Funktioner och olikheter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas xx medan utvärdet brukar kallas yy eller f(x)f(x).
Välj x-värde:
x=-9x=\text{-9}

x=-2x=\text{-2}

x=0x=0

x=3x=3

x=7x=7

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet yy bildas alltså genom att addera 3 till invärdet x.x.
Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (yy-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett xx-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på yy-axeln.

Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x5.g(x)=2x-5. Bestäm g(4)g(4) och g(300).g(300).

Lösning

För att bestämma g(4)g(4) utgår vi från x=4x=4xx-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på yy-axeln.

Funktionsvärdet är 33 när x=4,x=4,g(4)=3. g(4)=3. Grafen är enbart uppritad för relativt små xx så vi kan inte bestämma g(300)g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300x=300 i funktionsuttrycket.

g(x)=2x5g(x)=2x-5
g(300)=23005g({\color{#0000FF}{300}})=2\cdot{\color{#0000FF}{300}}-5
g(300)=6005g(300)=600-5
g(300)=595g(300)=595

De två funktionsvärdena är alltså g(4)=3g(4)=3 och g(300)=595.g(300)=595.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de xx-värden som gör att funktionsvärdet blir 0.0. Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med 00 och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de xx-värden där grafen skär xx-axeln, eftersom yy är 00 längs hela xx-axeln. Exempelvis har funktionen y=x24y=x^2-4 två nollställen eftersom dess graf skär xx-axeln två gånger.

Uppgift

Bestäm nollstället till funktionen y=0.5x+6.y=0.5x+6.

Lösning

Nollställen är de xx-värden där yy är lika med 0.0. Vi låter därför yy vara 00 och löser ekvationen.

y=0.5x+6y=0.5x+6
0=0.5x+6{\color{#0000FF}{0}}=0.5x+6
-6=0.5x\text{-}6=0.5x
0.5x=-60.5x=\text{-}6
x=-12x=\text{-}12
Funktionen har alltså nollstället x=-12.x=\text{-}12.
Visa lösning Visa lösning

För att rita grafer på räknaren trycker man först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. Använd knappen X,T,θ\theta,n för att skriva x.x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-)(\text{-}) och inte .-.

Fönster med funktioner

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av xx- och yy-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

funktionsfönster på räknare

Man kan också själv sätta in ett xx-värde och låta räknaren beräkna yy-värdet genom att trycka på 2nd + TRACE och välja value.

meny på räknare

Nu kan man välja vilket xx-värde man är intresserad av.

graffönster på räknare

Trycker man på ENTER visas funktionens yy-värde för detta xx-värde och markören ställer sig även där.

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp. Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

fönster med funktioner
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y1\text{Y}_1 och Y3\text{Y}_3 att ritas upp i koordinatsystemet. För att välja tillbaka Y2\text{Y}_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Begrepp

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken Betyder Exempel
<\lt Är mindre än 3<43 \lt 4
\leq Är mindre än eller lika med x2x \leq 2
>\gt Är större än 4>34 \gt 3
\geq Är större än eller lika med x0x \geq 0
Den sista olikheten, x0,x \geq 0, säger att xx är noll eller positivt.
Uppgift

Vilka av talen -7,\text{-}7, -2,\text{-}2, 0,0, 44 och 99 kan man sätta in istället för xx så att olikheten är sann? x>-3.5 x>\text{-}3.5

Lösning

I olikheten representerar xx:et de tal som är större än -3.5,\text{-}3.5, så vi frågar oss vilka av de givna talen som är det. Talet 00 och positiva tal är alltid större än negativa tal så dessa kan sättas in istället för x.x. Negativa tal blir mindre ju mer negativa de är. Det betyder att -7\text{-}7 är mindre än -3.5,\text{-}3.5, medan -2\text{-}2 är större. Sammanfattningsvis kan alltså talen -2,0,4och9 \text{-}2, \quad 0, \quad 4 \quad \text{och} \quad 9 sättas in istället för xx i olikheten.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna f(3)f (3) om f(x)=9+x2.f(x)=9+x^2.

Nationella provet HT13 2a
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f(3) om f(x)=3x22x+5.f(x)=3x^2-2x+5.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas graferna till funktionerna f(x),f(x), g(x)g(x) och h(x).h(x).

Bestäm nollställena till respektive funktion.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion beskrivs av g(x)=2x53. g(x)=\dfrac{2x}{5}-3.

a

Bestäm g(5).g(5).

b

Lös ekvationen g(x)=5.g(x)=5.

c

I vilken punkt skär funktionens graf yy-axeln?

d

Hur mycket ökar funktionsvärdet om xx-värdet ökar med 1?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linjär funktion beskrivs av funktionsuttrycket y=3x2.y = 3x - 2.


a

Beräkna yy när x=0.x = 0.

b

Beräkna yy när x=-2.x = \text{-}2.

c

Lös ekvationen y=7.y = 7.

d

Rita grafen till funktionen med hjälp av räknarens grafverktyg.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm nollställena till följande funktioner.

a

y=7x+1.4y=7x+1.4

b

y=2.3x6.9y=2.3x-6.9

c

y=18x+216y=18x+216

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som olikheter.

a

Alla x större än 5.

b

Alla y större än -2\text{-}2 och mindre än eller lika med 8.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd räknaren till följande uppgifter.

a

Rita funktionerna

y=x2+3x6,y=-0.7x2,y=5xy=4\begin{aligned} y&=x^2+3x-6, \\ y&=\text{-}0.7x-2, \\ y&=5x \\ y&=4 \end{aligned} i samma koordinatsystem.

b

Rita endast funktionen y=x2+3x6y=x^2+3x-6 i koordinatsystemet, utan att radera övriga funktioner från plot-listan.

c

Rita alla funktioner utom y=x2+3x6,y=x^2+3x-6, men radera inte denna från plot-listan.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm funktionsvärdet yy för följande xx-värden för funktionen y=x2+2.y=x^2+2. Använd räknarens "value"-funktion.

a

x=1x=1

b

x=3.25x=3.25

c

x=-1.75x=\text{-}1.75

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara skillnaden mellan följande begrepp.


a

Funktion och ekvation

b

Ekvation och olikhet

c

Funktion och uttryck

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande alternativ är funktioner?A. y=3x+2B. 3x=2C. f(x)=3x+2D. 3x2+2x+2\begin{aligned} &\text{A. }y=3x+2\\ &\text{B. }3x=2\\ &\text{C. }f(x)=3x+2\\ &\text{D. }3x^2+2x+2 \end{aligned}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
I koordinatsystemet visas grafen till funktionen f(x).f(x).
a

Uppskatta värdet av f(2).f(2).

b

Lös ekvationen f(x)=-6.f(x)=\text{-}6.

c

Stämmer det att f(-5)=f(1)=f(3)=f(9)?f(\text{-}5)=f(1)=f(3)=f(9)?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera området y1y\geq1 i ett koordinatsystem.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=ax+b,f(x)=ax+b, där aa och bb är konstanter, har nollstället x=-1.5.x=\text{-}1.5. Bestäm f(x)f(x) givet att funktionens graf går genom punkten (-2,-1).(\text{-}2, \text{-}1).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd olikhetstecken för att beskriva figurernas vikt i förhållande till varandra. Samma form innebär att de väger lika mycket.

Exercise 516 1.svg
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje ff och en andragradsfunktion g.g.
Graf uppg7 NP 2a vt15.svg

Besvara frågorna med hjälp av graferna.

a

För vilka värden på xx gäller att g(x)<3?g(x)<3?

b

För vilka värden på xx gäller att f(x)g(x)=0?f(x)-g(x)=0?

Nationella provet VT15 2a
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en funktion ff där f(x)=kx+mf(x)=kx+m gäller att

  • f(x+2)f(x)=3f(x+2)-f(x)=3
  • f(4)=2mf(4)=2m

Bestäm funktionen f.f.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande information är given: -2a3\text{-}2\leq a\leq 3 och 1b81\leq b \leq 8.


a

Vilket är det största och minsta värdet a+ba+b kan anta? Svara med olikheter.

b

Vilket är det största och minsta värdet ab\frac{a}{b} kan anta? Svara med olikheter.

c

Vilket är det största och minsta värdet a2+b2a^2+b^2 kan anta? Svara med olikheter.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}