Derivatan av a^kx

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{k x}

enligt

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{k x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{k x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Uttrycken

a^{k x}

och

e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot k \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot (e^{l n (a)})^{k x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot a^{k x}

Omarrangera faktorer

f^{'} (x) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

Derivatan av $a^{k x}$