Vinklar: Vertikalvinklar, Alternatvinklar och Likbelägna vinklar

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

Bestäm vinkeln $x$ om du vet att $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella.

Två parallella linjer och två transversaler bildar en fyrhörning

Vi ser att de två parallella linjerna och de två transversalerna bildar en fyrhörning, där vi vet något om två av vinklarna. Vi kan uttrycka en tredje vinkel i fyrhörningen genom att utnyttja att x är vertikalvinkel till det nedre högra hörnet. Det ger oss att den vinkeln också är x.

Men x är även likbelägen vinkel med motsvarande vinkel som bildas vid linje L_1. Eftersom linjerna är parallella är då även denna lika stor, alltså x. Nu kan vi bestämma den sista vinkeln i fyrhörningen, eftersom den är sidovinkel till den markerade vinkeln med storleken x. Eftersom summan av sidovinklar alltid är 180 ^(∘) får vi att den sista vinkeln är 180^(∘)-x.

Eftersom vi vet att vinkelsumman i en fyrhörning är 360^(∘) kan vi ställa upp en ekvation med den information vi nu har och lösa ut x.

Vinkel x är alltså 127.5 ^(∘).

Visa att motstående vinklar i ett parallellogram är lika stora.

Ett parallellogram med vinklarna u och v.

I en parallellogram är motstående sidor parallella. Vi förlänger sidorna, och då bildas några nya vinklar. Sidovinkeln till u är v eftersom den och den nedre vänstra vinkeln i parallellogrammen är likbelägna.

Parallellogrammens övre högra hörn är v eftersom den och vinkeln v undertill är alternatvinklar. Vid parallellogrammens övre vänstra hörn bildas det också en alternatvinkel till v i det nedre vänstra hörnet.

Vi konstaterade tidigare att sidovinkeln till v är u. Därför blir det övre vänstra hörnet i parallellogrammen u.

Nu har vi alla vinklar vi behöver.

Om den nedre vänstra vinkeln är v är även det övre högra hörnet v. Om den nedre högra vinkeln är u blir även den övre vänstra vinkeln det. Motstående vinklar är alltså lika stora.

I en rektangel

A B C D

dras en sträcka från mittpunkten

M

på sidan

B C

till rektangelns hörn

D .

Då bildas

\land C M D,

som är

5 6^{\circ} .

Hur stor är

\land A D M ?

Vi börjar med att rita upp den figur som beskrivs i texten. Observera att den kan se ut på oändligt många olika sätt, den figur vi ritar är bara ett exempel. Vi ritar upp en rektangel och namnger hörnen i ordningen A-B-C-D, antingen medurs eller moturs. Från BC:s mittpunkt M drar vi en linje till hörn D.

Nu markerar vi vinklarna som nämns i texten. Vi vet att ∧ CMD är 56 ^(∘). ∧ ADM kan vi kalla för x.

56-gradersvinkeln och vinkel x är inre alternatvinklar. Eftersom sidorna i en rektangel alltid är parallella är alternatvinklarna lika stora. Därför är även vinkel x, eller ∧ ADM, lika med 56 ^(∘).

Bestäm vinkel $a$ i figuren om du vet att linjerna $L_{1},$ $L_{2}$ och $L_{3}$ är parallella.

Två linjesegment som bildar en rät vinkel och tre parallella linjer som skär dessa.

Vi utnyttjar den räta vinkeln för att bilda en rätvinklig triangel. Förutom den räta vinkeln vet vi då att triangelns vänstra vinkel är 53 ^(∘), eftersom den är vertikalvinkel till den kända vinkeln.

Den sista okända vinkeln i triangeln, som vi kan kalla x, kan vi beräkna eftersom vi vet att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 ^(∘). Det ger oss ekvationen 53^(∘)+90^(∘)+x=180^(∘), som har lösningen x=180^(∘)-90^(∘)-53^(∘)=37^(∘). Denna vinkel är likbelägen med den vinkeln som är sidovinkel till den sökta vinkeln a. Eftersom linjerna L_2 och L_3 är parallella är de lika stora, dvs. sidovinkeln till a är också 37^(∘).

Sidovinklar är alltid 180 ^(∘) tillsammans, vilket innebär att vi kan få a genom att dra bort 37^(∘) från 180^(∘): a=180^(∘)-37^(∘)=143^(∘). Vinkel a är alltså 143^(∘).

Figuren visar en skiss av Yosefs lägenhet. Han gillar sitt triangulära nattduksbord som har formen av en rätvinklig triangel, och tänker därför bygga ett motsvarande till badrummet också. Bordet ska stå i det triangulära utrymmet bredvid bänken med handfatet, och ska ta upp hela denna yta.

Badrumsbänken är avsågad så att kanten är i linje med vinkelväggen som går från sovrumsväggen snett ned mot badrummet. Bordsskivan i sovrummet har en toppvinkel (vinkeln närmast lägenhetens yttervägg) på $3 5^{\circ}$ . Utgår ifrån att alla hörn i lägenheten som bör vara vinkelräta är det. Beräkna de vinklar Yosefs triangulära bordsskiva måste ha för att passa in i platsen i badrummet.

Eftersom alla hörn i lägenheten som bör vara vinkelräta är det, är summan av nattduksbordsskivans toppvinkel på 35^(∘) och vinkeln v i figuren är 90^(∘), dvs. v+35^(∘)=90^(∘). Det innebär alltså att vinkel v är lika med 90^(∘)-35^(∘)=55^(∘).

Om vi tolkar vinkelväggen som delar det övre högra rummet i två som en transversal, hittar vi de två likbelägna vinklarna v och w i bilden nedan. Alla ytterväggars hörn är vinkelräta, vilket ger att de två långväggarna är parallella och därmed är v och w lika stora: 35^(∘).

Detta är en av tre vinklar som krävs för att göra Yosefs nya bordsskiva. För att bordet ska vara rätvinkligt krävs att en vinkel är 90^(∘). Den sista vinkeln blir då lika stor som återstoden av triangelns vinkelsumma: 180^(∘)-90^(∘)-55^(∘)=35^(∘). Bordsskivans tre vinklar kommer alltså vara 55^(∘), 90^(∘) och 35^(∘).

Vinklar

Mathleaks

Vinkel

Insida och utsida av en vinkel

Bisektris

Sidovinklar

Vertikala vinklar

Likbelägna vinklar

Alternatvinklar

Exempel

Hur stora är de olika vinklarna?

Vinklar

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.