9. Vektorer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
9.
Vektorer
En vektor är en matematisk representation som har både storlek och riktning. Den kan beskriva olika storheter som hastighet, kraft och acceleration. Vektorer representeras ofta grafiskt som en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. De kan också beskrivas med koordinater som anger förändringen i olika riktningar. Vektorer används i många olika sammanhang, från fysik till datavetenskap, och de kan adderas eller subtraheras för att skapa nya vektorer. Denna sida förklarar begreppet vektor på ett enkelt och förståeligt sätt, med exempel och illustrationer.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vektorer
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Vektor
- Koordinatform för vektor
- Addera vektorer
- Resultant
Förkunskaper
Teori
Vektor
En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis
vellervˉ.
Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA. Teori
Koordinatform för vektor
Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i x- och y-led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkten.
Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Exempel
Skriv vektorerna på koordinatform
Titta på grafen över vektorerna u och v.
a Skriv vektor u i koordinatform.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.714em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.714em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">u<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.20772em;\"><span class=\"overlay\" style=\"height:0.714em;width:0.471em;\"><svg width='0.471em' height='0.714em' style='width:0.471em' viewBox='0 0 471 714' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"4","text2":"2"}}
b Skriv vektor v i koordinatform.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.714em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.714em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">v<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.20772em;\"><span class=\"overlay\" style=\"height:0.714em;width:0.471em;\"><svg width='0.471em' height='0.714em' style='width:0.471em' viewBox='0 0 471 714' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-3","text2":"1"}}
Ledtråd
a Hur skriver man en vektor i koordinatform? Tänk på förändringen i x- och y-riktning från startpunkten till slutpunkten.
b Hur skriver man en vektor i koordinatform? Tänk på förändringen i x- och y-riktning från startpunkten till slutpunkten.
Lösning
a För att skriva en vektor i koordinatform, mät förändringen i x- och y-riktning mellan start- och slutpunkten. För u är skillnaden 4 i x-riktningen och 2 i y-riktningen.
Detta betyder att koordinatform för u är (4,2).
b För v, notera att slutpunkten ligger till vänster om startpunkten, vilket resulterar i en negativ förändring i x-riktningen.
Skillnaden i x-riktningen är −3 och 1 i y-riktningen, vilket betyder att koordinatform för v skrivs som (−3,1).
Teori
Addera vektorer
Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0) och v=(5,0) har samma riktning, så r=u+v kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.
Teori
Resultant
Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna 
Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
på rad, alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v, u och z adderats för att bilda resultanten r.
Vektorer
Övningar
En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp vektorer i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren nedan har vektorn v=(6,4) delats upp i delvektorerna vx=(6,0) och vy=(0,4).
Dela upp vektorn v=(7,−3) i komposanter samt ange vektorns och komposanternas koordinater.
Vi vet att vektorn u har längden 6,2 le, vilket förenklat kan skrivas ∣u∣=6,2 le. Bestäm koordinaterna för de gröna komposanterna, ux och uy. Svara med två decimalers noggrannhet.
security
report
code
security
report
code
Vi kan se att förändringen i x-led från vektorns startpunkt till slutpunkt är 7 och att motsvarande förändringen i y-led är -3. Det innebär att vektor v har koordinaterna (7, -3). Den vågräta komposanten, v_x, visar vektorns förändring i x-led och beskrivs därför av koordinaterna (7, 0). På samma sätt visar den lodräta komposanten, v_y, förändring i y-led och har koordinaterna (0,-3).
Vi kan flytta u_y så att den börjar där u_x slutar. Då bildas en rätvinklig triangel med hypotenusan 6,2 le.
Nu kan vi använda sinus och cosinus för att bestämma längderna på u_x och u_y. Nu gör vi motsvarande för |u_y|.
Komposanterna har alltså samma längd. Eftersom u_x inte förflyttas någonting i y-led är y-koordinaten 0. Hela längden ligger alltså i x-led så x-koordinaten blir 4,38. Det betyder att u_x≈(4,38,0). På motsvarande sätt blir u_y≈(0,4,38).
security
report
code
Vektorer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll