Vektorer

Eftersom a-b-c kan skrivas som a+(-b)+(-c) ska vi rita resultanten r=a+(-b)+(-c). Vi börjar med att hitta de negativa motsvarigheterna till b och c genom att låta dem behålla samma storlek, men vara riktade åt motsatt håll.

Nu kan vi addera vektorerna a,-b,och -c genom att flytta dem så att deras startpunkter ligger på en annan vektors slutpunkt. Det spelar ingen roll i vilken ordning de placeras.

Slutligen drar vi en resultant från första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt.

Vi kan bestämma resultantens koordinater genom att räkna antalet rutor i x- och y-led. Eftersom r rör sig 8 steg åt höger och 1 steg uppåt får den koordinaterna (8,1).

Eftersom den kraft som Mjälla och Mo drar med måste ta ut den kraft som Sten drar med kommer deras dragkrafter representeras av en resultant som är lika stor men i motsatt riktning som vektorn som representerar Stens dragkraft. Stens vektor har koordinatformen (- 5,0) så Mo och Mjällas resultant måste då ha koordinatformen (5,0), som den röda vektorn i figuren.

Genom att flytta Mjällas vektor till slutpunkten av Mos vektor ser vi att resultanten faktiskt blir (5,0). Mo och Mjällas vektorer ska alltså tillsammans motsvara en förändring på 5 i x-led och 0 i y-led. Eftersom Mos vektor har en förändring på 3 i x-led måste Mjällas vektor ha en förändring på 2 i x-led. På motsvarande sätt kan vi inse att Mjällas vektor har en förändring på -1 i y-led.

Mjällas vektor har alltså koordinatformen (2,- 1).

Vi ritar v. Den sträcker sig över två hörn. Eftersom åttahörningen är regelbunden kommer alla vektorer som dras över två hörn att vara lika långa som v.

Vi kan dra 3 vektorer medurs som är lika långa (röda). Men man kan ju även dra vektorer åt motsatt håll. Det betyder att vi kan rita 4 stycken till (gröna).

Då har vi skapat 3+4=7 lika långa vektorer till. Men dessutom kan vi dra vektorer som sträcker sig över två hörn genom att börja i de hörnen som vi nu hoppat över, dvs. D, B, H och F.

Vi kan även dra gröna vektorer på samma sätt, fast åt andra hållet. Nu har vi skapat ytterligare 4+4=8 vektorer med samma längd, dvs. totalt 7+8=15 lika långa vektorer.

Vi börjar med att titta på vektorn u från E till F.

Vi kan rita in tre till som har samma riktning.

Vektorerna DG och CH är längre än u, men BA är lika lång. Båda utgör ju sidan i den regelbundna åttahörningen. De har alltså både samma storlek och riktning, så u=BA.

Vi får en triangel med hörn A(2,2), B(5,3) och C(3,6).

Vi vill uttrycka triangelns sidor som vektorer AB, BC och CA. Vi kommer att skriva varje vektor i koordinatform — detta är (x,y). Här är den första koordinaten den horisontella förändringen och den andra koordinaten den vertikala förändringen. xy = (x,y) = ( x_2-x_1, y_2 -y_1 ) Vi börjar med AB. Låt oss sätta in komponenterna i formeln ovan. Observera att komponenterna är koordinaterna för varje punkt.

På samma sätt hittar vi nästa sidor. Sedan gör vi en tabell med resultaten.

Därför är triangelns sidor AB= ( 3, 1 ), BC = ( -2, 3 ) och CA = ( 1, 5 ).

Helikoptern startar vid (0,0) och gör tre delsträckor av en flygning som representeras av vektorerna ( 10,10 ), ( 5,- 4 ), och ( - 3, 5 ), i den ordningen. Låt oss skissa helikopterns väg!

En annan helikopter startar vid (0,0) och flyger samma tre delsträckor i en annan ordning. Vi vill veta om den andra helikoptern skulle sluta på samma plats som den första helikoptern. För att ta reda på det kommer vi att skissa den andra vägen. Vi kommer att börja med ( - 3, 5 ).

Som vi kan se slutar båda vägarna på samma punkt. Detta beror på att addition av vektorer uppfyller den associativa lagen, som säger att summan av tre vektorer inte beror på vilket par av vektorer som adderas först. (a + b ) + c = a + (b + c )