{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Kreditlista Bilder expand_more
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Mathleaks Videolektion

Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled Mathleaks
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Primtal
  • Primtalsfaktorisering
  • Faktorträd

Förkunskaper
Utforska

Upptäcka speciella tal

Genom att flytta den blåa rutan till talet ser du att talet är delbart med talen och Om du flyttar rutan till talet ser du att talet endast är delbart med och sig själv. Använd den blåa rutan för att hitta tre andra tal med samma egenskap som talet

Siffror från 1 till 100
Teori

Primtal

Ett primtal är ett naturligt tal större än som bara är delbart med och sig själv.

Tal Faktorer Är det ett primtal?
och
och
och

Naturliga tal som har fler än två faktorer kallas för sammansatta tal. Några viktiga egenskaper hos primtal och sammansatta tal visas i tabellen nedan.

Primtal Sammansatt tal
Ett primtal har bara två faktorer. Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.
Det enda jämna primtalet är Alla jämna tal större än är ett sammansatt tal.
Alla heltal större än är antingen ett primtal eller ett sammansatt.
är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.
Illustration

En algoritm för att hitta primtal

Den grekiske matematikern Eratosthenes utvecklade en metod för att hitta primtal upp till ett visst tal. Metoden går ur på att man tar bort multiplar av varje primtal, för att på så sätt kunna hitta alla primtal. Nedan beskrivs stegen för hur man hittar alla primtal mellan och

  • Steg Gör en tabell över talen mellan och
  • Steg Hoppa över eftersom det varken är ett primtal eller ett sammansatt tal.
  • Steg Markera och ta bort alla dess multiplar eftersom de inte är primtal.
  • Steg Markera nästa tal som inte är markerat än, vilket är och stryk ut alla dess multiplar.
  • Steg Fortsätt processen med resten av talen.
Följ stegen med hjälp av applikationen nedan och hitta alla primtal mellan och
Eratosthenes algoritm för att hitta primtal
Ta en titt på de här speciella talen från till
Alla de här talen är primtal, och det finns av dem mellan och
Övning

Primtal eller sammansatt tal?

Ett primtal är delbart endast med och sig själv. Ett sammansatt tal är delbart med fler än två faktorer.

Ett tal mellan 2 och 100 visas, och du ombeds avgöra om det är ett primtal eller ett sammansatt tal.
Teori

Primtalsfaktorisering

Heltal som inte är primtal kallas sammansatta tal. Detta beror på att sammansatta tal kan delas upp som en produkt av mindre heltal. Till exempel kan talet delas upp på följande sätt.
Men eftersom också är ett sammansatt tal som kan brytas ner ytterligare till fortsätter processen tills endast primtal återstår. När ett sammansatt tal uttrycks som en produkt av enbart primtal, kallas resultatet dess primtalsfaktorisering. För talet är den fullständiga primtalsfaktoriseringen följande.
Varje sammansatt tal kan brytas ner fullständigt till en unik uppsättning primtalsfaktorer. Varje tal är antingen ett primtal, som fungerar som en grundläggande byggsten, eller ett sammansatt tal, som är konstruerat av dessa byggstenar. Denna egenskap, som säger att varje tal kan brytas ner till en unik produkt av primtalsfaktorer, kallas aritmetikens fundamentalsats.
Teori

Faktorträd

Om man vill dela upp ett stort tal i primfaktorer kan det vara bra att använda ett faktorträd. Ett faktorträd är ett diagram som visar hur talet delas upp i primtalsfaktorer. Nedan kan du se en primtalsfaktorisering av talet Du får primtalsfaktoriseringen av talet genom att skriva upp produkten av alla primtalsfaktorer som visas i slutet av grenarna. Bygg upp faktorträdet genom att klicka fram en gren i taget.

Faktorträd av talet 36
Övning

Primtalsfaktoriseringen av tal

Slumpmässiga tal som ska primtalsfaktoriseras
Exempel

Det hemliga meddelandet

Ett system för att skicka hemliga meddelanden tilldelar varje siffra en bokstav baserat på dess största primfaktor. Den största primfaktorn för ett tal bestämmer en bokstav i det svenska alfabetet Bokstäverna kombineras sedan för att bilda det hemliga meddelandet. Följande nycklar är givna.
a Vad är primtalsfaktoriseringen av den första nyckeln?
b Matcha varje nyckel med dess motsvarande bokstav.

Ledtråd
a Ett faktoriseringsträd kan användas för att hitta primtalsfaktoriseringen av ett tal.
b Hitta primtalsfaktoriseringen för varje nyckel, identifiera den största primtalsfaktorn för varje tal och matcha den med dess bokstav i det svenska alfabetet.

Lösning
a Bygg ett faktoriseringsträd för för att hitta primtalsfaktoriseringen av den första nyckeln.
Faktorträd av talet 64.
Primtalsfaktoriseringen av består av siffran upprepad sex gånger.
b För att matcha varje nyckel med dess motsvarande bokstav, börja med att hitta primtalsfaktoriseringen av de återstående nycklarna. Använd liknande resonemang som för nyckeln
Primtalsfaktoriseringar av 64, 150, 418 och 528
När primtalsfaktoriseringarna har bestämts, identifiera den största primtalsfaktorn för varje nyckel och matcha den med dess motsvarande bokstav enligt regeln Till exempel, i fallet med är den enda primtalsfaktorn som också är den största primtalsfaktorn.
Nyckel Primtalsfaktorisering Största primtalsfaktor Bokstav
B
E
S
K

Det hemliga meddelandet som avslöjas av dessa nycklar är då BESK.

Avslut

Primtal och sammansatta tal

Primtal har exakt två faktorer: och talet självt, såsom och medan sammansatta tal som och har fler än två faktorer. Primtalsfaktorisering bryter ner ett sammansatt tal till sin unika produkt av primtalsfaktorer. Till exempel kan man använda faktorträd som tidigare gjorts för att hitta primtalsfaktoriseringen av vissa tal.
Primtalsfaktoriseringar av 64, 150, 418 och 528
Primtalsfaktorisering hjälper till att förenkla bråk, hitta minsta gemensamma multipel, största gemensamma delare och lösa delbarhetsproblem. Det utgör också grunden för kryptografi, där svårigheten att faktorisera stora tal säkerställer säker onlinekommunikation.
{{ grade.displayTitle }}
Laddar innehåll