MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
9. Vektorer
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 1a /
Kapitel 5
9. 

Vektorer

En vektor är en matematisk representation som har både storlek och riktning. Den kan beskriva olika storheter som hastighet, kraft och acceleration. Vektorer representeras ofta grafiskt som en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. De kan också beskrivas med koordinater som anger förändringen i olika riktningar. Vektorer används i många olika sammanhang, från fysik till datavetenskap, och de kan adderas eller subtraheras för att skapa nya vektorer. Denna sida förklarar begreppet vektor på ett enkelt och förståeligt sätt, med exempel och illustrationer.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Vektorer
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Vektor
  • Koordinatform för vektor
  • Addera vektorer
  • Resultant

Förkunskaper
Teori

Vektor

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis
Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten och slutpunkten brukar man namnge den och om den riktas åt andra hållet får den namnet
Teori

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i och led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i och led mellan start- och slutpunkten.
Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Exempel

Skriv vektorerna på koordinatform

Titta på grafen över vektorerna och

a Skriv vektor i koordinatform.
b Skriv vektor i koordinatform.

Ledtråd
a Hur skriver man en vektor i koordinatform? Tänk på förändringen i och riktning från startpunkten till slutpunkten.
b Hur skriver man en vektor i koordinatform? Tänk på förändringen i och riktning från startpunkten till slutpunkten.

Lösning
a För att skriva en vektor i koordinatform, mät förändringen i och riktning mellan start- och slutpunkten. För är skillnaden i riktningen och i riktningen.

Detta betyder att koordinatform för är

b För notera att slutpunkten ligger till vänster om startpunkten, vilket resulterar i en negativ förändring i riktningen.

Skillnaden i riktningen är och i riktningen, vilket betyder att koordinatform för skrivs som

Teori

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna och har samma riktning, så kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Teori

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna på rad, alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har och adderats för att bilda resultanten
Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Vektorer
Övningar
Nedan finns en lista på sju storheter.
Vilka kan tolkas som vektorer?
Vilka kan tolkas som skalärer?

Alla storheter har en storlek, men endast vektorer har en riktning. Vi undersöker dem i ordning.

A till C

Varken temperatur, volym eller massa kan ha riktning. Det kan inte vara 22 ^(∘)C åt vänster, juicens volym kan inte vara 2dl åt vänster och din massa är inte 75kg åt vänster. Alla tre är skalärer.

D till E

En hastighet har däremot en riktning. Du kan säga cyklistens hastighet är 30.km /h. åt vänster. Det är därför en vektor. På liknande sätt spelar det stor roll om du drar med en kraft uppåt eller nedåt i dörrhandtaget. Därför är även kraft en vektor.

F till G

Position och avstånd kan tyckas vara samma sak, men det finns en tydlig skillnad. En apelsin kan ha positionen 1m framför dig, 1m till höger om dig osv. Oavsett var apelsinen befinner sig är avståndet till apelsinen alltid detsamma, 1m. En position anges som hur långt och åt vilket håll i förhållande till något, och är alltså en vektor. Avståndet anger däremot bara hur långt, och är därför en skalär. Vi sammanfattar svaren i en tabell.

Storhet Skalär/Vektor
A Temperatur Skalär
B Volym Skalär
C Massa Skalär
D Hastighet Vektor
E Kraft Vektor
F Position Vektor
G Avstånd Skalär


I lösningen till deluppgift A har vi funnit att alternativen A, B, C och G skalärer.

Ange vektorn på koordinatform.

Diagram med vektor v
Diagram med vektor u

Vi bestämmer skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkterna för vektorn.

Dessa skillnader, dvs. Δ x och Δ y, ger oss x- och y-koordinaterna för vektorn.

Startpunkt Slutpunkt Δ x Δ y
(- 10,2) (- 4,6) -4 -(- 10)=6 6-2=4

Vektorn kan alltså skrivas v=(6,4).


Återigen bestämmer vi skillnaden i x- respektive y-led mellan vektorns start- och slutpunkter.

Vi får nu x- och y-koordinaten för vektorn genom skillnaderna Δ x och Δ y.

Startpunkt Slutpunkt Δ x Δ y
(8,- 6) (2, - 4) 2-8=-6 - 4-(- 6)=2

Vi kan alltså skriva vektorn som u=(-6,2).

I diagrammet finns tre vektorer.

Vektorerna u, v och w
 Skriv på koordinatform.
Skriv på koordinatform.
Skriv på koordinatform.

För att skriva en vektor på koordinatform bestämmer vi skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkt. Vektorern u har startpunkt i (0,0), dvs. origo, så dess koordinatform ges av slutpunktens koordinater.

Nu kan vektorns koordinatform skrivas. u=(- 9,2)


Men v börjar inte i origo, så för den måste vi bestämma skillnaden i x- och y-led.

Med denna information kan vi skriva vektorns koordinatform. v=(5,4)


Precis som i deluppgift A finner vi att w har startpunkt i (0,0). Därför bestäms dess koordinatform av slutpunktens koordinater.

Vektor w kan alltså i koordinatform skrivas som w=(7,- 6).

Vilka vektorer är likadana?

Fyra vektorer i ett diagram

Två vektorer är identiska om de har samma storlek och riktning. Vi ser att alla vektorer är lika långa, så de har alla samma storlek. Men vilka har samma riktning? Vi kan parallellförflytta dem för att lättare se det.

Nu ser vi att v och a är parallella, så de är lika. u och w lutar på samma sätt, men har motsatt riktning (även kallat antiparallella). De beskriver alltså inte samma vektor. Sammanfattningsvis gäller alltså v=a.

Bestäm koordinaterna för vektorerna och Varje ruta är 1 l.e.

Tre vektorer i ett diagram
Tre vektorer i ett diagram

Koordinaterna för en vektor anger vektorns förändring i x- och y-led. Om vi börjar med att titta på a, ser vi att den rör sig 4 rutor åt höger i x-led och 1 ruta uppåt i y-led.

Vektor a:s koordinater blir alltså a=(4,1). Nu gör vi på samma sätt med de andra vektorerna. Kom ihåg att om vektorn går nedåt eller åt vänster blir koordinaten negativ.

Koordinaterna blir alltså b=(-2,-4) och c=(-2,1).


Vi ser att vi nu har vi samma vektorer igen, fast inplacerade i ett koordinatsystem. Eftersom en vektors koordinater endast beror på förändringen i 'x- och 'y-led, och inte på var vektorn är placerad, är koordinaterna identiska med dem i förra deluppgiften.

Vektorerna har alltså koordinaterna a=(4,1), b=(-2,-4) och c=(-2,1).

Vi kan även lösa uppgiften genom att parallellförflytta vektorerna till origo och avläsa koordinaterna.

Vi ser att vektorernas slutpunkter hamnar i (4,1), (-2,-4) och (-2,1). Vektorernas koordinater blir då samma, a=(4,1), b=(-2,-4) och c=(-2,1).


Rita vektorn och identifiera sedan vilket av diagrammen som representerar den.

Fyra diagram med var sin vektor
Fyra diagram med var sin vektor

Vektorn v=(4,2) representeras av en pil som går 4 steg åt höger på x-axeln och 2 steg uppåt på y-axeln.

Detta motsvarar alternativ C.


Vektorn w=(5,-3) representeras av en pil som går 5 steg åt höger på x-axeln och 3 steg nedåt på y-axeln.

Detta motsvarar alternativ A.

Vad är koordinaterna av resultanten till vektorerna och

Tre olika blå vektorer u, v och w.

Resultanten är det resultat vi får om vi adderar vektorerna. Vi tar reda på den genom att parallellförflytta vektorerna så att de ligger efter varandra, alltså så att den andra vektorn börjar där den första slutar, och så att den tredje börjar där den andra slutar. Det spelar ingen roll i vilken ordning vi placerar vektorerna.

Resultanten bildar vi genom att dra en vektor från första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt.

Vi kan nu även läsa av resultantens koordinater. Den rör sig 5 steg åt höger och 3 steg nedåt så koordinaterna blir (5,-3).

Walter har just förklarat för Jesse att en vektor har både storlek och riktning. Jesses blick faller över en figur som ser ut på följande sätt.

Två vektorer a och 2a.

Jesse pekar på den högra vektorn och frågar Walter: Men Walter, hur vet jag att vektorn har just den där storleken och riktningen? Hjälp Walter att förklara detta för Jesse!

För att förstå vad 2a betyder kan vi skriva om det som a+a. Detta är en vektoraddition som innebär att vi kan ta vektorn a och sätta den på rad med en till identisk vektor a.

Därefter ska vi dra en resultant från första vektorns startpunkt till andra vektorns slutpunkt. Gör vi det ser vi att denna resultant, a+a eller 2a, blir likadan som den blå vektorn 2a som Jesse hade given i sin figur.

På detta sätt inser Jesse att 2a måste ha just denna storlek (dubbelt så lång som a) och riktning (samma som a).

Vektorer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.