Area och integraler

Vi börjar med att titta på integrationsgränserna för integralerna. Samtliga har övre gräns 2, vilket vi kan se i figurerna som att det färgade områdets högra gräns är just x=2. När det gäller nedre gräns kan vi däremot se att det bara är integral 2 som har nedre gränsen -1: ∫_(-1)^2(x+1 ) d x . Denna måste höra ihop med figur A, vars område har sin vänsterkant i x=-1.

Båda återstående integraler har nedre gräns 0, så vi behöver titta på integranderna för att avgöra vilken integral som hör ihop med figur B respektive C. Integral 1 har integranden f(x)=0.5x+1 medan integral 3 har integranden f(x)=x+1. Vi undersöker vilken lutning grafen i figur B har.

Eftersom y-värdet ökar med 1 när vi förflyttar oss 1 steg i x-led så har linjen lutningen 1. Figur B måste alltså höra ihop med integral 3. Uteslutningsmetoden ger att integral 1 hör ihop med figur C. Vi kan bekräfta det genom att se att den räta linjen i C faktiskt har lutningen 0.5.

Sammanfattningsvis hör alltså följande par av integral och figur ihop. &1ochC &2ochA &3ochB

Området har formen av en triangel som ligger ovanför x-axeln. Vi kan alltså bestämma integralen genom att beräkna triangelns area. Triangeln har basen 4 och höjden 3 vilket direkt ger oss att integralens värde är ∫_1^5 f(x) dx=4 * 3/2=6.

Integralen kan delas upp i två områden: det som ligger ovanför respektive nedanför x-axeln. Båda har formen av trianglar. Den vänstra triangeln har basen 3 och höjden 6 vilket ger arean A_1=3 * 6/2=9. Den högra triangeln har basen 2 och höjden 4 vilket ger arean A_2= 2 * 42=4.

Integralens värde är området ovanför minus området nedanför x-axeln, alltså i det här fallet: ∫_(-2)^3 g(x) dx=9-4=5.

Denna integral delas upp i tre olika områden.

Vi kan beräkna trianglarnas area på en gång eftersom de båda ligger under x-axeln: A_1+A_3=3 * 3/2+2 * 1/2=5.5. Då vet vi arean av området under x-axeln. Arean ovanför x-axeln har formen av en halvcirkel med radien 1. Arean av en hel cirkel är A=π r^2 så vår halvcirkel har arean A_2=π * 1^2/2=π/2. Då kan vi slutligen beräkna integralens värde genom att subtrahera trianglarnas areor från cirkelns: ∫_(-4)^3 h(x) dx=π/2-5.5 ≈ -3.93.

Vi ser att integrationsområdet sträcker sig mellan x=0 och x=b vilket innebär att den nedre integrationsgränsen är 0 och den övre integrationsgränsen är b. Från grafen ser vi även att områdets area är 3 a.e. och eftersom det befinner sig ovanför x-axeln måste integralens värde vara positivt, dvs. 3.

Nu sträcker sig integrationsområdet från x=a till x=0 så den nedre integrationsgränsen är a och den övre är 0. Området befinner sig nu under x-axeln vilket ger ett negativt integralvärde, dvs. - 3.

Vi ser att den nedre integrationsgränsen är a och den övre är b. Som redan nämnts ger områden under x-axeln ett negativt integralvärde och områden över x-axeln ger ett positivt integralvärde. Eftersom båda områden är 3 a.e. tar areorna ut varandra så integralens värde blir 0.

Integralen representerar området mellan grafen till y = x+4 och x-axeln, från x=- 4 till x=0. Vi ritar först upp grafen och detta område.

Vi ser att området utgör en rätvinklig triangel, så arean beräknas genom att multiplicera kateterna och dela med 2. Från grafen kan man läsa av att triangelns bas och höjd är båda 4. Detta ger oss arean A=4* 4/2=8. Eftersom området är ovanför x-axeln är integralvärdet positivt. Integralen blir alltså ∫_(-4)^0(x+4 ) d x =8.

Låt oss börja med att rita grafen och markera de områden som integralområdet sträcker sig mellan. I detta fall ska integralen beräknas mellan x-värdena - 5 och 0, vilket ger två områden.

Båda områden är rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att multiplicera kateterna och dividera med 2. Från grafen kan man läsa av att triangeln A_1 har basen 2 och höjden 1 (kom ihåg att sträckor inte kan vara negativa). Detta ger oss arean A_1=2* 1/2=1. Den gröna triangelns bas är avståndet mellan - 5 och - 2 på x-axeln dvs. 3. Höjden är inte lika lätt att läsa av eftersom x=- 5 inte har ett motsvarande heltalsvärde för y. Genom att sätta in x=- 5 i funktionen kan vi dock beräkna höjden.

När vi även vet höjden kan vi beräkna arean av A_2: A_2=3* 1.5/2=2.25. Områden som befinner sig under x-axeln ger negativa integralvärden och områden över x-axeln ger positiva. Vi ser att A_2 ligger ovanför x-axeln och A_1 ligger under. Det betyder att integralens värde blir ∫_(-5)^0f(x) d x =2.25-1=1.25.

En integral skrivs på formen ∫_a^b f(x) dx och beskriver området mellan grafen till f(x) och x-axeln, från x=a till x=b. Vi behöver bestämma dessa delar, vilket vi kan använda bilden till. Vi ser att funktionen är en linje som skär y-axeln i y=1 och som går upp 2 steg för varje steg åt höger.

Linjen har alltså k=2 och m=1, och linjens ekvation blir y = 2x +1. Bilden visar att området går från x=0 till x=2, vilket är integrationsgränserna. Integralen blir då ∫_0^2 ( 2x+1 ) dx.

Även här är funktionen en rät linje. Vi behöver alltså linjens k-värde och m-värde. Den här linjen går ner ett halvt steg för varje steg åt höger, samt skär y-axeln i y=3.

För den här linjen är alltså k=-0.5 och m = 3, och linjens ekvation är då y = - 0.5x +3. Vi ser att områdets vänstra gräns är x = - 2 och den högra är x=3. Då skrivs integralen som beskriver området så här: ∫_(-2)^3 ( - 0.5x +3 ) dx.

Nu är funktionen inte en linje utan en andragradsfunktion på formen y=ax^2+c. Konstanten c kan vi bestämma genom att avläsa var kurvan skär y-axeln, vilket är där y=1. Funktionsuttrycket ska alltså vara på formen y=ax^2+1. Därefter kan vi bestämma a genom att sätta in någon punkt som grafen går igenom, t.ex. (1,2).

Därför drar vi slutsatsen att funktionen är y = x^2+1. Området börjar i x=-1 och sträcker sig till x=2, och då har vi allt vi behöver: ∫_(-1)^2 ( x^2 + 1 ) dx.