punktens xx-koordinat givet att tangensvärdet för vinkeln vv är -1.280.\text{-}1.280. Avrunda till tre decimaler.

Lösning
Eftersom cirkeln har radien 11 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att den röda punktens xx- och yy-koordinater motsvarar cosinus- respektive sinusvärdet för vinkeln v.v. Vi kan läsa av att sinusvärdet för vinkeln är 0.788.0.788. Eftersom vi också känner till tangensvärdet för vinkeln kan vi använda sambandet tan(v)=sin(v)cos(v) \text{$\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$} för att bestämma cosinusvärdet. Vi sätter in de kända värdena och löser ut cos(vv).
tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
-1.280=0.788cos(v){\color{#0000FF}{\text{-}1.280}}=\dfrac{{\color{#009600}{0.788}}}{\cos(v)}
-1.280cos(v)=0.788\text{-}1.280\cdot\cos(v)=0.788
cos(v)=0.788-1.280\cos(v)=\dfrac{0.788}{\text{-}1.280}
cos(v)=-0.61566\cos(v)=\text{-}0.61566\ldots
cos(v)=-0.616\cos(v)=\text{-}0.616
Den röda punktens xx-koordinat är alltså ca -0.616.\text{-}0.616.


info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward