Statistik och diagram: Frekvenstabell och cirkeldiagram

Åldras $(x)$	Frekvens $(f)$
$10$	$4$
$11$	$2$
$12$	$5$
$13$	$3$
$14$	$1$
	Total frekvens $(n) = 15$

Åldras

(x)

Frekvens

(f)

10

4

11

2

12

5

13

3

14

1

Total frekvens

(n) = 15

Mål	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Frekvens	$1$	$3$	$2$	$1$	$2$	$1$

Mål

0

1

2

3

4

5

Frekvens

1

3

2

1

2

1

Mål	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Frekvens	$1$	$3$	$2$	$1$	$2$	$1$

Mål

0

1

2

3

4

5

Frekvens

1

3

2

1

2

1

Aktivitet	Frekvens
Sport	$30$
Musik	$20$
Konst	$15$
Läsning	$25$
Vetenskapsklubb	$10$

Aktivitet

Frekvens

Sport

30

Musik

20

Konst

15

Läsning

25

Vetenskapsklubb

10

Aktivitet	Frekvens	Relativ frekvens
Sport	$30$	$\frac{3 0}{1 0 0} = 0, 3$
Musik	$20$	$\frac{2 0}{1 0 0} = 0, 2$
Konst	$15$	$\frac{1 5}{1 0 0} = 0, 15$
Läsning	$25$	$\frac{2 5}{1 0 0} = 0, 25$
Vetenskapsklubb	$10$	$\frac{1 0}{1 0 0} = 0, 10$

Aktivitet

Frekvens

Relativ frekvens

Sport

30

\frac{3 0}{1 0 0} = 0, 3

Musik

20

\frac{2 0}{1 0 0} = 0, 2

Konst

15

\frac{1 5}{1 0 0} = 0, 15

Läsning

25

\frac{2 5}{1 0 0} = 0, 25

Vetenskapsklubb

10

\frac{1 0}{1 0 0} = 0, 10

Aktivitet	Frekvens	Relativ frekvens	Medelpunktsvinkel
Sport	$30$	$\frac{3 0}{1 0 0} = 0, 3$	$0, 3 \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$
Musik	$20$	$\frac{2 0}{1 0 0} = 0, 2$	$0, 2 \cdot 36 0^{\circ} = 7 2^{\circ}$
Konst	$15$	$\frac{1 5}{1 0 0} = 0, 15$	$0, 15 \cdot 36 0^{\circ} = 5 4^{\circ}$
Läsning	$25$	$\frac{2 5}{1 0 0} = 0, 25$	$0, 25 \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$
Vetenskapsklubb	$10$	$\frac{1 0}{1 0 0} = 0, 10$	$0, 10 \cdot 36 0^{\circ} = 3 6^{\circ}$

Aktivitet

Frekvens

Relativ frekvens

Medelpunktsvinkel

Sport

30

\frac{3 0}{1 0 0} = 0, 3

0, 3 \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}

Musik

20

\frac{2 0}{1 0 0} = 0, 2

0, 2 \cdot 36 0^{\circ} = 7 2^{\circ}

Konst

15

\frac{1 5}{1 0 0} = 0, 15

0, 15 \cdot 36 0^{\circ} = 5 4^{\circ}

Läsning

25

\frac{2 5}{1 0 0} = 0, 25

0, 25 \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

Vetenskapsklubb

10

\frac{1 0}{1 0 0} = 0, 10

0, 10 \cdot 36 0^{\circ} = 3 6^{\circ}

	Växttillväxt
Vecka	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Höjd (in)	$1, 5$	$2, 3$	$4$	$6, 2$	$8$

Växttillväxt

Vecka

1

2

3

4

5

Höjd (in)

1, 5

2, 3

4

6, 2

8

Cirkeldiagrammet visar resultatet av en omröstning på en skola där man frågade eleverna om de ville ha fler vegetariska alternativ i matsalen. Totalt svarade $90$ elever Ja på undersökningen.

Ett cirkeldiagram med ja, nej och vet inte.

Vilken röst vann?

Hur många elever deltog i omröstningen om

29 %

svarade Nej och

26 %

svarade Vet ej?

Hur många elever går på skolan om

40 %

av dem deltog i omröstningen?

I ett cirkeldiagram anger bitarnas storlek hur stora grupperna är. Med ögonmått kan vi se att den blå biten är störst och därför är Ja-rösterna flest.

Vi vet att 29 % svarade Nej och att 26 % svarade Vet ej. Detta måste betyda att 100 % - 29 % - 26 % =45 % svarade Ja. Vi vet att antalet elever som svarade Ja var 90. Sätter vi in detta i andelsformeln kan vi beräkna Det hela.

Totalt svarade 200 elever på undersökningen.

Vi använder återigen andelsformeln för att bestämma antalet elever. Andelen elever som deltog i omröstningen var 40 % och detta utgör 200 av skolans elever. Vi sätter in detta i andelsformeln och löser ut Det hela.

Totalt går det 500 elever på skolan.

I frekvenstabellen syns de fem länder som vunnit flest världsmästerskap i fotboll under perioden $1934 - 2014 .$

Land	VM-titlar
Brasilien	$5$
Tyskland	$4$
Italien	$4$
Andra	$7$

Skissa ett cirkeldiagram som visar frekvenstabellen och beräkna medelpunktsvinklarna.

Frekvenstabellen visar 4 rader så cirkeldiagrammet kommer ha 4 bitar. För att rita cirkeldiagrammet måste vi känna till varje bits medelpunktsvinkel och denna kan beräknas genom att multiplicera andelen vinster för respektive land med 360^(∘).

Andelen vinster

Världsmästerskapet har spelats 5+4+4+7=20 gånger. Genom att dela ländernas antal vinster med 20 kan vi bestämma vinstandelen för varje land.

Land	VM-titlar	Delen/Det hela	Andel
Brasilien	5	5/20	0,25
Tyskland	4	4/20	0,2
Italien	4	4/20	0,2
Andra	7	7/20	0,35

Medelpunktsvinkel

Till sist multiplicerar vi vinstandelen med 360^(∘) för att bestämma medelpunktsvinklarna i cirkeldiagrammet.

Land	Andel	Andel* 360	Vinkel
Brasilien	0,25	0,25* 360^(∘)	90^(∘)
Tyskland	0,2	0,2* 360^(∘)	72^(∘)
Italien	0,2	0,2* 360^(∘)	72^(∘)
Andra	0,35	0,35* 360^(∘)	126^(∘)

Nu kan vi skissa cirkeldiagrammet.

I en skolklass har alla elever mätt sig hos skolsyster. Resultatet visas i ett histogram.

Hur många av eleverna är minst

175 cm

långa?

Hur stor andel av eleverna är minst

160 cm

men kortare än

180 cm ?

Svara i hela procent.

De elever som är minst 175cm långa är de som finns i någon av de tre längdklasserna till höger i histogrammet.

De staplarna har höjderna 2, 1 och 2, vilket ger totalt 5 stycken elever.

Eleverna som var mellan 160 och 180cm kan vi hitta genom att markera de längderna i histogrammet. Det är antalet elever däremellan vi är intresserade av.

Vi tittar på höjden i de markerade staplarna och summerar dem: 5+6+4+2=17. För att hitta andelen behöver vi veta hur många elever det var totalt. Det gör vi genom att summera antal elever i samtliga staplar: 3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 2 + 1 + 2 = 25. Andelen beräknar vi nu genom att dividera delen med det hela.

Andelen elever mellan 160 och 180cm långa är 68 %.

Stapeldiagrammet visar resultatet av en undersökning som gjorts av några elever på samhällsvetenskapliga programmet. Frågan som ställdes var "Har du någon gång läst nyheter på mobilen inne på toaletten"?

Bestäm hur många personer som svarade "Vet ej" med hjälp av diagrammet och nedanstående tabell.

Svar	Ja	Nej	Vet ej
Andel	$0, 5$	$0, 3$	$0, 2$

Den första stapeln kan läsas av exakt till skillnad från de övriga. Den ligger mittemellan 160 och 200, dvs. antalet personer som svarade Ja är 180.

Tittar vi i tabellen ser vi att antalet Ja-svar utgör andelen 0,5 av det totala antalet svar. Vi sätter in dessa värden i andelsformeln och löser ut Det hela.

Totalt sett tillfrågades alltså 360 personer. Från tabellen vet vi hur stor andel övriga svar utgör. Vi använder återigen andelsformeln för att lösa ut Delen: Andelen=Delen/Det hela ⇔ Delen=Andel* Det hela. Med denna formel beräknar vi även antalet personer som svarade Nej respektive Vet ej. Antal Ja-svar var som vi minns 180 st.

