Vinklar: Vertikalvinklar, Alternatvinklar och Likbelägna vinklar

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

I en regelbunden femhörning dras en bisektris. I vilken vinkel skär den motstående sida? Vinkelsumman i en femhörning är

54 0^{\circ} .

En regelbunden månghörning har lika stora vinklar. Eftersom vinkelsumman i en femhörning är 540^(∘) blir varje vinkel 540^(∘)5=108^(∘).

Vi drar en bisektris från ett av hörnen. Den delar då den vinkeln i två lika stora delar.

Eftersom varje vinkel i femhörningen är 108^(∘) delas vinkeln i två 54^(∘)-vinklar. Bisektrisen delar också femhörningen i två fyrhörningar. Vi tittar på den högra.

Vinkelsumman i en fyrhörning är 360^(∘). Vi känner till tre av vinklarna, vilket betyder att vi kan beräkna den fjärde: 360^(∘)-108^(∘)-108^(∘)-54^(∘)=90^(∘). Den sista vinkeln i fyrhörningen är alltså 90^(∘), dvs. den är rät.

Sträckorna $A B$ och $D E$ är parallella. Bestäm vinkeln $v .$

En sammankoppling av fyra olika linjer, som bildar tre olika vinklar.

Vi förlänger sträckorna BC och DE så att de möts. Då bildas en ny vinkel.

De gröna vinklarna är alternatvinklar och eftersom AB och DE är parallella måste de vara lika stora: 30^(∘). Det bildas även en sidovinkel till den röda vinkeln. Summan av dem är 180^(∘) så den blir 180^(∘)-130^(∘)=50^(∘).

Vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), så den sista vinkeln i triangeln är 180^(∘)-30^(∘)-50^(∘)=100^(∘). Den är sidovinkel till v.

Det betyder att v=180^(∘)-100^(∘)=80^(∘).

$L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm vinklarna $v$ och $x .$

Två parallella linjer som skärs av två sneda linjer, så att en triangel bildas.

Vinkeln v är likbelägen med den nedre högra vinkeln i triangeln. Eftersom L_1 och L_2 är parallella är de vinklarna lika stora.

Den blå och gula vinkeln är sidovinklar så summan av dem är 180^(∘): v+x+10^(∘)=180^(∘). Den nedre vänstra vinkeln i triangeln är 180^(∘)-x eftersom den och den gröna vinkeln är sidovinklar.

Nu har vi uttryck för alla vinklar i triangeln. Om man summerar dem blir vinkelsumman 180^(∘): v+70^(∘)+180^(∘)-x=180^(∘). Nu har vi två samband mellan v och x. Det ger oss ett ekvationssystem: v+x+10^(∘)=180^(∘) v+70^(∘)+180^(∘)-x=180^(∘). Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.

Vinklarna är alltså x=120^(∘) och v=50^(∘).

Sidorna i en fyrhörning har förlängts vid hörnen. Bestäm summan av de gröna vinklarna.

Vi kallar de gröna vinklarna för a, b, c och d.

Paren av gröna och blå vinklar är sidovinklar så summan av varje par är 180^(∘). Det betyder att vi kan ta fram uttryck för de blå vinklarna.

De blå vinklarna är vinklar i en fyrhörning. Det betyder att summan av dem är 360^(∘).

Summan av a, b, c och d, dvs. de gröna vinklarna, är 360^(∘).

Beräkna summan av de markerade vinklarna.

Vi börjar med att namnge vinklarna vars summa vi vill beräkna, t.ex. a-f. Vi döper dessutom de återstående vinklarna i trianglarna till x, y och z. Dessa är vertikalvinklar till de tre vinklarna i den mittersta triangeln, vilket innebär att de också blir x, y och z.

De tre yttre trianglarna har vinkelsumman 3*180^(∘)=540^(∘), eftersom varje triangel har vinkelsumman 180^(∘). Vinkelsumman för de gröna trianglarna (a-f) blir 540^(∘)-(x+y+z). Men x, y och z är ju vinklarna i den mittersta triangeln så summan av dem är 180^(∘).

Summan av de gröna vinklarna är alltså 360^(∘).

Vinklar

Mathleaks

Vinkel

Insida och utsida av en vinkel

Bisektris

Sidovinklar

Vertikala vinklar

Likbelägna vinklar

Alternatvinklar

Exempel

Hur stora är de olika vinklarna?

Vinklar

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.