Regel

Derivatan av akxa^{kx}

Funktioner på formen f(x)=akxf(x)=a^{kx} deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax.f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a)\ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.k.

Härledning

D(akx)=akxkln(a)D\left(a^{kx}\right) = a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a)
För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen aa i exponentialfunktionen f(x)=akxf(x)=a^{kx} enligt a=eln(a)a=e^{\ln(a)}. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.e.
f(x)=akxf(x)=a^{kx}
f(x)=(eln(a))kxf(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^{kx}
f(x)=eln(a)kxf(x)=e^{\ln(a)\cdot k\cdot x}
Uttrycken akxa^{kx} och eln(a)kxe^{\ln(a)\cdot k \cdot x} är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln D(ekx)=kekxD\left( e^{kx}\right) = ke^{kx}.
f(x)=eln(a)kxf(x)= e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}
f(x)=D(eln(a)kx)f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}\right)
f(x)=ln(a)keln(a)kxf'(x) =\ln(a) \cdot k \cdot e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}
f(x)=ln(a)k(eln(a))kxf'(x) =\ln(a)\cdot k\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^{kx}
f(x)=ln(a)kakxf'(x) =\ln(a)\cdot k\cdot a^{kx}
f(x)=akxkln(a)f'(x) = a^{kx} \cdot k \cdot \ln(a)

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}