{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Linjära funktioner och ekvationssystem

Välj kurs
Matte 2a
Linjära funktioner och ekvationssystem
Funktioner och olikheter

Funktioner och olikheter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas xx medan utvärdet brukar kallas yy eller f(x)f(x).
Välj x-värde:
x=-9x=\text{-9}

x=-2x=\text{-2}

x=0x=0

x=3x=3

x=7x=7

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet yy bildas alltså genom att addera 3 till invärdet x.x.
Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (yy-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett xx-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på yy-axeln.

Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x−5.g(x)=2x-5. Bestäm g(4)g(4) och g(300).g(300).

Lösning

För att bestämma g(4)g(4) utgår vi från x=4x=4 på xx-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på yy-axeln.

Funktionsvärdet är 33 när x=4,x=4, så g(4)=3. g(4)=3. Grafen är enbart uppritad för relativt små xx så vi kan inte bestämma g(300)g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300x=300 i funktionsuttrycket.

g(x)=2x−5g(x)=2x-5
x=300x={\color{#0000FF}{300}}
g(300)=2⋅300−5g({\color{#0000FF}{300}})=2\cdot{\color{#0000FF}{300}}-5
Multiplicera faktorer
g(300)=600−5g(300)=600-5
Förenkla termer
g(300)=595g(300)=595

De två funktionsvärdena är alltså g(4)=3g(4)=3 och g(300)=595.g(300)=595.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de xx-värden som gör att funktionsvärdet blir 0.0. Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med 00 och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de xx-värden där grafen skär xx-axeln, eftersom yy är 00 längs hela xx-axeln. Exempelvis har funktionen y=x2−4y=x^2-4 två nollställen eftersom dess graf skär xx-axeln två gånger.

Uppgift

Bestäm nollstället till funktionen y=0.5x+6.y=0.5x+6.

Lösning

Nollställen är de xx-värden där yy är lika med 0.0. Vi låter därför yy vara 00 och löser ekvationen.

y=0.5x+6y=0.5x+6
y=0y={\color{#0000FF}{0}}
0=0.5x+6{\color{#0000FF}{0}}=0.5x+6
VL−6=HL−6\text{VL}-6=\text{HL}-6
-6=0.5x\text{-}6=0.5x
Omarrangera ekvation
0.5x=-60.5x=\text{-}6
VL⋅2=HL⋅2\text{VL} \cdot 2=\text{HL}\cdot 2
x=-12x=\text{-}12
Funktionen har alltså nollstället x=-12.x=\text{-}12.
Visa lösning Visa lösning

För att rita grafer på räknaren trycker man först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. Använd knappen X,T,θ\theta,n för att skriva x.x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-)(\text{-}) och inte −.-.

Fönster med funktioner

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av xx- och yy-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

funktionsfönster på räknare

Man kan också själv sätta in ett xx-värde och låta räknaren beräkna yy-värdet genom att trycka på 2nd + TRACE och välja value.

meny på räknare

Nu kan man välja vilket xx-värde man är intresserad av.

graffönster på räknare

Trycker man på ENTER visas funktionens yy-värde för detta xx-värde och markören ställer sig även där.

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp. Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

fönster med funktioner
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y1\text{Y}_1 och Y3\text{Y}_3 att ritas upp i koordinatsystemet. För att välja tillbaka Y2\text{Y}_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Begrepp

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken Betyder Exempel
<\lt Är mindre än 3<43 \lt 4
≤ \leq Är mindre än eller lika med x≤2x \leq 2
>\gt Är större än 4>34 \gt 3
≥ \geq Är större än eller lika med x≥0x \geq 0
Den sista olikheten, x≥0,x \geq 0, säger att xx är noll eller positivt.
Uppgift

Vilka av talen -7,\text{-}7, -2,\text{-}2, 0,0, 44 och 99 kan man sätta in istället för xx så att olikheten är sann? x>-3.5 x>\text{-}3.5

Lösning

I olikheten representerar xx:et de tal som är större än -3.5,\text{-}3.5, så vi frågar oss vilka av de givna talen som är det. Talet 00 och positiva tal är alltid större än negativa tal så dessa kan sättas in istället för x.x. Negativa tal blir mindre ju mer negativa de är. Det betyder att -7\text{-}7 är mindre än -3.5,\text{-}3.5, medan -2\text{-}2 är större. Sammanfattningsvis kan alltså talen -2,0,4och9 \text{-}2, \quad 0, \quad 4 \quad \text{och} \quad 9 sättas in istället för xx i olikheten.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}