{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Geometri

Välj kurs
Matte 1a
Geometri
Vektorer

Vektorer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis v⃗ellervˉ. \vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB→\overrightarrow{AB}, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA→.\overrightarrow{BA}.

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där xx- och yy-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Uppgift

Skriv vektorerna u⃗\vec{u} och v⃗\vec{v} på koordinatform.

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkterna. För v⃗\vec{v} noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i xx-led.

Exempel

Vektor u⃗\vec{u}

Skillnaden är 44 längdenheter i xx-led och 2 i yy-led. Det innebär att koordinatformen för u⃗\vec{u} är (4,2).(4,2).

Exempel

Vektor v⃗\vec{v}

Skillnaden i xx-led är -3\text{-} 3 längdenheter och 11 i yy-led, så koordinatformen för v⃗\vec{v} är (-3,1).(\text{-} 3,1).

Visa lösning Visa lösning
Regel

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u⃗=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v⃗=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så r⃗=u⃗+v⃗\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Begrepp

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v⃗,u⃗\vec{v}, \, \vec{u} och z⃗\vec{z} adderats för att bilda resultanten r⃗.\vec{r}.

Byt ordning

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.


Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}