MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
1. Sannolikhet
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 4
1. 

Sannolikhet

Sannolikhet är ett matematiskt begrepp som beskriver hur sannolikt det är att en viss händelse inträffar. Det kan appliceras på allt från tärningskast till väderprognoser. På lektionen utforskas olika aspekter av sannolikhet, inklusive grundläggande begrepp som utfall, gynnsamma utfall, och hur man räknar ut sannolikhet. Det finns också exempel på hur sannolikhet används i vardagen, som sannolikheten för regn eller att vinna i ett lotteri. Dessutom täcks mer avancerade ämnen såsom komplementhändelser.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
14 sidor teori
27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Sannolikhet
Sida av 14
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Sannolikhet
  • Slumpförsök
  • Utfall
  • Utfallsrum
  • Händelse
  • Experimentel sannolikhet
  • Axiom för sannolikhet
  • Komplementhändelse

Förkunskaper
Utforska

Undersökning av tärningskast

Rulla tärningen och dokumentera resultaten i tabellen.
Tärningssimulator.
Om tärningen rullas gånger, hur många gånger kan man vänta sig att varje siffra rullas?
Teori

Sannolikhet

Sannolikhet beskriver hur troligt det är att något ska hända. Sannolikheten kan anges som ett tal mellan och eller mellan och Om något inte kan hända alls, är sannolikheten Om något kommer att hända med säkerhet, är sannolikheten

Om sannolikheten är mindre än 0,5, är det osannolikt att händelsen inträffar. Om sannolikheten är exakt 0,5, är det lika sannolikt att händelsen inträffar som att den inte gör det. Om sannolikheten är större än 0,5, är det sannolikt att händelsen inträffar.
Teori

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som används för att bestämma sannolikheten att en händelse inträffar i framtiden. När man undersöker sannolikheten för någonting är experiment med slumpförsök en åtgärd som kan upprepas oändligt många gånger. Resultaten av dessa slumpförsök är begränsade och kallas för utfall. Något så enkelt som att rulla en tärning kan betraktas som ett sådant experiment.
Applikation som låter en rulla en tärning.
När experiment upprepas flera gånger för att samla in data, kallas varje upprepning för ett försök. Till exempel, om tärningen kastas gånger, betraktas varje kast som ett försök.
Teori

Utfall

Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Att rulla en trea med en sexsidig tärning är ett exempel på ett möjligt utfall.

En tärning med 3 på ovansidan, 1 på framsidan och 2 på högersidan.
Observera att när man utför ett experiment är varje möjligt utfall unikt och varje försök kommer endast ha ett utfall.
Teori

Utfallsrum

Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum. När man slår en tärning kan man bara få något av talen till så utfallsrummet är
Eftersom det är en mängd tar man inte med upprepningar. Om sidan på en tärning exempelvis målas om till en till blir utfallsrummet för denna tärning Trots att det finns två på tärningen visar alltså utfallsrummet endast en
Teori

Händelse

En händelse är en kombination av ett eller flera specifika utfall. Till exempel, när man spelar kort, kan en händelse vara att dra en spader eller ett hjärta. För denna händelse är ett möjligt utfall att dra eller att dra

En kortlek, en 7:a i hjärter och esset i spader.

Men dessa är inte de enda möjliga utfallen för denna händelse. Alla möjliga utfall som uppfyller händelsen listas nedan.

Teori

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Betrakta kastet av en vanlig sexsidig tärning. Det finns sex lika sannolika utfall i utfallsrummet. Eftersom varje utfall har samma sannolikhet, kallas detta en likformig sannolikhetsfördelning. Om händelsen exempelvis är att slå ett udda tal med en tärning är de gynnsamma utfallen stycken: etta, trea och femma.
Ett utfallsrum för att kasta en tärning: {1,2,3,4,5,6}; händelsen att få ett udda tal består av tre utfall {1,3,5}.
Antalet möjliga utfall är eftersom det finns sidor på tärningen. Sannolikheten blir
alltså
Exempel

Hur sannolik är händelsen?

Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.

Ledtråd

Räkna de gynnsamma utfallen och det totala antalet möjliga utfall.

Lösning

Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.

Veckodagar listade från måndag till söndag, där lördag och söndag är markerade.
Antalet gynnsamma utfall är och det totala antalet Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.
SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

UseCalc

Slå in på räknare

RoundDec

Avrunda till decimal(er)

Sannolikheten att man är född en helg är ungefär
Teori

Experimentell sannolikhet

Experimentell sannolikhet är sannolikheten att en händelse inträffar baserat på data som samlats in från upprepade försök i ett experiment. För varje försök noteras utfallet. När alla försök är utförda beräknas den experimentella sannolikheten för en händelse genom att dividera antalet gånger händelsen inträffar med antalet försök.

