Vektorer: y med streck över

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp vektorer i en vågrät $x$ -komposant och en lodrät $y$ -komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren nedan har vektorn $v = (6, 4)$ delats upp i delvektorerna $v_{x} = (6, 0)$ och $v_{y} = (0, 4) .$

Diagram med vektorn v och delvektorer i lodrät och vågrät riktning

Dela upp vektorn $v = (7, - 3)$ i komposanter samt ange vektorns och komposanternas koordinater.

Diagram med vektorn v och komposanter i lodrät och vågrät riktning

Vi vet att vektorn $u$ har längden $6, 2$ le, vilket förenklat kan skrivas $∣ u ∣ = 6, 2$ le. Bestäm koordinaterna för de gröna komposanterna, $u_{x}$ och $u_{y} .$ Svara med två decimalers noggrannhet.

Vi kan se att förändringen i x-led från vektorns startpunkt till slutpunkt är 7 och att motsvarande förändringen i y-led är -3. Det innebär att vektor v har koordinaterna (7, -3). Den vågräta komposanten, v_x, visar vektorns förändring i x-led och beskrivs därför av koordinaterna (7, 0). På samma sätt visar den lodräta komposanten, v_y, förändring i y-led och har koordinaterna (0,-3).

Vi kan flytta u_y så att den börjar där u_x slutar. Då bildas en rätvinklig triangel med hypotenusan 6,2 le.

Nu kan vi använda sinus och cosinus för att bestämma längderna på u_x och u_y. Nu gör vi motsvarande för |u_y|.

Komposanterna har alltså samma längd. Eftersom u_x inte förflyttas någonting i y-led är y-koordinaten 0. Hela längden ligger alltså i x-led så x-koordinaten blir 4,38. Det betyder att u_x≈(4,38,0). På motsvarande sätt blir u_y≈(0,4,38).

Subtrahera vilken vektor som helst från sig själv. Resultatet är fortfarande en vektor, men en unik sådan. Förklara vad denna vektor är, och vad det betyder för vektoraddition.

Vi blir ombedda att subtrahera vilken vektor som helst från sig själv. För att göra det, låt oss ta vilken vektor v som helst v=( v_1,v_2) och subtrahera den från sig själv. v - v = ( v_1, v_2 ) - ( v_1 ,v_2 ) Kom ihåg att när man subtraherar två vektorer, subtraherar vi deras komponenter.

Som vi kan se, slutade vi med en vektor med båda komponenterna lika med 0. Detta är en nollvektor. Vi blir ombedda att förklara vad denna vektor innebär för vektoraddition. Låt oss addera nollvektorn till vilken vektor v som helst v=( v_1,v_2). ( v_1,v_2) + ( 0,0 ) När man adderar två vektorer, adderar vi deras komponenter.

Som vi kan se, fick vi samma vektor v. Därför är nollvektorn den additiva identiteten för mängden av alla vektorer. Dessutom är -v den additiva inversen av vilken given vektor v som helst. För att se det, låt oss addera v och -v.

Håller följande egenskap för vektorer? Identifiera egenskapen och gör ett diagram för att stödja ditt svar.

u + v = v + u

Vi vill avgöra om den givna egenskapen gäller för vektorer. u + v = v + u Låt oss skriva om det med ett frågetecken ovanför likhetstecknet och se om vi får ett sant påstående. Vi antar att v= ( v_1,v_2 ) och u = ( u_1, u_2 ).

Vi fick ett sant påstående. Därför gäller den givna egenskapen för vektorer. Eftersom vi har u+v på vänster sida och v+u på höger sida, är detta den kommutativa lagen för vektoraddition. Låt oss göra ett diagram för att stödja vårt svar. Vi börjar med att rita u+v.

Nu börjar vi med att rita v och sedan lägger vi till u för att rita v+u. Kom ihåg att segment med samma magnitud och riktning representerar samma vektor. Därför kan vi rita vektor v med start från punkten (0,0).

Vi kan se att vi fick samma vektor. Därför gäller den kommutativa lagen för vektoraddition.

Håller följande egenskap för vektorer och skalärer? Identifiera egenskapen och gör ett diagram för att stödja ditt svar.

k (u + v) = k u + k v

Vi vill avgöra om den givna egenskapen gäller för vektorer. k(u + v) = ku + kv Låt oss skriva om egenskapen med ett frågetecken ovanför likhetstecknet och se om vi får ett sant påstående. Vi antar att v= ( v_1,v_2 ) och u = ( u_1, u_2 ).

Vi fick ett sant påstående. Därför gäller den givna egenskapen för vektorer. På vänster sida har vi k(u + v) och på höger sida har vi ku + kv. Vi kan se att k är distribuerat, så detta är den distributiva lagen för vektoraddition. För att stödja vårt svar, låt oss börja med att rita vektorn u + v och multiplicera den med en skalär k > 1.

Nu kommer vi att börja med att rita u och v. Sedan kommer vi att multiplicera dem med k och rita k u + k v.

Vi kan se att vi fick samma vektor. Därför gäller den distributiva lagen för vektoraddition.

Håller följande egenskap för vektorer? Identifiera egenskapen och gör ett diagram för att stödja ditt svar.

u - v = v - u

Vi vill avgöra om den givna egenskapen gäller för vektorer. u - v = v - u Låt oss skriva om egenskapen med ett frågetecken ovanför likhetstecknet och se om vi får ett sant påstående. Vi antar att v = ( v_1,v_2 ) och u = ( u_1, u_2 ).

Vi fick ett falskt påstående. Därför gäller inte den givna egenskapen för vektorer. Eftersom vi på vänster sida har u-v och på höger sida har vi v-u, skulle detta vara den kommutativa egenskapen för vektorsubtraktion. Låt oss göra ett diagram för att stödja vårt svar. Vi börjar med att rita u-v.

Därefter ritar vi v-u.

Vi kan se att vektorn v-u har samma magnitud som vektorn u-v. Dessa vektorer har dock olika riktningar. Därför gäller denna egenskap inte för vektorsubtraktion.

Håller följande egenskap för vektorer? Identifiera egenskapen och gör ett diagram för att stödja ditt svar.

(u + v) + w = u + (v + w)

Vi vill avgöra om den givna egenskapen gäller för vektorer. (u + v) + w = u + (v + w) Låt oss skriva om egenskapen med ett frågetecken ovanför likhetstecknet och se om vi får ett sant påstående. Vi antar att v= ( v_1,v_2 ), u = ( u_1, u_2 ), och w = ( w_1, w_2 ).

Vi fick ett sant påstående. Därför gäller den givna egenskapen för vektorer. Eftersom vi på vänster sida har (u + v)+ w och på höger sida har vi u + (v + w), är detta den associativa egenskapen för vektoraddition. För att stödja vårt svar kommer vi att börja med att rita summan av u och v. Sedan kommer vi att addera w för att hitta (u + v)+ w.

Nu börjar vi med att rita v + w. Sedan adderar vi den resulterande vektorn till u.

Vi kan se att vi fick samma vektor. Därför gäller den associativa egenskapen för vektoraddition.

Vektorer

Förkunskaper

Vektor

Koordinatform för vektor

Skriv vektorerna på koordinatform

Ledtråd

Lösning

Addera vektorer

Resultant

Vektorer

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.