8. Grundpotensform och prefix
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
8.
Grundpotensform och prefix
Lektionen fokuserar på begreppen tiopotenser och prefix inom matematiken. Den förklarar hur tiopotenser används för att representera stora och små tal genom att använda potenser av 10. Sidan introducerar också olika prefix som mikro, mega och tusen, och hur de används i samband med måttenheter. Detta inkluderar en förklaring av hur prefix som "tio miljondels millimeter" kan användas i praktiska sammanhang. Genom att kombinera dessa koncept hjälper sidan läsarna att förstå och använda tiopotenser och prefix korrekt, både i matematiska beräkningar och i vardagliga situationer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Grundpotensform och prefix
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Tiopotens
- Grundpotensform
- Prefix
Förkunskaper
Teori
Tiopotens
En tiopotens är en potens med bas 10, t.ex. 102. Värdet av tiopotenser följer alltid samma struktur: en 1:a med ett visst antal nollor till höger eller vänster om 1:an. Hur många nollor samt på vilken sida om 1:an de ska skrivas anges av exponenten.
| Tiopotens | Värde | Exponent | Antal nollor |
|---|---|---|---|
| 102 | 100 | 2 | 2 |
| 101 | 10 | 1 | 1 |
| 100 | 1 | 0 | 0 |
| 10−1 | 0,1 | −1 | 1 |
| 10−2 | 0,01 | −2 | 2 |
Exempel
Skriv ett stort tal med tiopotens
Skriv talet 2000000 med hjälp av en tiopotens.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 \\times 10^6"]}}
Ledtråd
Tänk på att 2000000 kan delas upp i två faktorer: en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många nollor som finns i 1000000 för att bestämma exponenten i tiopotensen.
Lösning
Talet 2000000 har ingen
egentiopotens. Vi skriver därför om det som 2⋅1000000 så att vi kan utnyttja tiopotensen som motsvarar 1000000. Eftersom det är 6 nollor i talet är det tiopotensen med exponenten 6 som ska användas, dvs. 106. Vi kan alltså skriva om talet på följande sätt.
2000000=2⋅1000000=2⋅106
Exempel
Skriv ett litet tal med tiopotens
Skriv talet 0,0003 med hjälp av en tiopotens.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3 \\times 10^{-4}"]}}
Lösning
Vi börjar med att skriva om talet 0,0003 som 3⋅0,0001 eftersom vi då kan använda att 0,0001 motsvarar tiopotensen 10−4. Talet kan alltså skrivas om på följande sätt.
0,0003=3⋅0,0001=3⋅10−4
Exempel
Multiplikation med tiopotenser
a Beräkna.
2⋅102⋅4⋅103
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8 \\times 10^5"]}}
b Beräkna.
2⋅10−2⋅5⋅10−3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10^{-4}"]}}
Ledtråd
a När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
b När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
Lösning
a När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
2⋅102⋅4⋅103
RearrangeTerms
Omarrangera termer
2⋅4⋅103⋅102
Multiply
Multiplicera faktorer
8⋅103⋅102
MultPow
ab⋅ac=ab+c
8⋅105
b När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
2⋅10−2⋅5⋅10−3
RearrangeTerms
Omarrangera termer
2⋅5⋅10−3⋅10−2
Multiply
Multiplicera faktorer
10⋅10−3⋅10−2
MultPow
ab⋅ac=ab+c
10⋅10−5
MultBasePow
a⋅ab=a1+b
10−4
Teori
Grundpotensform
Grundpotensform är ett mer kompakt sätt att skriva väldigt stora eller väldigt små tal. När man skriver om ett tal i grundpotensform delar man upp det i ett tal mellan 1 och 10 som anger värdesiffrorna och en tiopotens som anger storleken. Det gör att man inte behöver skriva ut alla nollor. Till exempel kan talet 4 miljarder skrivas som
På motsvarande sätt, för tal mindre än 1, till exempel 0,000022, flyttar vi decimalkommat åt höger tills talet är mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger då den negativa exponenten i 10-potensen.
Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att uttrycka besvärliga tal; det underlättar också jämförelsen av numeriska ordningsstorlekar. Genom att titta på exponenten är det tydligt vilket nummer som är större eller mindre. Till exempel, 3⋅107 är större än 4⋅106 eftersom 107 är större än 106.
Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att skriva stora eller små tal; det gör det också enklare att jämföra talens storleksordning. Genom att jämföra exponenterna kan vi direkt se vilket tal som är störst eller minst. Till exempel är 3⋅107 större än 4⋅106 eftersom 107 är större än 106.
4000000000=4⋅109.
Detta gäller även för mycket små decimaltal där det finns många nollor innan värdesiffrorna, vilket ger en negativ exponent på tiopotensen. Exempelvis är 0,000000234=2,34⋅10−7.
Nedan visas ytterligare några exempel på tal skrivna på grundpotensform.
| Tal | Värdesiffror | Storlek | Grundpotensform |
|---|---|---|---|
| 53000 | 5 och 3 | 10000 | 5,3⋅104 |
| 432 | 4, 3, och 2 | 100 | 4,32⋅102 |
| 0,0074 | 7 och 4 | 0,001 | 7,4⋅10−3 |
| 0,000031 | 3 och 1 | 0,00001 | 3,1⋅10−5 |
Grundpotensform gör det enklare att jämföra tals storleksordning, alltså om det t.ex. är ett tiotal eller ett tusental. Det kan vara svårt att avgöra hur mycket större 23740000000 är jämfört med 457300000, men det är lättare att se att 2,374⋅1010 och 4,573⋅108 skiljer sig åt med en faktor som är ungefär 102=100. Räknare har speciella knappar för att enklare kunna skriva tal i grundpotensform.
Extra
Intuitiv metod: Skriva om ett nummer i grundpotensformEtt intuitivt sätt att skriva ett tal i grundpotensform är att räkna antalet steg som decimalkommat måste flyttas. Om vi har ett tal större än 10, flyttar vi decimalkommat åt vänster, så att talet blir mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger den positiva exponenten i 10-potensen.
3⋅107 > 4⋅106
Det hjälper oss att snabbt få en uppfattning om talets storlek, även när det är väldigt stort eller litet.
Teori
Grundpotensform på räknare
Räknaren har ett annorlunda sätt att skriva grundpotensform. Istället för att skriva *10^
anges symbolen E. Vill man själv använda detta sätt att skriva in tiopotenser trycker man på knappen EE (2nd + ,).
Symbolen E betyder alltså gånger 10 upphöjt till...
0,0052000000000=400000000000
skrivas som nedan. 
Man kan också använda knappen 10x, men då måste man sätta parenteser runt täljare och nämnare. Annars kommer räknaren bara dividera talen närmast divisionstecknet, och exemplet tolkas som 2⋅5109⋅10−3.
Exempel
Skriv ett stort tal i grundpotensform
Skriv talet 893400 på grundpotensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8.934 \\times 10^{5}"]}}
Lösning
893400 står i storleksordningen "hundratusental" så tiopotensen i talets grundpotensformen blir 105. Vi ser även att talet har fyra värdesiffror (8,9,3 och 4) så framför tiopotensen ska vi sätta decimaltalet 8,934. Grundpotensformen blir:
8,934⋅105
Exempel
Skriv ett litet tal i grundpotensform
Skriv talet 0,002016 på grundpotensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.016 \\times 10^{-3}"]}}
Ledtråd
För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran.
Lösning
Decimaltalet har fyra värdesiffror och den första av dessa är 2. För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran och vi ser då att det sitter tre nollor framför 2. Talets storleksordning är alltså "tusendel" så tiopotensen vi ska använda är 10−3. Framför tiopotensen sätter vi decimaltalet 2,016 vilket ger oss:
2,016⋅10−3
Teori
Prefix
Ett prefix är ett ord som läggs till framför en enhet, oftast en grundenhet, och används för att visa en multipel av den enheten. Alla prefix är potenser av 10. Prefix kan ses som ett alternativ till grundpotensform. Exempelvis kan 7,3⋅103 gram kan skrivas som 7,3 kilogram, eftersom prefixet
Notera att prefixnamnen inte kan användas tillsammans.
kilobetyder 103.
7,3⋅103 gram=7,3 kilogram
Varje prefix har en unik symbol som kan sättas framför vilken enhetssymbol som helst. | Prefix större än 1 | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| mega | M | miljon — 1000000 | |
| kilo | k | tusen — 1000 | |
| hekto | h | hundra — 100 | |
| deka | da | tio — 10 | |
De prefix som är mindre än 1 visas i följande tabell.
| Prefix mindre än 1 | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| deci | d | en tiondel — 0,1 | |
| centi | c | en hundradel — 0,01 | |
| milli | m | en tusendel — 0,001 | |
| mikro | μ | en miljonedel — 0,000001 | |
0,000002 meter → 2 mikrometer2 centimillimeter
En annan viktig sak att lägga märke till är att SI-grundenheten för massa, kilogram, redan innehåller ett prefix. Eftersom flera prefix inte är tillåtna så används de prefixnamn som visas i tabellerna med enheten gram (g), istället för kilogram.
0,000001 kilogram → 1 milligram1 microkilogram
Extra
Användbart diagramFöljande diagram visar relationerna mellan olika prefix. Det kan användas vid omvandling från ett prefix till ett annat. Exempelvis är 1 kilogram lika med 10 hektogram. När man går ner ett steg i tabellen ska talet framför enheten alltså multipliceras med 10, och när man går upp ett steg i tabellen ska talet divideras med 10.
Tänk även på att diagrammet inte stämmer helt för grundenheten kilogram, eftersom den redan har ett prefix. I det fallet är det istället gram som ska stå i mittenrutan.
Exempel
Skriv med prefix
a Skriv följande tal med lämpligt prefix.
3000000000 W
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"GW","answer":{"text":["3"]}}
b Skriv följande tal med lämpligt prefix.
0,002 g
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"mg","answer":{"text":["2"]}}
c Skriv följande tal med lämpligt prefix.
4000 m
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["4"]}}
Ledtråd
a Om vi räknar antalet nollor till höger om 3:an ser vi att de är 9 stycken vilket stämmer in på prefixet giga (G).
b Till vänster om 2:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet milli (m).
c Till höger om 4:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet kilo (k).
Lösning
a Om vi räknar antalet nollor till höger om 3:an ser vi att de är 9 stycken vilket stämmer in på prefixet giga (G).
3000000000 W
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
3⋅1000000000 W
WritePow
Skriv som potens
3⋅109 W
GigaPowToText
109=giga
3 GW
b Till vänster om 2:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet milli (m).
0,002 g
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2⋅0,001 g
WritePow
Skriv som potens
2⋅10−3 g
MilliPowToText
10-3=milli
2 mg
c Till höger om 4:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet kilo (k).
4000 m
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
4⋅1000 m
WritePow
Skriv som potens
4⋅103 m
KiloPowToText
103=kilo
4 km
En laserskrivare använder cirka 2 pikoliter bläck per droppe. Skriver du ut tre sidor går det åt 4 ml bläck. Hur många droppar rymmer en bläckpatron om den kan skriva ut cirka 270 sidor innan den är slut? Svara i miljarder droppar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"miljarder droppar","answer":{"text":["180"]}}
security
report
code
security
report
code
Om tre sidor kräver 4 ml innebär det att en sida kräver 43 ml. Multiplicerar vi mängden bläck per sida med antalet sidor kan vi beräkna hur många ml bläckpatronen rymmer.
Slutligen dividerar vi den totala mängden bläck i en patron med mängden bläck i en droppe. Vi ersätter prefixen med tiopotenser.
Bläckpatronen innehåller 180 miljarder droppar.
security
report
code
Hår växer ungefär med hastigheten 5,2 nm per sekund. Hur långt växer håret om man inte klipper sig på 10 år? Svara i hela centimeter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["164"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma antalet sekunder på ett år. På en timme går det 60 * 60 = 3 600 sekunder. På ett dygn går det 24 timmar och varje år är 365 dygn (vi räknar inte med skottdagar). På ett år går det alltså 3 600 * 24 * 365 = 31 536 000 sekunder. På 10 år går det 10 gånger fler sekunder dvs. är 315 360 000 s. För att beräkna hur mycket håret växer under den tiden multiplicerar vi detta med hastigheten.
Håret växer alltså cirka 1,64 meter. Det går 100 cm på en meter så 1,64 m är lika med 164 cm.
security
report
code
Ett land med 20 miljoner hushåll förbrukar tillsammans cirka 96 TWh el varje år. Hur stor blir landets årliga elförbrukning i TWh om varje hushåll minskar sin månatliga förbrukning med 25 kWh?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"TWh","answer":{"text":["90"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att bestämma den årliga minskningen av hushållens elförbrukning. Vi multiplicerar besparingen i kWh med antalet månader på ett år (12) och antalet hushåll (20 miljoner).
Landets hushåll sparar alltså 6* 10^9 kWh. Innan vi beräknar den nya energiförbrukningen skriver vi om 96 TWh till kWh.
Den nya elförbrukningen kan nu beräknas genom att subtrahera hushållens besparing från den totala elförbrukningen.
Efter att hushållen minskat sin elanvändning är den nu 90 TWh.
security
report
code
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1*10^3"]}}
security
report
code
security
report
code
Tal på grundpotensform står på formen a*10^b, där a är ett tal som är minst 1, men mindre än 10. Eftersom sqrt(10)≈ 3,16 är a ett tal mellan 1 och 10. Men b måste vara ett heltal. Eftersom 2,5 inte är ett heltal står talet inte på grundpotensform.
Vi skriver om sqrt(10) som en potens och kan därefter multiplicera potenserna eftersom de har samma bas.
Talet skrivs i grundpotensform som 1*10^3.
security
report
code
Talet 5,83⋅10−3 är skrivet i grundpotensform. Vilket tal ska du subtrahera med för att ”åttan” ska ändras till en sexa
? Svara i decimalform.
Nationella provet VT10 MaA
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.0002"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att skriva ut talet. Eftersom exponenten är negativ kommer vi få ett decimaltal.
Nu ser vi att åttans platsvärde är tiotusendelar så om den ska ändras till en sexa måste vi minska talet med 8-6=2 tiotusendelar, dvs. 2/10 000=0,0002.
security
report
code
Grundpotensform och prefix
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll