Ränta och lån med geometriska summor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.
Begrepp

Slutvärde och nuvärde

För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.
Uppgift

Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar 50005000 kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa 50005000 kr om Jennies bankonto har en ränta på 3%?3\,\%?

Lösning
Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion: y=Cat. y=C\cdot a^{t}. Vi vet att det ska finnas 50005000 kr på kontot efter 22 år, så t=2t = 2 och y=5000.y = 5000. Vi vet också att räntan på kontot är 3%,3\,\%, vilket ger en förändringsfaktor, a,a,1.03.1.03. Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut C,C, vilket ger nuvärdet av 50005000 kr om två år.
y=Caty= C \cdot a^t
5000=C1.0325000 = C \cdot 1.03^2
50001.032=C\dfrac{5000}{1.03^2} = C
C=50001.032C = \dfrac{5000}{1.03^2}
C=4712.97954C = 4712.97954\ldots
Avrunda till närmaste heltal
C=4713C = 4713
Jennie måste sätta in 47134713 kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av 50005000 kr är alltså 47134713 kr när sparperioden är två år och räntan 3%.3\,\%.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Annuitetslån

När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.

I figuren illustreras avbetalningar för ett annuitetslån. De består till en början främst av ränta men allteftersom lånet återbetalas minskar andelen ränta. Detta kan jämföras med rak amortering, där man amorterar lika mycket varje månad medan räntekostnaden varierar. Totalt betalar man mer i ränta för ett annuitetslån jämfört med ett lån med rak amortering men i gengäld är storleken på betalningarna man gör jämnt fördelade.
Uppgift

Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för 2500025\,000 kr. Hon tar ett annuitetslån med 4%4\,\% ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?

Lösning

För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på 4%4\,\% över fem år på lånebeloppet 2500025\,000 kr blir slutvärdet på lånet 250001.045 kr, 25\,000 \cdot 1.04^5 \text{ kr}, vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är x.x. Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare 4,4, vilket ger slutvärdet x1.044 kr x \cdot 1.04^4 \text{ kr} eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i 33 år, vilket ger dem slutvärdet x1.043 kr. x \cdot 1.04^3 \text{ kr}. På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet x1.042,x \cdot 1.04^2, den fjärde x1.04x \cdot 1.04 och den sista bara x.x.

Delbetalningar av annuitetslån

Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man x+x1.04+x1.042+x1.043+x1.044, x + x \cdot 1.04 + x \cdot 1.04^2 + x \cdot 1.04^3 + x \cdot 1.04^4, vilket är en geometrisk summa med n=5n=5 termer, kvoten k=1.04k=1.04 och startvärdet a=x.a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man a(kn1)k1=x(1.0451)1.041. \dfrac{a\left(k^n - 1\right)}{k - 1}=\dfrac{x\left(1.04^5 - 1\right)}{1.04 - 1}. Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var 250001.04525\,000 \cdot 1.04^5 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.x.

x(1.0451)1.041=250001.045\dfrac{x\left(1.04^5 - 1\right)}{1.04 - 1} = 25\,000 \cdot 1.04^5
x(1.0451)=250001.045(1.041)x\left(1.04^5 - 1\right) = 25\,000 \cdot 1.04^5 \cdot (1.04 - 1)
x=250001.045(1.041)1.0451x = \dfrac{25\,000 \cdot 1.04^5 \cdot (1.04 - 1)}{1.04^5 - 1}
x=5615.67783x=5615.67783\ldots
Avrunda till närmaste heltal
x5616x \approx 5616

Tildas annuitet blir alltså 56165616 kr, vilket är vad hon betalar varje år.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}