Genom att upprepa ett experiment många gånger kommer resultatet att närma sig den teoretiska sannolikheten för händelsen. Till exempel, betrakta ett myntkast och händelsen att utfallet blir en klave. Använd applikationen för att simulera resultaten och beräkna den experimentella sannolikheten.
Kasta ett mynt 100, 500 och 1000 gånger
Den experimentella sannolikheten att få en klave som utfall ligger nära den teoretiska sannolikheten
Exempel

Hur kan man tolka experimentell sannolikhet?

En väderprognos säger att sannolikheten för regn är Tolka detta uttryck.

Ledtråd

Tänk på det som tidigare observationer: Räkna hur många gånger det regnade under liknande dagar.

Lösning
Prognosen som påstår en chans för regn är baserad på faktiska observationer, liknande ett experiment. Detta innebär att av registrerade dagar med liknande väderförhållanden regnade det under av dessa dagar och regnade inte under de återstående dagarna.
Med andra ord indikerar en chans för regn att, i tidigare observationer av liknande väder, har regn förekommit gånger av Detta innebär inte att det kommer att regna under av dagen eller att av området kommer att påverkas. Istället speglar det helt enkelt hur ofta regn har inträffat under liknande förhållanden tidigare.
Teori

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

  1. Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
  2. Sannolikheten för det kompletta utfallsrummet är
  3. Om och är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.
Teori

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad är att slå med en tärning är händelsen att man inte slår en den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet uppe till höger: För är komplementhändelsen att tärningen visar eller

Antingen inträffar händelsen eller dess komplementhändelse, Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

Eloise köper lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, om är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Ledtråd

Vad är motsatsen till att alla förlorar?

Lösning
För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få
Vi vet att händelse är att alla är nitlotter, dvs. att hon får vinstlotter. Komplementhändelsen, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får eller vinstlotter. Enklare uttryckt är alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Sannolikhet
Du drar ett kort ur en kortlek. Hur bedömer du sannolikheten att kortet är spader knekt, om du ser att det är ett svart, klätt kort (knekt, dam eller kung)? Svara i hela procent.

Det finns 3 klädda kort av varje färg och 2 av färgerna är svarta. Alltså måste kortleken innehålla 2* 3=6 svarta, klädda kort. Det dragna kortet är ett av dessa 6. Det totala antalet utfall är därför 6 och 1 av dessa är gynnsamt. Vi sätter in detta sannolikhetsformeln.


Sannolikheten är cirka 17 % att kortet är spader knekt.


Det finns kulor i en påse. Av dessa är svarta, av dem är gula och resten är vita. Om du plockar upp en kula helt slumpmässigt, ungefär hur stor är sannolikheten att den är vit? Avrunda till hela procent.

Vi börjar med att beräkna hur stor andel av kulorna som inte är vita. 18 är svarta och 16 är gula så vi adderar dem.


724 av kulorna är gula eller svarta. Eftersom det totalt finns 24 kulor är detta 7 stycken. Det betyder att antalet vita kulor är 24-7=17.

Vi beräknar sannolikheten för att plocka upp en vit kula genom att dividera antalet gynnsamma utfall med det totala antalet utfall.


Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.


I påsen finns det vita, svarta och gula kulor. Det betyder att sannolikheten för att plocka upp någon av de färgerna är 1. P(vit)+P(svart)+P(gul)=1 18 av kulorna är svarta så sannolikheten att plocka upp en sådan är 18. På samma sätt är sannolikheten att en slumpvis vald kula är gul 16.


Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.

Tabellen nedan visar hur många av eleverna som röker och inte röker på en skola.

Kön Röker Röker inte
Pojkar
Flickor
Uppskatta sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan röker. Avrunda till hela procent.

Vi börjar med att bestämma antalet elever på skolan och hur många av dem som röker.

Kön Röker Röker inte Summa
Pojkar 79 341 420
Flickor 110 363 473
Summa 189 704 893

Det är alltså 189 elever som röker av totalt 893 stycken. Hur sannolikt är det då att en elev röker? Vi kan uppskatta det genom att tänka på antalet rökare som gynnsamma utfall och totala antalet elever som möjliga utfall. Eftersom det är en uppskattning kan vi inte använda likhetstecken när vi anger sannolikheten utan använder ungefär-lika-med-tecken.


Sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan är rökare är alltså ungefär 21 %.

Meterologen John Solman har sett i SMHI:s statistik för Karlstad att i juni-augusti förra året var soliga. Om vi antar att vädret blir ungefär detsamma i år, hur många dagar kommer det sannolikt att vara soligt i juni?

Solman har uppskattat en sannolikhet utifrån tidigare erfarenheter. Antal försök, alltså antal dagar under juni till augusti, är 30+31+31=92. Antal lyckade försök var 69 st. Sannolikheten för sol kan då uppskattas.

Den uppskattade sannolikheten för sol är alltså 75 %. Av junis 30 dagar kan han då uppskatta antal soldagar.

Om man utgår ifrån att vädret kommer att vara ungefär likadant i år kommer alltså cirka 23 dagar att vara soliga.

Sannolikhet

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll