Bestäm derivatan med kedjeregeln

fullscreen

Bestäm $y^{'} (5)$ givet att $y (x) = (4 x - 7)^{3} .$

Visa Lösning

För att bestämma $y^{'} (5)$ måste vi derivera $y (x) .$ Eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen $y = u^{3}$ och den inre funktionen $u = 4 x - 7$ använder vi kedjeregeln.

y (x) = (4 x - 7)^{3}

Derive

Derivera funktion

y^{'} (x) = D ((4 x - 7)^{3})

DeriveMonomChain

$D (u^{n}) = n u^{n - 1} \cdot D (u)$

y^{'} (x) = 3 (4 x - 7)^{2} \cdot D (4 x - 7)

Delar av instruktionen $D (u^{n}) = n u^{n - 1} \cdot D (u)$ känner vi igen sedan tidigare, som deriveringsregeln för potensfunktioner. Den återkommer här eftersom den yttre funktionen i detta fall är just en potensfunktion — då bestäms den yttre derivatan med deriveringsregeln för potensfunktioner och multipliceras sedan med den inre derivatan.

Notera att hela den inre funktionen hanteras som en variabel när den yttre funktionen deriveras, oavsett hur funktionsuttrycket ser ut. Vi fortsätter genom att derivera den inre funktionen term för term.

y^{'} (x) = 3 (4 x - 7)^{2} \cdot D (4 x - 7)

DeriveSum

Derivera term för term

y^{'} (x) = 3 (4 x - 7)^{2} \cdot (D (4 x) - D (7))

DeriveConst

$D (a) = 0$

y^{'} (x) = 3 (4 x - 7)^{2} \cdot D (4 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

y^{'} (x) = 3 (4 x - 7)^{2} \cdot 4

Multiply

Multiplicera faktorer

y^{'} (x) = 12 (4 x - 7)^{2}

Derivatan av

y (x)

är alltså

12 (4 x - 7)^{2} .

Nu sätter vi in

x = 5

i detta uttryck för att bestämma

y^{'} (5) .

y^{'} (x) = 12 (4 x - 7)^{2}

Substitute

$x = 5$

y^{'} (5) = 12 (4 \cdot 5 - 7)^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

y^{'} (5) = 12 (20 - 7)^{2}

SubTerm

Förenkla termer

y^{'} (5) = 12 \cdot 1 3^{2}

UseCalc

Slå in på räknare

y^{'} (5) = 2028

Vi kan nu konstatera att

y^{'} (5) = 2028 .

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm derivatan med kedjeregeln

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}