Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Funktioner på formen $f (x) = a^{k x}$ deriveras på nästan samma sätt som $f (x) = a^{x} .$ Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med $ln (a)$ multipliceras det även med koefficienten $k .$

Härledning

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{k x}

enligt

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{k x}

NumberToBaseE

a = e^{l n (a)}

f (x) = (e^{l n (a)})^{k x}

PowPow

(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Uttrycken

a^{k x}

och

e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

.

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

DeriveDerivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot k \cdot x})

DeriveECo

D (e^{k x}) = k e^{k x}

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

ProdInExponent

a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot (e^{l n (a)})^{k x}

LnIdII

e^{l n (a)} = a

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot a^{k x}

RearrangeFacOmarrangera faktorer

f^{'} (x) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)