MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
9. Vektorer
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 1a /
Kapitel 5
9. 

Vektorer

En vektor är en matematisk representation som har både storlek och riktning. Den kan beskriva olika storheter som hastighet, kraft och acceleration. Vektorer representeras ofta grafiskt som en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. De kan också beskrivas med koordinater som anger förändringen i olika riktningar. Vektorer används i många olika sammanhang, från fysik till datavetenskap, och de kan adderas eller subtraheras för att skapa nya vektorer. Denna sida förklarar begreppet vektor på ett enkelt och förståeligt sätt, med exempel och illustrationer.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Vektorer
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Vektor
  • Koordinatform för vektor
  • Addera vektorer
  • Resultant

Förkunskaper
Teori

Vektor

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis
Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten och slutpunkten brukar man namnge den och om den riktas åt andra hållet får den namnet
Teori

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i och led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i och led mellan start- och slutpunkten.
Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Exempel

Skriv vektorerna på koordinatform

Titta på grafen över vektorerna och

a Skriv vektor i koordinatform.
b Skriv vektor i koordinatform.

Ledtråd
a Hur skriver man en vektor i koordinatform? Tänk på förändringen i och riktning från startpunkten till slutpunkten.
b Hur skriver man en vektor i koordinatform? Tänk på förändringen i och riktning från startpunkten till slutpunkten.

Lösning
a För att skriva en vektor i koordinatform, mät förändringen i och riktning mellan start- och slutpunkten. För är skillnaden i riktningen och i riktningen.

Detta betyder att koordinatform för är

b För notera att slutpunkten ligger till vänster om startpunkten, vilket resulterar i en negativ förändring i riktningen.

Skillnaden i riktningen är och i riktningen, vilket betyder att koordinatform för skrivs som

Teori

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna och har samma riktning, så kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Teori

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna på rad, alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har och adderats för att bilda resultanten
Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Vektorer
Övningar

Nedan syns två vektorer, och

Diagram med de två vektorerna u och v

Rita resultanten

Rita resultanten genom att skriva om subtraktionen som additionen Vektorn har samma längd som vektor men motsatt riktning.

Genom att sätta vektorerna på rad kan vi bestämma summan av dem. Vi flyttar därför ena vektorn, i detta fall v, och ritar resultanten mellan startpunkten på v och slutpunkten på u.


Eftersom subtraktionen v-u kan skrivas som additionen v+(-u) betyder det att vi ska rita resultanten r=v+(-u). Vi börjar med att rita vektorn -u, som alltså har samma längd som vektor u men motsatt riktning.

Nu flyttar vi - u och ritar resultanten mellan startpunkten på v och slutpunkten på - u.


Bestäm koordinaterna för genom att rita resultanten. Använd att kan skrivas som och att en negativ vektor har samma längd, men motsatt riktning, som sin positiva motsvarighet.

Diagram med vektorerna a, b och c

Eftersom a-b-c kan skrivas som a+(-b)+(-c) ska vi rita resultanten r=a+(-b)+(-c). Vi börjar med att hitta de negativa motsvarigheterna till b och c genom att låta dem behålla samma storlek, men vara riktade åt motsatt håll.

Nu kan vi addera vektorerna a,-b,och -c genom att flytta dem så att deras startpunkter ligger på en annan vektors slutpunkt. Det spelar ingen roll i vilken ordning de placeras.

Slutligen drar vi en resultant från första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt.

Vi kan bestämma resultantens koordinater genom att räkna antalet rutor i x- och y-led. Eftersom r rör sig 8 steg åt höger och 1 steg uppåt får den koordinaterna (8,1).

Mo och Mjälla har utmanat sin pappa Sten på dragkamp. Tillsammans lyckas systrarna dra med samma kraft som sin pappa så att tävlingen befinner sig i dödläge. Vektorerna i figuren visar med vilken kraft och riktning som de tre familjemedlemmarna drar.

Tre vektorer
Bestäm koordinatformen för den vektor som visar hur Mjälla drar.

Eftersom den kraft som Mjälla och Mo drar med måste ta ut den kraft som Sten drar med kommer deras dragkrafter representeras av en resultant som är lika stor men i motsatt riktning som vektorn som representerar Stens dragkraft. Stens vektor har koordinatformen (- 5,0) så Mo och Mjällas resultant måste då ha koordinatformen (5,0), som den röda vektorn i figuren.

Genom att flytta Mjällas vektor till slutpunkten av Mos vektor ser vi att resultanten faktiskt blir (5,0). Mo och Mjällas vektorer ska alltså tillsammans motsvara en förändring på 5 i x-led och 0 i y-led. Eftersom Mos vektor har en förändring på 3 i x-led måste Mjällas vektor ha en förändring på 2 i x-led. På motsvarande sätt kan vi inse att Mjällas vektor har en förändring på -1 i y-led.

Mjällas vektor har alltså koordinatformen (2,- 1).

är en regelbunden åttahörning.

Regelbunden oktagon


 Definera vektorn som Hur många fler, lika långa vektorer kan du skapa med hjälp av hörnen?
Låt Namnge samtliga vektorer som är identiska med

Vi ritar v. Den sträcker sig över två hörn. Eftersom åttahörningen är regelbunden kommer alla vektorer som dras över två hörn att vara lika långa som v.

Vi kan dra 3 vektorer medurs som är lika långa (röda). Men man kan ju även dra vektorer åt motsatt håll. Det betyder att vi kan rita 4 stycken till (gröna).

Då har vi skapat 3+4=7 lika långa vektorer till. Men dessutom kan vi dra vektorer som sträcker sig över två hörn genom att börja i de hörnen som vi nu hoppat över, dvs. D, B, H och F.

Vi kan även dra gröna vektorer på samma sätt, fast åt andra hållet. Nu har vi skapat ytterligare 4+4=8 vektorer med samma längd, dvs. totalt 7+8=15 lika långa vektorer.


Vi börjar med att titta på vektorn u från E till F.

Vi kan rita in tre till som har samma riktning.

Vektorerna DG och CH är längre än u, men BA är lika lång. Båda utgör ju sidan i den regelbundna åttahörningen. De har alltså både samma storlek och riktning, så u=BA.

Överväg triangeln med hörn vid och Uttryck sidorna av triangeln som vektorer och

Vi får en triangel med hörn A(2,2), B(5,3), och C(3,6).

Vi vill uttrycka triangelns sidor som vektorer AB, BC, och CA. Vi kommer att skriva varje vektor i koordinatform — detta är ( x,y ). Här är den första koordinaten den horisontella förändringen och den andra koordinaten den vertikala förändringen. xy = ( x, y ) = ( x_2-x_1, y_2 -y_1 ) Vi börjar med AB. Låt oss sätta in komponenterna i formeln ovan. Observera att komponenterna är koordinaterna för varje punkt.

På samma sätt hittar vi nästa sidor. Sedan gör vi en tabell med resultaten.

Hörn xy = ( x_2-x_1, y_2 -y_1 ) Vektor
A( 2,2) och B( 5,3) ( 5- 2, 3- 2 ) AB= ( 3, 1 )
B( 5,3) och C( 3,6) ( 3- 5, 6- 3 ) BC = ( -2, 3 )
C( 3,6) och A( 2,2) ( 3- 2, 6- 2 ) CA = ( 1, 5 )

Därför är triangelns sidor AB= ( 3, 1 ), BC = ( -2, 3 ), och CA = ( 1, 5 ).

En helikopter startar vid och gör tre etapper av en flygning representerade av vektorerna och i den ordningen. Om en annan helikopter startar vid och flyger de samma tre etapper i en annan ordning, skulle den hamna på samma plats? Motivera ditt svar.

Helikoptern startar vid (0,0) och gör tre delsträckor av en flygning som representeras av vektorerna ( 10,10 ), ( 5,- 4 ), och ( - 3, 5 ), i den ordningen. Låt oss skissa helikopterns väg!

En annan helikopter startar vid (0,0) och flyger samma tre delsträckor i en annan ordning. Vi vill veta om den andra helikoptern skulle sluta på samma plats som den första helikoptern. För att ta reda på det kommer vi att skissa den andra vägen. Vi kommer att börja med ( - 3, 5 ).

Som vi kan se slutar båda vägarna på samma punkt. Detta beror på att addition av vektorer uppfyller den associativa lagen, som säger att summan av tre vektorer inte beror på vilket par av vektorer som adderas först. (a + b ) + c = a + (b + c )

Vektorer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll