En andragradsekvation är en ekvation där det finns en $x^{2}$ -term men inga termer av högre grad.

a x^{2} + b x + c = 0

Villkor: $a \neq = 0$

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som

x^{2} = 144

och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden,

p q

-formeln eller kvadratkomplettering.

Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller

x^{2}

-termer och konstanttermer, t.ex.

5 x^{2} - 500 = 0,

går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut

x^{2}

Börja med att lösa ut

x^{2}

så att det står ensamt.

5 x^{2} - 500 = 0

AddEqn

$VL + 500 = HL + 500$

5 x^{2} = 500

DivEqn

$VL / 5 = HL / 5$

x^{2} = 100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När

x^{2}

står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:

x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 100 .

Kvadratroten ur

100

är

10,

så ekvationens lösningar är

x = - 10

och

x = 10 .

Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med

0

kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen

(3 x - 9) (x + 5) = 0

lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara

0

för att produkten ska bli

0 .

1

Likställ varje faktor med

0

Genom att sätta varje faktor lika med

0

får man två nya, separata ekvationer:

3 x - 9 = 0 och x + 5 = 0 .

2

Lös ekvationerna

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de

x

-värden som gör att någon av faktorerna blir

0,

eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.

3 x - 9 = 0 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow x = - 5

Lösningarna är alltså $x = 3$ och $x = - 5 .$

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

fullscreen

Lös ekvationen

2 x^{2} + 7 x = 0 .

Visa Lösning

Eftersom båda termerna innehåller ett

x

kan vi bryta ut det.

2 x^{2} + 7 x = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 2 x + x \cdot 7 = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (2 x + 7) = 0

För att högerledet ska bli

0

måste antingen

x

eller

2 x + 7

vara lika med noll.

x (2 x + 7) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 2 x + 7 = 0 (I) (II)

SubEqn

$(II):$ $VL - 7 = HL - 7$

x = 0 2 x = - 7

DivEqn

$(II):$ $VL / 2 = HL / 2$

x_{1} = 0 x_{2} = - 3.5

Ekvationens lösningar är alltså

x = 0

och

x = - 3.5 .

@@ Rad 3: / Rad 3: @@
 <bblock page="Nollproduktmetoden *Method*"/>
 <bblock page="Skills:Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden"/>
+<summary>Denna lektion fokuserar på att lösa andragradsekvationer och bestämma reella lösningar och rötter. Andragradsekvationer är ekvationer som innehåller en x^2-term men inga termer av högre grad. Dessa ekvationer kan ha noll, en eller två lösningar, och det finns flera metoder för att bestämma dem. För enkla andragradsekvationer finns det en specifik metod, medan mer komplicerade ekvationer kan lösas med hjälp av nollproduktmetoden, kvadratkomplettering eller pq-formeln. Lektionenen ger också en inblick i hur man löser ekvationer som endast innehåller x-termer och konstanttermer med hjälp av kvadratrötter. Genom att förstå dessa metoder kan du effektivt lösa andragradsekvationer i olika sammanhang.</summary>
+<ocseo title="Andragradsekvationer: Lösa Andragradsekvationer och Förstå Reella Rötter" description="Utforska hur man löser andragradsekvationer och bestämmer reella rötter. Lär dig om olika metoder för att lösa dessa ekvationer."/>
 [[Kategori:Chapter:Icke-linjära ekvationer]]

{{ article.displayTitle }}

Nuvarande version från 15 september 2023 kl. 17.24

Lösa enkla andragradsekvationer

Nollproduktmetoden

Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}