body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Abs

Absolutbelopp Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

4.

Absolutbelopp

Utforska den fascinerande världen av absolutbelopp inom matematik. Denna lektion förklarar vad absolutbeloppet av ett tal är och hur det fungerar. Absolutbeloppet av ett tal är dess positiva värde. För ett positivt tal påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt tal byts tecknet och talet blir positivt. Lektionenen förklarar vidare hur absolutbeloppet av en differens anger avståndet mellan två tal. Detta är ett ovärderligt verktyg för alla som är intresserade av att förstå och tillämpa konceptet absolutbelopp inom matematik.

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Absolutbelopp

Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Absolutbelopp
Alternativ definition av absolutbelopp
Absolutbelopp som avstånd
Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Förkunskaper

Tallinje

Koncept

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett tal

a

är det positiva värdet av

a,

och skrivs

∣ a ∣ .

Om

a

är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt

a

byts tecknet och talet blir positivt. För

3

och

- 3

gäller därför

∣ 3 ∣ = ∣ - 3 ∣ = 3 .

Den formella definitionen av absolutbeloppet av

a

är uppdelad i två fall – det första då

a

är positivt eller

0

och det andra då

a

är negativt.

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

Minustecknet i det andra fallet kan tolkas som ett teckenbyte. Gör man det inser man att:

absolutbeloppet av ett positivt tal eller $0$ är samma tal.
absolutbeloppet av ett negativt tal är samma tal men med omvänt tecken, dvs. positivt.

Exempel

Använd definitionen av absolutbelopp

Använd definitionen

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

för att beräkna

∣ 5, 5 ∣

och

∣ - 9 ∣ .

Ledtråd

Det absolutbelopp av ett tal är alltid icke-negativt.

Lösning

Vi börjar med

∣ 5, 5 ∣ .

Eftersom

5, 5

är ett positivt tal ska vi använda det första fallet:

∣ a ∣ = a .

Det betyder att asbolutbeloppet inte ändrar talets värde. Vi får

∣ 5, 5 ∣ = 5, 5 .

Nu tar vi

∣ - 9 ∣ .

Eftersom

- 9

är ett negativt tal gäller det andra fallet,

∣ a ∣ = - a,

så vi sätter ett minustecken framför

- 9

för att beräkna absolutbeloppet. Då får vi

∣ - 9 ∣ = - (- 9) = 9 .

Exempel

Beräkna absolutbeloppet

Bestäm

∣ 3 x - 7 ∣

när

x = 2 .

Ledtråd

Ersätt $x$ med $2$ i det givna uttrycket och förenkla.

Lösning

För att bestämma uttryckets värde sätter vi in

x = 2

och beräknar.

∣ 3 x - 7 ∣

$x = 2$

∣ 3 \cdot 2 - 7 ∣

Multiplicera faktorer

∣ 6 - 7 ∣

Subtrahera term

∣ - 1 ∣

$∣ - 1 ∣ = 1$

1

Uttryckets värde är alltså

1

när

x = 2 .

Regel

Alternativ definition av absolutbelopp

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal $a$ som kvadratroten ur $a$ i kvadrat.

$∣ a ∣ = a^{2}$

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet

- 4

:

(- 4)^{2} = 16 = 4 .

Minustecknet försvinner eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om

a

är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket

a^{2}

ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av

a .

Regel

Absolutbelopp som avstånd

Man kan tolka absolutbeloppet av ett tal som avståndet mellan $0$ och det talet på en tallinje. Till exempel är $∣ 3 ∣$ avståndet mellan $0$ och $3,$ och $∣ - 3 ∣$ är avståndet mellan $0$ och $- 3 .$

Tallinje som visar absolutbeloppen av -3 och 3

Absolutbeloppet av en differens, som $∣ a - b ∣,$ anger avståndet mellan talen $a$ och $b .$

Tallinje som visar absolutbeloppet av a-b

Exempelvis är $∣ 5 - 7 ∣$ avståndet mellan $5$ och $7 .$ Eftersom även $∣ 7 - 5 ∣$ är avståndet mellan samma tal gäller det att

∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣ .

Exempel

Lösa absolutbeloppsekvationen

Solve the absolute value equation

∣ x + 3 ∣ = 2 .

Ledtråd

How is the equation represented in a number line?

Lösning

Begin by rewriting the given equation so it is in the form

∣ x - a ∣ = b .

∣ x + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ x - (- 3) ∣ ∣ ∣ = 2 ⇕ = 2

The solutions to this equation consist of the numbers that are

2

units away from

- 3 .

A number line can be used to illustrate this.

This means that the solutions to the equation are $- 5$ and $- 1 .$

Extra

Algebraic solution

The equation can also be solved algebraically by using the definition of absolute value. In this case, the equation is split in two cases, namely

x + 3 \geq 0

and

x + 3 < 0 .

For the first case, since

x + 3

is positive, then its absolute value remains the same. The equation can be solved as usual.

∣ x + 3 ∣ = 2

$∣ x + 3 ∣ = x + 3$

x + 3 = 2

$VL - 3 = HL - 3$

x = 2 - 3

Subtrahera term

x = - 1

Verify this solution by substituting it into the original equation.

∣ x + 3 ∣ = 2

$x = - 1$

∣ - 1 + 3 ∣ = ? 2

Addera termer

∣ 2 ∣ = ? 2

$∣ 2 ∣ = 2$

2 = 2 ✓

For the second case, since

x + 3

is negative, then its absolute value can be found by multiplying

x + 3

by

- 1 .

∣ x + 3 ∣ = 2

$∣ x + 3 ∣ = - (x + 3)$

- (x + 3) = 2

Multiplicera in $- 1$

- x - 3 = 2

$VL + 3 = HL + 3$

- x = 2 + 3

Addera termer

- x = 5

$VL \cdot - 1 = HL \cdot - 1$

x = - 5

This solution needs to be verified as well.

∣ x + 3 ∣ = 2

$x = - 5$

∣ - 5 + 3 ∣ = 2

Addera termer

∣ - 2 ∣ = ? 2

$∣ - 2 ∣ = 2$

2 = 2 ✓

Koncept

Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Eftersom ett absolutbelopp aldrig är negativt kommer grafer till funktioner på formen

y = ∣ f (x) ∣

alltid ligga ovanför

x

-axeln. Exempelvis består grafen till

y = ∣ x ∣

av två delar som båda ligger ovanför

x

-axeln och som möts i origo.

För att rita grafen till

y = ∣ f (x) ∣

speglar man alltså de delar av grafen som ligger under

x -

axeln och ritar dem ovanför axeln istället. Som en följd av detta kan absolutbeloppsfunktioner ibland få ett eller flera hörn på

x -

axeln.

Digitala verktyg

Absolutbelopp på räknare

För att beräkna absolutbeloppet av ett tal eller ett uttryck på räknaren använder man kommandot abs. Det hittar man genom att trycka på $M A T H$ och sedan på högerknappen för att visa menyn NUM.

Menyn NUM på TI-82-räknare

Genom att välja det första alternativet, abs, sätts det in tillsammans med en startparentes. Det man skriver inom denna parentes är det som absolutbeloppet beräknas för.

Uträkning på TI-82-räknare med absolutbelopp

Man kan också använda kommandot som en del av ett uttryck eller i en funktion.

Absolutbelopp

Absolutbelopp

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.