mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Ekonomi och matematik

Ränta och lån med geometriska summor


Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.
Begrepp

Slutvärde och nuvärde

För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.
fullscreen
Uppgift

Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa kr om Jennies bankonto har en ränta på

Visa Lösning
Lösning
Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion: Vi vet att det ska finnas kr på kontot efter år, så och Vi vet också att räntan på kontot är vilket ger en förändringsfaktor, Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut vilket ger nuvärdet av kr om två år.
Jennie måste sätta in kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av kr är alltså kr när sparperioden är två år och räntan
Begrepp

Annuitetslån

När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.

I figuren illustreras avbetalningar för ett annuitetslån. De består till en början främst av ränta men allteftersom lånet återbetalas minskar andelen ränta. Detta kan jämföras med rak amortering, där man amorterar lika mycket varje månad medan räntekostnaden varierar. Totalt betalar man mer i ränta för ett annuitetslån jämfört med ett lån med rak amortering men i gengäld är storleken på betalningarna man gör jämnt fördelade.
fullscreen
Uppgift

Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för kr. Hon tar ett annuitetslån med ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?

Visa Lösning
Lösning

För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på över fem år på lånebeloppet kr blir slutvärdet på lånet vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare vilket ger slutvärdet eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i år, vilket ger dem slutvärdet På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet den fjärde och den sista bara

Delbetalningar av annuitetslån

Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man vilket är en geometrisk summa med termer, kvoten och startvärdet Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut

Tildas annuitet blir alltså kr, vilket är vad hon betalar varje år.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward