body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 2

Funktioner och olikheter

Funktioner och olikheter är centrala koncept inom matematiken. En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, bearbetar det enligt en viss regel och ger tillbaka ett nytt värde. Olikheter är liknande, men istället för att ge ett exakt värde, ger de ett intervall av möjliga värden. Att kunna rita och tolka grafer för dessa funktioner och olikheter är en viktig färdighet. Detta kan vara mycket användbart för att förstå hur funktioner och olikheter beter sig och hur de relaterar till varandra. Man kan också använda en graf för att hitta funktionens värde för ett visst argument. Att förstå och kunna använda funktioner och olikheter är en viktig del av matematikundervisningen.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	12 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktion
Funktionsvärde
Nollställe
Olikhet

Utforska

Jämförelse av grafer för två relationer

Diagrammet visar två grafer, som vardera representerar en annan relation. Tryck på knappen för att visa en vertikal linje, och flytta sedan linjen längs graferna.

Två grafer, en är en funktion och den andra är inte en funktion

Betrakta skillnaderna mellan de två graferna genom att besvara följande frågor.

Vad händer när vi flyttar den vertikala linjen från vänster till höger längs graferna?
Vilken graf visar att varje $x -$ värde är kopplat till ett unikt $y -$ värde?

Koncept

Funktion

En funktion är en regel som tar ett inputvärde och kopplar det till exakt ett outputvärde. Inputvärdet betecknas vanligtvis med

x

medan outputvärdet betecknas med

y .

I detta fall sägs det att

y

är en funktion av

x

eller att

y

beror på

x .

Betrakta till exempel följande funktion.

y = regel x + 3

Regeln här är att addera

3

till varje input. Om input är

x = 2,

är output

y = 2 + 3 = 5 .

Funktioner brukar vanligtvis kallas

f,

g,

och

h,

men vilken bokstav som helst kan användas.

f(x)=y. Bokstaven f är funktionsnamnet. Bokstaven x är indata. Bokstaven y är utdata.

Det tidigare uttrycket läses som $f$ av $x$ är lika med $y .$ Detta sätt att skriva en funktion kallas funktionsnotation. En funktion kan representeras med hjälp av en ekvation, en tabell, eller en graf.

Representationer av en funktion (Ekvation, tabell, graf)

Koncept

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet ( $y -$ värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett $x -$ värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på $y -$ axeln.

Illustration

Att se funktioner som maskiner

En jämförelse för en funktion är att tänka på den som en maskin. Inmatningarna är materialen som placeras i maskinen, och utmatningarna är de objekt som skapas. I följande applet finns det fyra förinställda inmatningar. Denna särskilda maskin accepterar endast tal mellan $- 100$ och $100$ som material. Se vad som händer!

Maskin som simulerar funktionen f(x)=3x+4. Varje tal som går in i maskinen multipliceras med 3 och ökas sedan med 4.

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nedan syns grafen till funktionen $g (x) = 2 x - 5 .$

a Bestäm

g (4) .

b Bestäm

g (300) .

Ledtråd

a Använd grafen.

b Substituera

x -

värdet i funktionsuttrycket.

Lösning

a För att bestämma

g (4)

utgår vi från

x = 4

på

x -

axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på

y -

axeln.

Funktionsvärdet är

3

när

x = 4,

så

g (4) = 3 .

b Grafen är enbart uppritad för relativt små

x

så vi kan inte bestämma

g (300)

grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in

x = 300

i funktionsuttrycket.

g (x) = 2 x - 5

Substitute

$x = 300$

g (300) = 2 \cdot 300 - 5

Multiply

Multiplicera faktorer

g (300) = 600 - 5

SubTerm

Subtrahera term

g (300) = 595

De funktionsvärdet är $g (300) = 595 .$

Övning

Utvärdera olika funktioner

Utvärdera den givna funktionen vid den givna inmatningen.

Slumpmässiga funktioner som behöver utvärderas vid slumpmässiga inmatningar.

Koncept

Nollställe

En funktions nollställen anger de

x -

värden som gör att funktionsvärdet blir

0 .

Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med

0

och löser ekvationen.

f (x) = 0

Grafiskt motsvarar det de

x -

värden där grafen skär

x -

axeln, eftersom

y

är

0

längs hela

x -

axeln. Exempelvis har funktionen

y = x^{2} - 4

två nollställen eftersom dess graf skär

x -

axeln två gånger.

Exempel

Bestäm nollstället algebraiskt

Bestäm nollstället till funktionen

y = 0, 5 x + 6 .

Ledtråd

Ställ in funktionsuttryck lika med $0$ och lös ekvationen för $x .$

Lösning

Nollställen är de $x -$ värden där $y$ är lika med $0 .$ Vi låter därför $y$ vara $0$ och löser ekvationen.

y = 0, 5 x + 6

Substitute

$y = 0$

0 = 0, 5 x + 6

SubEqn

$VL - 6 = HL - 6$

- 6 = 0, 5 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

0, 5 x = - 6

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

x = - 12

Funktionen har alltså nollstället

x = - 12 .

Digitala verktyg

Rita grafer med räknare

Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.

Ange funktionsregeln

Tryck först på knappen $Y =$ och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. Använd knappen $X, T, θ, n$ för att skriva $x .$ Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på $(-)$ och inte $- .$

Rita grafen

För att rita upp grafen trycker man på $GRAPH .$ Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Utforska grafen

Genom att trycka på $TRACE$ kan man läsa av $x -$ och $y -$ värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

Man kan också själv sätta in ett $x -$ värde och låta räknaren beräkna $y -$ värdet genom att trycka på $2 ND$ och $TRACE$ och välja value.

Nu kan man välja vilket $x -$ värde man är intresserad av.

Trycker man på $ENTER$ visas funktionens $y -$ värde för detta $x -$ värde och markören ställer sig även där.

Extra

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret $Y =$ och skriver in dem på nya rader. Byt rad med $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.

Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer endast $Y_{1}$ och $Y_{3}$ att ritas upp i koordinatsystemet.

För att välja tillbaka $Y_{2}$ trycker man på likhetstecknet en gång till.

Koncept

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken	Betyder	Exempel
$<$	Är mindre än	$3 < 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$>$	Är större än	$4 > 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Den sista olikheten,

x \geq 0,

säger att

x

är noll eller positivt.

Exempel

Sätt in rätt tal i olikheten

Vilka av talen

- 7,

- 2,

0,

4

och

9

kan man sätta in istället för

x

så att olikheten är sann?

x > - 3, 5

Ledtråd

Vilka tal är större än $- 3, 5 ?$

Lösning

I olikheten representerar

x : et

de tal som är större än

- 3, 5,

så vi frågar oss vilka av de givna talen som är det. Talet

0

och positiva tal är alltid större än negativa tal så dessa kan sättas in istället för

x .

Negativa tal blir mindre ju mer negativa de är. Det betyder att

- 7

är mindre än

- 3, 5,

medan

- 2

är större. Sammanfattningsvis kan alltså talen

- 2, 0, 4 och 9

sättas in istället för

x

i olikheten.

Funktioner och olikheter

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.