Svar	Andel	Andel* Det hela	Delen
Nej	0,3	0,3* 360	108
Vet ej	0,2	0,2* 360	72

Det var alltså 72 personer som svarade Vet ej.

En lärare har antecknat hur många elever som var närvarande under ett antal matematiklektioner. Resultatet visas i linjediagrammet. En av dagarna var alla elever på plats.

Ett diagram som visar antal elever som är närvarande under matematiklektioner.

Hur stor andel av lektionerna hade en närvaro på mindre än

75 % ?

Svara exakt.

En av dagarna var hela klassen närvarande. Det måste vara den dag då flest elever var på plats dvs. på lektion 4.

Den fjärde lektionen var 24 elever närvarande så detta är hela klassen. 75 % kan vi skriva som 0,75 så 75 % av 24 elever är 24* 0,75=18. Hur många av lektionerna hade färre än 18 elever?

På 4 av lektionerna var alltså närvaron mindre än 75 %. Totalt var det 12 lektioner, så andelen blir 4/12=1/3.

Under en månad dokumenterar ett sjukhus vilka blodgrupper som deras blodgivare har.

Blodgrupp	Antal
A	$1232$
B	$282$
AB	$213$
$0$	$1020$

Nästa månad hade

945

blodgivare registrerats som blodgrupp A. Uppskatta hur många som gav blod. Avrunda till närmaste hundratal.

Vi beräknar den relativa frekvensen för de olika blodgrupperna. För att göra detta måste antalet blodgivare först summeras: 1 232+282+213+1 020=2 747. Nu kan den relativa frekvensen beräknas genom att dela antalet givare i blodgrupperna med det totala antalet blodgivare.

Blodgrupp	Antal	Antal/Totalt antal	Relativ frekvens
A	1 232	1 232/2 747	~ 45 %
B	282	282/2 747	~ 10 %
AB	213	213/2 747	~ 8 %
0	1 020	1 020/2 747	~ 37 %

Vi utgår ifrån att andelen i de olika blodgrupperna är samma under påföljande månad. Vi sätter in värdena i formeln för att beräkna den relativa frekvensen och löser ut det totala antalet blodgivare som vi kallar för x.

Antalet blodgivare kan uppskattas till 2 100st.

Tabellen visar antalet inbrott under ett antal år och hur många av dessa som löstes av polisen.

År	Inbrott	Uppklarade fall
$2010$	$7543$	$842$
$2011$	$8217$	$929$
$2012$	$8023$	$899$
$2013$	$8351$	$921$
$2014$	$11974$	$910$
$2015$	$10803$	$x$

Under ett år strejkade vissa polisstationer i landet. Vilket år tror du det var?

Uppskatta antalet uppklarade fall under

2015 .

Avrunda till närmaste tiotal.

Vi jämför den relativa frekvensen för antalet uppklarade inbrott under åren. Om den är onormalt låg under något år kan det signalera en strejksituation.

År	Inbrott	Uppklarade fall	Uppklarade fall/Inbrott	Relativ frekvens
2010	7 543	842	842/7 543	~ 11.2 %
2011	8 217	929	929/8 217	~ 11.3 %
2012	8 023	899	899/8 023	~ 11.2 %
2013	8 351	921	921/8 351	~ 11 %
2014	11 974	910	910/11 974	~ 7.6 %

Den relativa frekvensen för uppklarade fall är runt 11 % från 2011 till 2013. År 2014 sjunker den dock till ~ 7.6 % vilket kan vara konsekvenserna av en strejk.

Vi förutsätter att det inte strejkas under 2015. Eftersom den relativa andelen lösta inbrott var runt 11 % borde den även vara runt det vid 2015. Mest rättvist blir det att beräkna medelvärdet av tidigare års relativa frekvenser (utom2014).

När vi vet medelvärdet av de relativa frekvenserna från föregående strejkfria år kan vi uppskatta antalet uppklarade brott, x.

År 2015 klarades uppskattningsvis 1 210 brott upp.

Statistik och diagram

Förkunskaper

Statistik

Frekvenstabell

Gör en frekvenstabell

Svar

Ledtråd

Lösning

Cirkeldiagram

Rita ett cirkeldiagram

Stolp- och stapeldiagram

Tolka stapeldiagrammet

Ledtråd

Lösning

Linjediagram

Tolka linjediagrammet

Ledtråd

Lösning

Histogram

Andelen vinster

Medelpunktsvinkel

Statistik och diagram

Rekommenderade uppgifter

	11 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.