6. Räkna med vektorer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
5.
Räkna med vektorer
Lektionen ger en omfattande guide för att arbeta med vektorer och täcker olika matematiska begrepp. Den förklarar hur man beräknar längden på en vektor och demonstrerar addition och subtraktion av vektorer både algebraiskt och grafiskt. Innehållet betonar vikten av riktning och storlek i vektorer, förklarar hur man multiplicerar en vektor med en skalär och hur man bestämmer resultanten av flera vektorer. Det inkluderar också grafiska representationer för att underlätta förståelsen. Materialet är lämpligt för dem som studerar vektorer inom matematik, särskilt i förhållande till fysik.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med vektorer
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Resultant
- Addera vektorer
- Subtrahera vektorer
- Multiplicera skalär och vektor
Förkunskaper
Teori
Resultant
Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna 
Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
på rad, alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v, u och z adderats för att bilda resultanten r.
Teori
Addera vektorer
Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0) och v=(5,0) har samma riktning, så resultanten r=u+v kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.
Resultanten får koordinaterna (9,0), dvs. summan av u och v:s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas x- och y-koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Exempel
Addera två vektorer
Addera vektorerna u och v. Uttryck resultatet i koordinatform.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"5","text2":"-1"}}
Ledtråd
När man adderar vektorer ska x-koordinater adderas för sig och y-koordinaterna för sig.
Lösning
Vi kan addera vektorerna på två sätt, algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda. När man adderar vektorer ska x-koordinater adderas för sig och y-koordinaterna för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkterna.
u+v
SubstitutePoints
Sätt in (3,2) & (2,−3)
(3,2)+(2,−3)
AddVec
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(3+2,2+(−3))
AddTerms
Addera termer
(5,2+(−3))
AddNeg
a+(−b)=a−b
(5,−1)
Alternativ lösning
GrafisktVi parallellförflyttar ena vektorn så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt. Vi kan då rita resultanten från den första vektorns startpunkt till den andra vektorns slutpunkt.
Nu kan vi läsa av att resultanten, alltså de två vektorerna adderade med varandra, är (5,−1).
Teori
Subtrahera vektorer
För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. u=(−2,2) och v=(2,1), kan skrivas som en addition av u och den negativa vektorn −v: 
Resultanten u−v blev alltså (−4,1), dvs. differensen av x- och y-koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.
u−v=u+(−v).
Vektorn −v har samma storlek som v, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.
(a,b)−(c,d)=(a−c,b−d)
Exempel
Subtrahera vektor
Subtrahera v från u.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"4","text2":"3"}}
Ledtråd
När man subtraherar vektorer ska x-koordinater subtraheras för sig och y-koordinater för sig.
Lösning
Vi kan subtrahera vektorer på två sätt: algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda. När man subtraherar vektorer ska x-koordinater subtraheras för sig och y-koordinater för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkt.
u−v
SubstitutePoints
Sätt in (3,5) & (−1,2)
(3,5)−(−1,2)
SubVec
(a,b)−(c,d)=(a−c,b−d)
(3−(−1),5−2)
SubNeg
a−(−b)=a+b
(3+1,5−2)
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
(4,3)
Alternativ lösning
GrafisktFör att subtrahera u från v grafiskt kan vi använda metoden för att addera vektorer grafiskt. Detta medför att vi först måste vända på vektorn som subtraheras så att den pekar i motsatt riktning.
Vi parallellförflyttar nu −v så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt och ritar resultanten.
Nu ser vi att resultanten är (4,3), vilket alltså är differensen mellan u och v.
Teori
Multiplicera skalär och vektor
När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis gör en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.
a⋅(b,c)=(a⋅b,a⋅c)
Exempel
Multiplicera skalär och vektor
Om v=(3,−2) och k=4, beräkna k⋅v och uttryck resultatet i koordinatform.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"12","text2":"-8"}}
Ledtråd
Multiplicera varje komponent i vektorn med skalären för att få den nya vektorn.
Lösning
Vi multiplicerar vektorn v=(3,−2) med skalären k=4 genom att multiplicera varje komponent med 4:
Multiplikationen av vektorn och skalären är (12,−8).
k⋅v
SubstituteII
k=4 och v=(3,−2)
4⋅(3,−2)
VecDistrScalar
Multiplicera in skalär
(4⋅3,4⋅(−2))
Multiply
Multiplicera faktorer
(12,−8)
Räkna med vektorer
Övningar
Beräkna summan av vektorerna v=(3,2) och u=(−2,4).
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"1","text2":"6"}}
security
report
code
security
report
code
v och u adderas genom att lägga ihop vektorernas x- och y-koordinater var för sig.</translate></listcircle>
Resultanten är (1,6).
security
report
code
Beräkna resultanten på koordinatform.
(4,3)+(8,−2)−(3,2)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"9","text2":"-1"}}
(2,4)−(−6,−8)+(0,5)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"8","text2":"17"}}
2⋅(0,6)−3⋅(2,−3)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-6","text2":"21"}}
security
report
code
security
report
code
När vi adderar eller subtraherar vektorer lägger vi ihop x- och y-koordinaterna var för sig.
Vi gör samma sak igen.
När en vektor multipliceras med en skalär ska både x- och y-koordinaten multipliceras med den.
security
report
code
Vad är koordinaterna av resultanten r till vektorerna u, v, och w?
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.714em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.714em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">r<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.17994em;\"><span class=\"overlay\" style=\"height:0.714em;width:0.471em;\"><svg width='0.471em' height='0.714em' style='width:0.471em' viewBox='0 0 471 714' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"5","text2":"-3"}}
security
report
code
security
report
code
Resultanten är det resultat vi får om vi adderar vektorerna. Vi tar reda på den genom att parallellförflytta vektorerna så att de ligger efter varandra, alltså så att den andra vektorn börjar där den första slutar, och så att den tredje börjar där den andra slutar. Det spelar ingen roll i vilken ordning vi placerar vektorerna.
Resultanten bildar vi genom att dra en vektor från första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt.
Vi kan nu även läsa av resultantens koordinater. Den rör sig 5 steg åt höger och 3 steg nedåt så koordinaterna blir (5,-3).
security
report
code
Nedan syns två vektorer v och u.
Rita resultanten r=v+u.
Rita resultanten r=v−u.
security
report
code
security
report
code
Genom att sätta vektorerna "på rad" kan vi bestämma summan av dem genom att rita resultanten mellan startpunkten på v och slutpunkten på u.
Genom att skriva om subtraktionen som en addition kan vi istället addera vektorerna:
v-u = v+(-u).
För att subtrahera vektorerna kan vi alltså addera -u till v. Vektorn -u är lika stor som u fast med motsatt riktning. Vi börjar med att rita denna.
Nu parallellförflyttar vi - u och ritar resultanten från startpunkten på v och slutpunkten på - u.
security
report
code
Walter har just förklarat för Jesse att en vektor har både storlek och riktning. Jesses blick faller över en figur som ser ut på följande sätt.
Jesse pekar på den högra vektorn och frågar Walter: Men Walter, hur vet jag att vektorn 2a har just den där storleken och riktningen?
Hjälp Walter att förklara detta för Jesse!
security
report
code
security
report
code
För att förstå vad 2a betyder kan vi skriva om det som a+a. Detta är en vektoraddition som innebär att vi kan ta vektorn a och sätta den på rad
med en till identisk vektor a.
Därefter ska vi dra en resultant från första vektorns startpunkt till andra vektorns slutpunkt. Gör vi det ser vi att denna resultant, a+a eller 2a, blir likadan som den blå vektorn 2a som Jesse hade given i sin figur.
På detta sätt inser Jesse att 2a måste ha just denna storlek (dubbelt så lång som a) och riktning (samma som a).
security
report
code
Du har vektorn w=(2,1).
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.79733em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.714em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02691em;\">w<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.15216em;\"><span class=\"overlay\" style=\"height:0.714em;width:0.471em;\"><svg width='0.471em' height='0.714em' style='width:0.471em' viewBox='0 0 471 714' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-6","text2":"-3"}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2223<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><span class=\"mbin\">\u2212<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.714em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02691em;\">w<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.15216em;\"><span class=\"overlay\" style=\"height:0.714em;width:0.471em;\"><svg width='0.471em' height='0.714em' style='width:0.471em' viewBox='0 0 471 714' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mord\">\u2223<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{45}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi multiplicerar vektorn w med skalären -3.
Koordinaterna för -3w är alltså (-6,-3).
Vi använder formeln för att beräkna längden av vektorn -3w.
Vektorns längd är alltså sqrt(45) le.
security
report
code
Bestäm koordinaterna för r=a−b−c genom att rita resultanten.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.714em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.714em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">r<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.17994em;\"><span class=\"overlay\" style=\"height:0.714em;width:0.471em;\"><svg width='0.471em' height='0.714em' style='width:0.471em' viewBox='0 0 471 714' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"8","text2":"1"}}
security
report
code
security
report
code
Att subtrahera en vektor är samma sak som att addera den negativa vektorn. För att beräkna summan r=a-b-c kommer vi alltså att addera -b och -c till vektorn a: r=a+(-b)+(-c). Vi börjar med att hitta de negativa motsvarigheterna till b och c. Det gör vi genom att låta dem behålla samma storlek, men vara riktade åt motsatt håll.
Nu kan vi addera vektorerna a,-b,och -c genom att parallellförflytta dem så att deras startpunkter ligger på en annan vektors slutpunkt. Det spelar ingen roll i vilken ordning de placeras.
Slutligen drar vi en resultant från första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt.
Vi kan läsa resultantens koordinater genom att räkna antalet rutor i x- och y-led. Eftersom r rör sig 8 steg åt höger och 1 steg uppåt får den koordinaterna (8,1).
security
report
code
Räkna med vektorer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll