Funktioner och olikheter

Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas

x

(oberoende variabel) medan utvärdet brukar kallas

y

eller

f(x)

(beroende variabel).

Välj x-värde:

x=\text{-9}

x=\text{-2}

x=0

x=3

x=7

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet

y

bildas alltså genom att addera 3 till invärdet

x.

Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet ( $y$ -värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett $x$ -värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på $y$ -axeln.

Vad är funktionsvärdet?

Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen $g(x)=2x-5.$ Bestäm $g(4)$ och $g(300).$

Lösning

För att bestämma $g(4)$ utgår vi från $x=4$ på $x$ -axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på $y$ -axeln.

Funktionsvärdet är $3$ när $x=4,$ så $g(4)=3.$ Grafen är enbart uppritad för relativt små $x$ så vi kan inte bestämma $g(300)$ grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in $x=300$ i funktionsuttrycket.

g(x)=2x-5

x={\color{#0000FF}{300}}

g({\color{#0000FF}{300}})=2\cdot{\color{#0000FF}{300}}-5

Multiplicera faktorer

g(300)=600-5

Förenkla termer

g(300)=595

De två funktionsvärdena är alltså $g(4)=3$ och $g(300)=595.$

Visa lösning

Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de $x$ -värden som gör att funktionsvärdet blir $0.$ Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med $0$ och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de $x$ -värden där grafen skär $x$ -axeln, eftersom $y$ är $0$ längs hela $x$ -axeln. Exempelvis har funktionen $y=x^2-4$ två nollställen eftersom dess graf skär $x$ -axeln två gånger.

Bestäm nollstället algebraiskt

Uppgift

Bestäm nollstället till funktionen $y=0.5x+6.$

Lösning

Nollställen är de $x$ -värden där $y$ är lika med $0.$ Vi låter därför $y$ vara $0$ och löser ekvationen.

y=0.5x+6

y={\color{#0000FF}{0}}

{\color{#0000FF}{0}}=0.5x+6

\text{VL}-6=\text{HL}-6

\text{-}6=0.5x

Omarrangera ekvation

0.5x=\text{-}6

\text{VL} \cdot 2=\text{HL}\cdot 2

x=\text{-}12

Funktionen har alltså nollstället

x=\text{-}12.

Visa lösning

Rita grafer på räknare

För att rita grafer på räknaren trycker man först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna $\text{Y}_1$ , $\text{Y}_2$ osv. Använd knappen X,T, $\theta$ ,n för att skriva $x.$ Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på $(\text{-})$ och inte $-.$

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av $x$ - och $y$ -värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

Man kan också själv sätta in ett $x$ -värde och låta räknaren beräkna $y$ -värdet genom att trycka på 2nd + TRACE och välja value.

Nu kan man välja vilket $x$ -värde man är intresserad av.

Trycker man på ENTER visas funktionens $y$ -värde för detta $x$ -värde och markören ställer sig även där.

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp. Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer endast

\text{Y}_1

och

\text{Y}_3

att ritas upp i koordinatsystemet. För att välja tillbaka

\text{Y}_2

trycker man på likhetstecknet en gång till.

Begrepp

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken	Betyder	Exempel
$\lt$	Är mindre än	$3 \lt 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$\gt$	Är större än	$4 \gt 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Den sista olikheten,

x \geq 0,

säger att

x

är noll eller positivt.

Sätt in rätt tal i olikheten

Uppgift

Vilka av talen $\text{-}7,$ $\text{-}2,$ $0,$ $4$ och $9$ kan man sätta in istället för $x$ så att olikheten är sann? $x>\text{-}3.5$

Lösning

I olikheten representerar $x$ :et de tal som är större än $\text{-}3.5,$ så vi frågar oss vilka av de givna talen som är det. Talet $0$ och positiva tal är alltid större än negativa tal så dessa kan sättas in istället för $x.$ Negativa tal blir mindre ju mer negativa de är. Det betyder att $\text{-}7$ är mindre än $\text{-}3.5,$ medan $\text{-}2$ är större. Sammanfattningsvis kan alltså talen $\text{-}2, \quad 0, \quad 4 \quad \text{och} \quad 9$ sättas in istället för $x$ i olikheten.

Visa lösning

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Funktioner och olikheter

Funktion

Funktionsvärde

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nollställe

Exempel

Bestäm nollstället algebraiskt

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Olikhet

Exempel

Sätt in rätt tal i olikheten