body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

2b

Kurs 2b Visa detaljer

1. Vinklar

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 4

1.

Vinklar

I avsnittet om vinklar förklaras olika begrepp relaterade till vinklar i geometri. Innehållet täcker olika typer av vinklar som sidovinklar, vertikalvinklar, likbelägna vinklar och alternatvinklar. En sidovinkel förklaras som två intilliggande vinklar som tillsammans bildar en rak vinkel. Vertikalvinklar är de som bildas på motsatt sida av skärningen mellan två linjer och är alltid lika stora. Likbelägna vinklar är ett par vinklar som bildas av en transversal när den skär två andra linjer, och de är lika om linjerna är parallella. Alternatvinklar är ett par vinklar som bildas på motsatt sida av en transversal när den skär två andra linjer, och de är lika om linjerna är parallella. Avsnittet inkluderar också exempel och övningar för att hjälpa till att förstå hur man bestämmer storleken på olika vinklar.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Vinklar

Sida av 7

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Koncept

Vinkel

En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.

Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen $\land$ framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen $\land .$ Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

Ibland används symbolen $∠$ i stället för $\land$ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.

Insida och utsida av en vinkel

En vinkel kan dela in ett plan i två delar.

Området mellan vinkelbenen, eller vinkels insida.
Området utanför vinkelbenen, eller vinkels utsida.

Dessa områden kan undersökas i följande applikation.

Notera att vinkelns insida är det område där vinkeln är mindre än

18 0^{\circ} .

Begrepp

Bisektris

En bisektris är en stråle som delar en vinkel i två lika stora delvinklar.

Koncept

Sidovinklar

Ett par sidovinklar är ett par av supplementvinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, och inte överlappar. I bilden nedanför så är

\land A B C

och

\land C B D

sidovinklar, eftersom de har samma vinkelspets

B,

delar vinkelbenet

B C,

inte överlappar, och deras summa är

18 0^{\circ} .

Applikation som visar två vinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, inte överlappar, och vars summa är 180 grader

Notera att de icke-gemensamma vinkelbenen av vinklarna bildar en rät linje och därför bildar sidovinklarna tillsammans en rak vinkel.

Koncept

Vertikala vinklar

Två vinklar kallas för vertikala vinklar om de ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer eller sträckor. I den interaktiva bilden nedanför finns två par av vertikala vinklar, och paren är markerade så att de har lika många markeringar i vinkelbågarna.

Två sträckor som korsar varandra, och fyra vinklar som bildas i korsningen

Notera att två vertikala vinklar alltid är lika stora.

Begrepp

Likbelägna vinklar

Likbelägna vinklar är ett par av vinklar som bildas av en transversal när den skär två andra linjer. Vinklarna kallas likbelägna eftersom de bildas på "samma ställe" i förhållande till skärningspunkterna. Likbelägna vinklar är lika stora om linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella.

Begrepp

Alternatvinklar

Alternatvinklar är ett par av vinklar som bildas på motsatt sida av en transversal när den skär två andra linjer. Det finns två typer: inre och yttre. I figuren nedan utgör de blå vinklarna yttre alternatvinklar, medan de gröna är inre alternatvinklar. Om linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella är alternatvinklarna lika stora.

De övre och undre paren av vinklar är dessutom vertikalvinklar, vilket innebär att alla fyra markerade vinklar är lika stora.

Hur stora är de olika vinklarna?

fullscreen

Linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm storleken på vinklarna $a,$ $b,$ $c$ och $d$ med hjälp av de kända vinklarna i figuren.

Visa Lösning

Vinkel $a$
Eftersom vinkel $a$ befinner sig på motsatt sida om skärningspunkten mellan två linjer är den vertikalvinkel till vinkeln som är $6 0^{\circ} .$

Vertikalvinklar är alltid lika stora, så $a = 6 0^{\circ} .$

Vinkel $b$
Vinkel

b

är sidovinkel till dels vinkeln som är

6 0^{\circ}

och dels till vinkel

a

som också är

6 0^{\circ}

. Summan av sidovinklar är alltid

18 0^{\circ},

så därför är

6 0^{\circ} + b = 18 0^{\circ} \Leftrightarrow b = 12 0^{\circ} .

Vinkel $c$
Vinkelparet

c

och

a

bildas båda av den vänstra linjen som skär

L_{1}

och

L_{2} .

De är därför likbelägna vinklar, och eftersom

L_{1}

och

L_{2}

är parallella är dessa lika stora. Då måste

c = 6 0^{\circ} .

Vinkel $d$
Slutligen ser vi att vinkel $d$ och $4 9^{\circ}$ också bildas av en linje som skär linjerna $L_{1}$ och $L_{2},$ men dessa står på varsin sida om skärningslinjen. Därför är de alternatvinklar vid parallella linjer och därför lika stora. Vinkel $d$ är då $4 9^{\circ} .$

Sammanfattningsvis är alltså

a = 6 0^{\circ}, b = 12 0^{\circ}, c = 6 0^{\circ}, d = 4 9^{\circ} .

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Vinklar

Övningar

I figuren är linjerna L1 och L2 är parallella.

likbelägna vinklar, alternatvinklar, vertikalvinklar, sidovinklar

Bestäm vilka par av vinklar som är av följande typ.

Vertikalvinklar

Sidovinklar

Vertikalvinklar är de vinklar som bildas på motsatt sida av två linjer som skär varandra. Vi markerar därför vinkelparen a och b samt c och d.

Eftersom de horisontella linjerna är parallella blir de också parvis lika stora. Man kan även visa att alla fyra vinklar är lika stora.

Nu ska vi avgöra vilka par av vinklar som är sidovinklar, dvs. vinklar som tillsammans är 180^(∘). I figuren ser vi att det bara finns ett par sidovinklar, nämligen e och f.

I figuren är de tunna röda linjerna bisektriser. Bestäm vinkeln $x .$

Bisektriser delar vinklar i två lika stora vinklar. Det innebär att de okända vinklarna i figuren är 60 ^(∘) respektive x.

Eftersom dessa vinklar tillsammans utgör ett halvt varv, dvs. de är sidovinklar, vet vi att summan av dem är 180 ^(∘). Det ger oss ekvationen 60 ^(∘) + 60 ^(∘) + x + x = 180 ^(∘), som vi kan lösa.

Vinkeln x är alltså 30 ^(∘).

Linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm den okända vinkeln i figuren. Motivera ditt svar!

Två parallella linjer som skärs av en annan line.

En rektangel som skärs av en sned linje.

För att bestämma a kan vi t.ex. rita ut sidovinkeln till den kända vinkeln och kalla den b.

Summan av sidovinklar är alltid 180^(∘), så b blir b=180^(∘)-105^(∘)=75^(∘). Eftersom L_1 och L_2 är parallella är de likbelägna vinklarna b och a lika stora. Därför är även a=75^(∘).

De räta vinklarna i figuren gör att vi kan vara säkra på att den är en rektangel, vars sidor är parallella. Alltså går transversalen genom parallella linjer, vilket gör att de yttre alternatvinklar som bildas av vinkel x och 42-gradersvinklen är lika stora. Alltså är x=42^(∘).

Två räta linjer skär varandra så att fyra vinklar bildas.

Två räta linjer som skär varandra och bildar vinklar.

Om

y = 3 1^{\circ},

vad är då

x ?

Vi börjar med att byta ut y mot 31^(∘).

Hela varvet runt skärningspunkten är 360^(∘), och drar vi bort de två vinklarna som vi just räknat ut får vi kvar 360^(∘)-31^(∘)-31^(∘)=298^(∘).

Detta innebär att resterande vinkeln är x= 298 ^(∘)2=149 ^(∘). Då har vi bestämt alla vinklar.

Linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm storleken på den okända vinkeln. Motivera.

En linje som skär två parallella linjer L1 och L2.

Den blå och gröna vinkeln är alternatvinklar, och eftersom L_1 och L_2 är parallella är alternatvinklarna lika stora. Därför är den gröna vinkeln x också 40^(∘).

Den blå 80-gradersvinkeln och den gröna vinkeln x är alternatvinklar, och eftersom L_1 och L_2 är parallella måste vinklarna vara lika stora.

I en liksidig triangel

A B C

dras en bisektris från punkten

B

till en punkt

D

på sidan

A C .

Bestäm

\land A B D .

Vi börjar med att rita upp situationen. I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, så det spelar ingen roll vilket hörn vi döper till A, B respektive C. Vi drar sedan en bisektris genom ∧ B. Punkten där bisektrisen möter sidan AC kallar vi för D.

Vi vet även att alla vinklarna i en liksidig triangel är 60 ^(∘). Det innebär att bisektrisen delar vinkel B i två 30-gradersvinklar.

Den vänstra av dessa är vinkel ABD. Alltså är ∧ ABD=30^(∘).

I figuren är de vertikala linjerna $L_{1},$ $L_{2}$ och $L_{3}$ parallella.

Tre parallella linjer och en sned linje som skär dem.

Rita av figuren och markera alla vinklar som är likbelägna till den röda vinkeln.

Markera alla vinklar som är lika stora som den röda. Motivera.

Likbelägna vinklar ligger på "samma ställe" i förhållande till skärningspunkterna. I vår figur bildar den sneda linjen vinklar på samma ställe som den röda fast för linjerna L_2 och L_3. Alla dessa är alltså likbelägna.

Alla likbelägna vinklar som vi markerade i förra deluppgiften är lika stora, eftersom linjerna L_1, L_2 och L_3 är parallella. Dessutom hittar vi vertikalvinklar på motsatta sidan om varje markerad vinkel. Eftersom vertikalvinklar alltid är lika stora, måste även dessa ha samma storlek som ursprungsvinkeln.

Alla markerade vinklar i figuren ovan är alltså lika stora som den ursprungliga röda vinkeln.

Vinklar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Vinklar

Insida och utsida av en vinkel

Exempel

Hur stora är de olika vinklarna?

Vinklar

Rekommenderade uppgifter