1. Potens- och exponentialfunktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
1.
Potens- och exponentialfunktioner
Denna lektion fokuserar på potens- och exponentialfunktioner, två centrala koncept inom matematik. Den förklarar skillnaden mellan dessa två typer av funktioner baserat på var variabeln finns i potensen. Vidare diskuteras villkoren för konstanterna i en exponentialfunktion. Lektionenen innehåller också flera exempel för att illustrera dessa koncept, inklusive hur man identifierar om en funktion är en potens- eller exponentialfunktion, och hur man använder exponentialfunktioner för att modellera verkliga fenomen som procentuella förändringar. Slutligen, det finns övningar för att testa förståelsen av dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Potens- och exponentialfunktioner
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Potens- och exponentialfunktioner
- Exponentialfunktioner som modeller
Förkunskaper
Utforska
Dela
Rapportera fel
Investigating Function Families
Different types of functions have unique characteristics. These can be identified by investigating the functions using a table of values. The following tables of values belong to three different types of functions.
How do the y-values of each function change according to their corresponding x-values? What do the graph of these functions look like? Which type of function is represented in each table?
Koncept
Dela
Rapportera fel
Potens- och exponentialfunktioner
En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.
- Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
- Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.
I båda fall kan potenserna ha en koefficient, C.
Potensfunktion y=C* x^a
Exponentialfunktion y=C* a^x
I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna C och a måste uppfylla.
Villkor
C ≠ 0Om C är 0 blir funktionsuttrycket bara 0. Då får man den räta linjen y=0.
Villkor
a > 0 och a ≠ 1Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. Om a är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till 12 eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret
a ≥ 0.
Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionsuttrycket alltid 0, vilket ger linjen y=0, och när a=1 får man linje längs med startvärdet C eftersom 1^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren
a ≠ 0 och a ≠ 1.
Dessa villkor kan sammanfattas som a > 0 och a ≠ 1.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?
Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.
- y=15^x
- y=x^2
- y=sqrt(x)
- y=1/x^3
Svar
Potensfunktioner:
y=x^2, y=sqrt(x), y=1/x^3
Exponentialfunktioner:
y=15^x
Ledtråd
Är variabeln basen eller exponenten i funktionerna?
Lösning
Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet sqrt(a)=a^(1/2) till y=x^(1/2). Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen 1a^b=a^(- b) som y=x^(- 3). Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och y=x^2 har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen y=15^x har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.
Övning
Dela
Rapportera fel
Identifiera funktioner från en värdetabell
Välj det alternativ som bäst beskriver den givna värdetabellen.
Koncept
Dela
Rapportera fel
Exponentialfunktioner som modeller
Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten C som startvärdet och basen a som en förändringsfaktor. Grafiskt kan C tolkas som funktionsvärdet där grafen skär y-axeln.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?
Funktionen N(t)=1 200* 2^t, beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter. Hur många fanns det från början?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"C=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1200"]}}
Ledtråd
Jämför den givna funktionen med den allmänna formen av en exponentiell funktion.
Lösning
Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: y=C * a^t. När funktionen står på den här formen är C startvärdet. I vår funktion är C=1 200, så det fanns 1 200 bakterier från början.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Ställ upp en exponentialfunktion
På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1 250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11,5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1250 \\times 0,885^x"]}}
Ledtråd
Hitta startvärdet och förändringsfaktorn. Sätt sedan in dem i den exponentiella modellen.
Lösning
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C * a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1 250. Detta ger y=1 250 * a^x. En minskning på 11,5 % innebär att det varje år finns kvar 100-11,5=88,5 % av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0,885 vilket ger oss funktionen y=1 250 * 0,885^x, där y är antal tofspingviner x år efter idag.
Potens- och exponentialfunktioner
Övningar
Beräkna f(5) för följande funktioner. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["75"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4\\sqrt{5}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,07"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar f(5) genom att ersätta x med 5 i funktionsuttrycket. Kom ihåg att potenser beräknas före multiplikation enligt prioriteringsreglerna.
På samma sätt som i förra deluppgiften ersätter vi x med 5 i funktionsuttrycket.
Vi får alltså f(5) = 4sqrt(5).
Vi ersätter x med 5 i funktionsuttrycket och förenklar.
security
report
code
För potensfunktionen f(x) = C * x^3 gäller att f(2) = 2 och att C är en konstant.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"C=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,25"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6,75"]}}
security
report
code
security
report
code
Ekvationen f(2)=2 innebär att f(x)= 2 när x = 2. Vi sätter in värdena i potensfunktionen och löser ut C.
Konstanten C har alltså värdet 0,25.
I den förra deluppgiften beräknade vi konstanten C, så nu vet vi att potensfunktionen kan skrivas
f(x) = 0,25x^3.
Nu sätter vi in x=3 i denna och beräknar funktionsvärdet.
Svaret är alltså att f(x) blir 6,75 när x är 3.
security
report
code
Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.
Identifiera vilken av graferna A, B, C och D som hör till funktionen.
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":3}
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Exponentialfunktionen y = 400 * 0,8^x skär y-axeln vid startvärdet y = 400, och är avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,8 är mindre än 1. Grafen till denna exponentialfunktion måste därför vara graf C.
Exponentialfunktionen
y = 200 * 0,7^x
skär y-axeln vid y = 200 och är också avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,7 är mindre än 1. Graf till denna exponentialfunktion måste vara D.
Exponentialfunktionen
y = 400 * 1,1^x
skär y-axeln vid y = 400 och är växande eftersom förändringsfaktorn 1,1 är större än 1, vilket är graf B.
security
report
code
Folkmängden i en stad är 500 000 personer. Skapa en modell i form av en exponentialfunktion som anger folkmängden y miljoner efter t år om folkmängden...
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5\\cdot 1,03^{t}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5\\cdot 0,997^{t}"]}}
security
report
code
security
report
code
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y = C * a^t, där C och a är konstanter, och t är variabeln. Stadens folkmängd från början är 500 000 personer, vilket är en halv miljon. Det innebär att C = 0,5. Folkmängden ska öka med 3 % per år, så förändringsfaktorn a är 1,03. Den sökta exponentialfunktionen är därför y = 0,5 * 1,03^t, där y är folkmängden i miljoner invånare och t är tiden i år.
Startvärdet C är även här 0,5. Denna gång ska folkmängden minska med 0,3 % per år. Det innebär folkmängden ett visst år är 100-0,3=99,7 % av förra årets befolkningsmängd. Förändringsfaktorn a får vi genom att skriva detta i decimalform, dvs 0,997. Vår sökta exponentialfunktion kan därför skrivas
y = 0,5 * 0,997^t,
där y är folkmängden i miljoner och t är tiden i år.
security
report
code
Du har graferna f, g, h och k.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"},{"id":3,"text":"D"}],[{"id":0,"text":"h(x)"},{"id":1,"text":"g(x)"},{"id":2,"text":"k(x)"},{"id":3,"text":"f(x)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
security
report
code
security
report
code
Uppgiften handlar om den typ av funktioner som kallas exponentialfunktioner, som skrivs på formen y=C * a^x. Exponentialfunktioner beskriver procentuella förändringar utifrån ett startvärde C. Konstanten C anger rent grafiskt skärningspunkten med y-axeln, och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med de två funktioner som skär y-axeln där y=3.
Startvärdet C = 3
Funktionerna B och C har startvärdet 3. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av funktionsuttrycken &B y=3 * 1,1^x &C y=3 * 0,95^x. Det som skiljer funktionsuttrycken åt är a. B har a=1,1, tolkar vi denna förändringsfaktor inser vi att det är en ökning med 10 %. C:s förändringsfaktor däremot är 0,95 vilket motsvarar en minskning med 5 %. I och med att g(x) växer, medan k(x) avtar, kan vi då para ihop graf och funktionsuttryck på följande vis. &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x.
Startvärdet C = 6
Funktionerna f(x) och h(x) skär y-axeln där y=6, så de måste vara &A y=6 * 1,01^x &D y=6 * 1,4^x Här ser vi att båda funktionerna är växande. Men de växer olika snabbt. Tittar vi på förändringsfaktorerna ser vi att A bara växer med 1 % för varje steg i x-led, medan D växer med hela 40 %. Den graf som är brantast är den som växer fortast, vilket är den svarta grafen f(x). Den långsammare h(x) hör därför ihop med A.
Sammanfattning
Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck. &h(x) - A y=6 * 1,01^x &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x &f(x) - D y=6 * 1,4^x.
security
report
code
Du investerar i en fond i början av år 2016. Du skapar också en modell som visar hur du förväntar dig att din investering kommer öka i värde: y = 20 000 * 1,02^x, där ykr är beloppet i fonden och x är antal år efter 2016. Utgå från modellen och svara på följande frågor.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["20000"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
En exponentialfunktion kan allmänt skrivas på formen y = C * a^x, där C anger funktionsvärdet när x = 0, dvs. år 2016. Vi vet att C = 20 000, vilket innebär att beloppet du investerade var 20 000kr.
En exponentialfunktion f(x) kan allmänt skrivas
f(x)=C* a^x,
där a anger exponentialfunktionens förändringsfaktor. I vår modell är a= 1,02 vilket innebär att investeringen förväntas att öka med 2 % per år.
security
report
code
Kommunen Kvidum har idag 3 780 invånare, men man förväntar sig att befolkningen kommer att minska med 2,3 % varje år. Ställ upp en funktion som beskriver invånarantalet i Kvidum om x år.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3780*0.977^x"]}}
security
report
code
security
report
code
Befolkningen beräknas minska med lika många procent varje år. Detta är vad man kallar en exponentiell förändring, så det är en exponentialfunktion vi ska ställa upp. Just nu bor det 3 780 personer i kommunen, så detta är vårt startvärde C: y=C* a^x ⇒ y=3 780 * a^x. Konstanten a är förändringsfaktorn. Invånarantalet förväntas minska med 2,3 % varje år vilket betyder att det varje år är 100-2,3=97,7 % kvar av vad det var året före. 97,7 % kan man skriva som 0,977 och det är detta som är förändringsfaktorn. En funktion som beskriver befolkningen i Kvidum är alltså y=3 780*0,977^x.
security
report
code
Hitta värdet av c i ekvationen c^3=1728.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"c=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["12"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill lösa den givna ekvationen. c^3 = 1728 För att göra det, eftersom c är upphöjt till den tredje potensen, kommer vi att ta kubroten ur båda sidor. Låt oss göra det!
security
report
code
Bestäm om ekvationen representerar en exponentiell funktion.
y=1/2 * 1^x
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi vill avgöra om den givna regeln representerar en exponentialfunktion. Lägg märke till att även om den oberoende variabeln x är en exponent, är b lika med 1. Därför representerar regeln inte en exponentialfunktion. y=1/2 * 1^x
security
report
code
Potens- och exponentialfunktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll