Regel

Derivatan av $a^{kx}$

Funktioner på formen $f(x)=a^{kx}$ deriveras på nästan samma sätt som $f(x)=a^x.$ Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med $\ln(a)$ multipliceras det även med koefficienten $k.$

Härledning
$D\left(a^{kx}\right) = a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a)$

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen $a$ i exponentialfunktionen $f(x)=a^{kx}$ enligt $a=e^{\ln(a)}$. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen $e.$

$f(x)=a^{kx}$

$a = e^{\ln(a)}$

$f(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^{kx}$

$\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}$

$f(x)=e^{\ln(a)\cdot k\cdot x}$

Uttrycken $a^{kx}$ och $e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}$ är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln $D\left( e^{kx}\right) = ke^{kx}$.

$f(x)= e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}$

Derivera funktion

$f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}\right)$

$D\left( e^{kx}\right) = ke^{kx}$

$f'(x) =\ln(a) \cdot k \cdot e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}$

$a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}$

$f'(x) =\ln(a)\cdot k\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^{kx}$

$e^{\ln(a)}= a$

$f'(x) =\ln(a)\cdot k\cdot a^{kx}$

Omarrangera faktorer

$f'(x) = a^{kx} \cdot k \cdot \ln(a)$