Prioriteringsregler och avrundning

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Prioriteringsregler

Om en beräkning innehåller flera räknesätt har man kommit överens om prioriteringsregler som styr vad man ska beräkna först. Uttrycket 1+42 1+4\cdot 2 kan t.ex. beräknas till antingen 1010 eller 99, beroende på om man adderar 11 med 44 först eller multiplicerar 44 och 22 först. För att veta vad man ska göra först använder man följande prioriteringsregler som brukar förkortas PEDMAS.

Prioriteringsregler2937.svg
Man börjar alltså med att beräkna innehållet i parenteser, följt av tal med exponenter och så vidare. Uttrycket 1+421+4 \cdot 2 är därför lika med 1+8=9.1+8=9.
Uppgift

Beräkna värdet av (20+4)/622+42 (20+4)/6-2\cdot2+4^2 utan räknare.

Lösning

Enligt prioriteringsreglerna beräknas parenteser och exponenter först, så vi börjar med det.

(20+4)/622+42(20+4)/6-2\cdot2+4^2
Beräkna 20+420+4
24/622+4224/6-2\cdot2+4^2
24/622+1624/6-2\cdot2+16

Sedan beräknar vi division och multiplikation, och det spelar ingen roll i vilken ordning. Sist tar vi addition och subtraktion och inte heller där spelar ordningen någon roll.

24/622+1624/6-2\cdot2+16
422+164-2\cdot2+16
44+164-4+16
1616

Uttryckets värde är alltså 16.

Visa lösning Visa lösning

Det är särskilt viktigt att tänka på prioriteringsreglerna när man skriver in uttryck på räknaren. Om man exempelvis ska beräkna värdet av uttrycket 100+502+8 \dfrac{100 + 50}{2 + 8} behöver man tänka på att skriva in parenteser runt täljaren och nämnaren, som på följande sätt.

Division med parenteser utför på räknare

Notera att ett bråkstreck på räknaren skrivs med knappen / . Om man skulle skriva in uttrycket utan parenteser kommer räknaren inte förstå att den först ska räkna ihop summan av täljaren och sedan dividera denna med summan av nämnaren. Istället skulle räknaren enligt prioriteringsreglerna addera 100100 till 50/250/2 och sedan till 8,8, vilket ger ett annat resultat.

Division utan parenteser utför på räknare

Detta är även något man måste tänka på när man skriver in potenser på räknaren. Om man t.ex. ska skriva 2322^{3 \cdot 2} måste man sätta en parentes runt multiplikationen för att beräkningen ska ske på rätt sätt.

Potensberäkning med parenteser utförd på räknare

Skrivs detta utan parentesen beräknas först 232^3 och resultatet multipliceras sedan med 2.2.

Potensberäkning utan parenteser utförd på räknare
Begrepp

Avrundning

Ibland vill man avrunda värden, t.ex. om resultatet har oändligt många decimaler som 0.08333 0.08333\ldots

Då är det smidigare att använda ett närliggande värde som 0.08. Det avrundade värdet kallas ibland för närmevärde och det är aldrig exakt, men det kan vara lättare att räkna med. Ett annat exempel är π,\pi, som ofta avrundas till 3.14. Men det har oändligt många decimaler, så det går inte att använda exakt. Även räknare använder avrundade värden på π\pi. För att undvika fel och förvirring finns det vissa avrundningsregler man följer.
Regel

Avrundningsregler

Siffran i ett tal som avrundas kallas avrundningssiffra och det är siffran efter avrundningssiffran som bestämmer om talet avrundas uppåt eller nedåt.

Är den 0044 behålls avrundningssiffran

Är den 5599 ökas avrundningssiffran med 11

Om avrundningssiffran är 9 gäller det att se upp när man avrundar uppåt. Då ökas siffran vänster om avrundningssiffran med 11 och avrundningssiffran ersätts med 00.
Uppgift

Avrunda 23\frac{2}{3} till tre decimaler.

Lösning

Om man slår in 23\frac{2}{3} på räknaren får man 23=0.666666 \dfrac{2}{3}=0.666666\ldots Den tredje decimalen (avrundningssiffran) är 6,6, och decimalen efter är också en sexa. Därför avrundar vi uppåt till en sjua och decimalerna efter plockas bort: 23=0.666660.667. \dfrac{2}{3}=0.66666\ldots\approx0.667.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Gör en lämplig avrundning för värdena i följande situationer.

  • Regina tankar sin lastbil och kvittot visar att hon fyllde tanken med 687.24323687.24323 liter diesel.
  • Håkan ska baka 1010 limpor och omvandlar därför ett recept för 3030 limpor genom att dela måtten med 3.3. Han får då att han ska ha 3.6666663.666666\ldots liter vatten i degen.
  • Titti ska ge en injektion stelkrampsvaccin och enligt instruktionerna ska dosen vara 0.000450.00045 liter.
Lösning
Exempel

Regina

När man tankar så mycket som Regina har gjort spelar förmodligen inte några hundradels liter så stor roll. Det kan därför vara lämpligt att avrunda till hela liter eller möjligen, om man vill vara lite mer exakt, till tiondels liter. Om vi väljer att avrunda till hela liter ser vi att den första decimalen är 2,2, vilket innebär att vi ska avrunda neråt till 687687 liter.

Exempel

Håkan

När det är frågan om flera liter vatten man ska ha i degen spelar några hundradelars liter inte så stor roll, men att avrunda till hela liter är nog lite väl ungefärligt. I det här fallet passar det då bäst att avrunda till tiondels liter, vilket man lätt kan mäta upp med ett decilitermått. Vi tittar alltså på den andra decimalen, som är 6,6, vilket innebär att vi ska avrunda uppåt till 3.73.7 liter.

Exempel

Titti

När det gäller läkemedel är det väldigt viktigt med exakta mått eftersom det kan ha allvarliga konsekvenser om man ger en för stor eller för liten dos. I det här fallet bör Titti alltså ge exakt 0.000450.00045 liter, utan att avrunda.

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

80+388+20+1280+388+20+12

b

250724250\cdot 72\cdot 4

c

18500+1250018\cdot 500+12\cdot 500

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck med din räknare.


a

5739+441957\cdot 39 + 44\cdot 19

b

(573919+44)19\left(\dfrac{57\cdot 39}{19} + 44\right) \cdot 19

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avrunda 7305773\, 057 till närmaste tusental.

b

Avrunda 0.085630.08563 till två decimaler.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avrunda 102.31102.31 till hundratal.

b

Avrunda 12.3112.31 till ental.

c

Avrunda 12.35912.359 till två decimaler.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

274/(10098)2\cdot7-4/(100-98)

b

72267^2\cdot2-6

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla bråket 3634159/3 \dfrac{36-3\cdot4}{15-9/3} utan räknare.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Shirin ska måla om hemma hos en kund. Hon vet att den totala ytan av väggar som ska målas är 200 m2200\ \text{m}^2 och att varje färgburk räcker till 24 m224\ \text{m}^2 vägg. Hur många burkar måste Shirin ta med sig till kunden?

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Ulrik är hobbykonstnär och försöker sätta priser på sina akvarellmålningar baserat på vad de har kostat att göra. Han har kommit fram till att en målning i genomsnitt kostar 500.9855500.9855 kr att producera. Vad är lämpligt att ta betalt för en målning om han vill tjäna ca 500500 kr på varje tavla?

b

Idilia jobbar som kostrådgivare och har räknat ut att hennes kund behöver äta 137.625137.625 gram gul paprika för att få i sig rekommenderat dagligt intag av C-vitamin. Hon tror dock att kunden kommer tycka att det är en för krånglig mängd paprika att mäta upp varje dag. Hur bör hon avrunda?

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna 4+63.4+6\cdot 3.

Nationella provet VT02 MaA (anpassad text)
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har följande uttryck: (728)undefined(2+6). \left.(72-8)\middle/(2+6).\right. Bestäm uttryckets värde utan räknare om


a

Båda parenteserna står kvar.

b

Första parentesen tas bort.

c

Andra parentesen tas bort.

d

Båda parenteserna tas bort.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

En rektangel har sidorna 11.2311.23 cm och 8.678.67 cm. Henrik har uppskattat arean till 9999 cm2^2. Hur kan Henrik ha räknat?

b

Hur bör man räkna för att minimera avrundningsfelet och vad är ett mer korrekt värde för arean?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket (25/(1510))/(0.45) (2\cdot5/(15-10))/(0.4\cdot5) utan räknare.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett åkeri ska frakta grus till en byggnadsentreprenör. Totalt använder åkeriet 2020 lastbilar och dessa hinner köra 22 laster per dag. Arbetet förväntas vara klart efter 9090 dagar. Efter 1010 dagar insisterar byggnadsentreprenören på att jobbet ska bli klart 3030 dagar tidigare. Hur många fler lastbilar måste åkeriet använda för att hinna med?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sätt ut parenteser i uttrycket 73+12832+1 \dfrac{7 \cdot 3+1^2}{8-3 \cdot 2+1}

a

så att det blir så stort som möjligt.

b

så att det blir så litet som möjligt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Då man ska använda prioriteringsreglerna men har variabler i uttrycken kan man behöva olika samband. En av dessa är den sk. distributiva lagen.

a

Visa med areaberäkningar i figuren att distributiva lagen gäller: a(b+c)=ab+ac. a\cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c.

Exercise631 1.svg


b

Visa med ett eget exempel att denna lag gäller.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Förenkla uttrycket 2a+aaundefineda,a0 2 \cdot a +a-\left.a\middle/a\right., \quad a\neq 0 genom att använda prioriteringsreglerna.

b

Amir fick svaret 3. I vilken ordning kan han ha utfört räkneoperationerna?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Aina är ansvarig för säkerheten på ett nytt kryssningsfartyg och ska beräkna hur många livbåtar fartyget behöver. Hon vet att en livbåt rymmer 120120 personer, men att det är ett avrundat värde, samt att summan av passagerare och besättning är maximalt 22802280 personer. Hur många livbåtar bör fartyget ha för att det med säkerhet ska finnas plats för samtliga ombord?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}