En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen $f(x),$ där funktionen $f$ beror på variabeln $x.$ Om man ersätter $x$ med ett tal kan man beräkna värdet för olika $x,$ t.ex. betyder det att Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, $g(x)?$ Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen $\tan (9x)$ sammansatt av $9x$ och $\tan (x),$ där den inre funktionen, $9x,$ har satts in i den yttre funktionen, $\tan (x).$ I tabellen visas några fler exempel.

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion
$y=\cos (u)$	$u=7x$	$y=\cos (7x)$
$y=u^4$	$u=x-6$	$y=(x-6{)}^4$
$y=\ln (u)$	$u=3x-5$	$y=\ln (3x-5)$
$y=e^u$	$u=2x$	$y=e^{2x}$

I det här fallet kallas den inre funktionen för $u$ och den yttre för $y,$ men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner. För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln $x,$ och i andra inte.

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion	Utläses
$y$	$u$	$y(u)$	"$y$ av $u$"
$f(x)$	$g(x)$	$f(g(x))$	"$f$ av $g$ av $x$"
$f$	$g$	$f\circ g$	"$f$ boll $g$"

Sammansatta funktioner deriveras med kedjeregeln: