Ränta och lån med geometriska summor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.
Begrepp

Slutvärde och nuvärde

För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.
Uppgift

Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar 50005000 kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa 50005000 kr om Jennies bankonto har en ränta på 3%?3\,\%?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Annuitetslån

När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.

I figuren illustreras avbetalningar för ett annuitetslån. De består till en början främst av ränta men allteftersom lånet återbetalas minskar andelen ränta. Detta kan jämföras med rak amortering, där man amorterar lika mycket varje månad medan räntekostnaden varierar. Totalt betalar man mer i ränta för ett annuitetslån jämfört med ett lån med rak amortering men i gengäld är storleken på betalningarna man gör jämnt fördelade.
Uppgift

Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för 2500025\,000 kr. Hon tar ett annuitetslån med 4%4\,\% ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Pelle sätter in 30003000 kr på ett konto till 5%5 \, \% ränta. Vad är slutvärdet efter 10 år? Avrunda till hela kronor.

b

Penelope ska gifta sig om 22 år och vill kunna spendera 100000100\,000 kr på bröllopet. Vad är nuvärdet av dessa pengar om hon också får 5%5\,\% ränta av banken? Avrunda till hela kronor.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Carola sparar pengar på ett konto med 2.5%2.5\, \% ränta. Slutvärdet efter 33 år är 1500015\,000 kr.

a

Vad är nuvärdet? Avrunda till heltal.

b

Vad är slutvärdet om 1010 år? Avrunda till heltal.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Marcel tänker sätta in 20002000 kr på ett sparkonto i slutet av varje år. Han tänker göra sin första insättning i slutet av år 20132013 och den sista i slutet av år 2020.2020. Marcel räknar med en årlig ränta på 2%.2\, \%. Hur mycket pengar kommer han att ha på sitt konto omedelbart efter den sista insättningen?

Nationella provet HT12 3b
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Henrik ska blåsa upp 1010 ballonger. I den första ballongen får han in 33 liter luft. Sedan blir han trött och mängden luft i ballongerna minskar då med 25%25\, \% per ballong. Hur mycket luft finns det sammanlagt i ballongerna när han har blåst upp allihopa? Avrunda till en decimal.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tony lånar 100000100\,000 kr för att unna sig sin drömsemester till Lanzarote. Lånet är ett annuitetslån till 10%10 \,\% ränta med annuiteten xx och ska betalas tillbaka över de kommande 2020 åren.

a

Vad är lånets slutvärde?

b

Beskriv lånets slutvärde med annuiteten x.x.

c

Bestäm annuitetens storlek. Avrunda svaret till hela kronor.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Corinne tar ett lån på 200000200\,000 kr till en bil. Hon betalar av det under fem år med rak amortering och årsräntan 4%.4\,\%. Hur mycket har Corinne betalat till banken när lånet är återbetalat?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Niels planerar att köpa en ny mobiltelefon i slutet av året och vill betala hela summan på en gång. Han räknar med att telefonen kommer att kosta 65006500 kr. För att ha råd med detta sätter han in samma summa pengar, en gång i månaden, på ett sparkonto med månadsräntan 0.25%0.25\,\%. Hur mycket pengar ska Niels sätta in varje månad för att ha råd med mobiltelefonen om han gör vare insättning i slutet av varje månad under ett år? Avrunda till hela kronor.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Åke ska köpa en bil för 200000200\,000 kr. Han lånar pengarna från banken "LÅNA". Pengarna ska betalas tillbaka under 66 år till en ränta på 7.9%.7.9 \, \%. Beräkna Åkes månadsbetalning om lånet är ett annuitetslån. Avrunda till hela kronor.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Francesca har lånat 800000800\,000 kr av banken. Hur mycket sparar hon på att välja rak amortering jämfört med ett annuitetslån om räntan är 3.5%3.5\, \% och lånet ska återbetalas under 44 år. Avrunda till hela kronor.

b

Vilka anledningar kan det finnas det för att välja ett annuitetslån istället för rak amortering?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Leo ska studera till hösten och tänker ansöka om studielån. Han räknar med att i slutet av studietiden ha ett lån på 360000360\,000 kr. Lånet är ett annuitetslån och ska betalas tillbaka under 2525 år. Vad blir Leos månadsavgift om han börjar betala av direkt efter han slutat studera? Anta en årsränta på 1.5%1.5\,\% och avrunda svaret till hela kronor.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bromsmedicinen mot sjukdomen endiveteri tas i tablettform, där 20%20\,\% av det aktiva ämnet bryts ner i kroppen varje timme. Tar man en stor tablett med 100100 mg av ämnet dröjer det 1212 timmar innan koncentrationen blir så låg att effekten försvinner. Man kan också välja att ta en mindre tablett, en gång i timmen. Då krävs 44 tabletter för att få effekt. Hur mycket verksam substans måste finnas i den mindre tabletten?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jalle och Bigge har tagit lika stora bostadslån. Båda är annuitetslån med samma annuitet. Bigges lån ska vara återbetalat om 1010 år och har årsräntan 5%.5\,\%. Jalles årsränta är 7.5%.7.5\,\%. När ska Jalles lån vara återbetalat? Avrunda till hela antal år.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kalle och Hobbe tar varsitt tioårigt lån på 5000050 \, 000 kr med samma ränta. Kalle väljer att betala av allt på en gång i slutet av låneperioden och räknar ut att hans räntekostnad blir 1100011\, 000 kr. Hobbe tar istället ett annuitetslån. Vad blir hans räntekostnad?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}