body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

2. Spridningsmått

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 6

2.

Spridningsmått

Innehållet handlar om spridningsmått, särskilt variationsbredd och standardavvikelse, som är centrala begrepp inom statistik. Den tar upp exempel som att mäta felklippning av konfetti och förseningar i ankomsttider för att illustrera hur man kan beräkna variationsbredden. Variationsbredd definieras som skillnaden mellan undersökningens största och minsta värde. Sidan förklarar hur man kan beräkna variationsbredden genom att använda de största och minsta värdena i en given datauppsättning. Detta är användbart för att förstå hur data sprids och ger insikt i den statistiska analysen. Mathleaks erbjuder en digital plattform som gör det enkelt att studera dessa koncept online.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Spridningsmått

Sida av 8

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Spridningsmått
Variationsbredd
Standardavvikelse

Förkunskaper

Datamängd

Koncept

Spridningsmått

Värden från en undersökning kan fördela sig på olika sätt – de kan t.ex. ligga centrerade runt medelvärdet eller långt ifrån det. Detta illustreras av de två mängderna nedan, som båda har medelvärdet, medianen och typvärdet 3, men där värdena i den nedre är betydligt mer utspridda.

Ett lägesmått säger något om var tyngdpunkten ligger, men inte om hur mätvärdena sprider ut sig. Då använder man istället spridningsmått, t.ex. standardavvikelse och variationsbredd.

Koncept

Variationsbredd

Variationsbredd är ett spridningsmått som mäter skillnaden mellan det högsta och det lägsta värdet i datamängden.

Random data sets with maximum, minimum highlighted and the range calculated.

Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS 2016 fick följande resultat. Längderna är i meter.6,95 7,15 7,08 6,79 6,74 6,81. Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Bestäm det största och det minsta värdet i datamängden. Subtrahera det minsta värdet från det största.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Det längsta hoppet var 7,15 meter och det kortaste var 6,74 meter. Det ger variationsbredden7,15-6,74=0,41 meter.

Regel

Standardavvikelse

Standardavvikelse är ett av de vanligare spridningsmåtten och kan något förenklat ses som den genomsnittliga skillnaden från medelvärdet. För ett stickprov betecknas den s. Ett litet värde på s innebär att mätvärdena är samlade nära medelvärdet och ett större s betyder att de är mer utspridda.

s=sqrt((x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_n-x)^2/n-1)

x är stickprovets medelvärde, x : en med index 1, 2, 3 osv. är de enskilda mätvärdena och n är antalet mätvärden. Varje parentes står alltså för skillnaden mellan ett mätvärde och medelvärdet. I figuren visas skillnaderna -2 och 3 mellan medelvärdet x och två värden x_1 och x_2.

För att använda formeln kan man dela upp beräkningarna i steg.

Beräkna medelvärdet, x.
Beräkna skillnaderna (x_1-x), (x_2-x) osv., kvadrera och summera dem.
Sätt in summan i formeln tillsammans med antal värden n, och dra kvadratroten ur allt.

Det blir snabbt väldigt tidsödande att beräkna standardavvikelser när antalet värden ökar, så ofta är det praktiskt att göra beräkningarna med hjälp av en dator eller räknare.

Exempel

Vad är standardavvikelsen?

Laget Friska fläktar har tävlat i en femkamp där varje lagmedlem kan samla ihop mellan 0 och 5 poäng till laget. De fem lagmedlemmarna har fått följande resultat: 0, 1, 4, 5, 5. Bestäm lagets medelpoäng och standardavvikelse utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

Ledtråd

Använd formeln för standardavvikelsen för en datamängd.

Lösning

För att beräkna standardavvikelsen måste vi först beräkna medelvärdet: x=0+1+4+5+5/5=3. När vi vet medelvärdet subtraherar vi varje poäng från medelvärdet, kvadrera resultatet och summerar kvadraterna. I formeln för standardavvikelse motsvarar detta att beräkna täljaren (x_1-x)^2+(x_2-x)^2 + ... + (x_n-x)^2. De olika x : en står i vårt fall för de olika poängen. Vi låter x_1=0, x_2=1, x_3=4, x_4=5 och x_5=5.

(x_1-x)^2+(x_2-x)^2 + ... + (x_n-x)^2

x= 3

(x_1- 3)^2+(x_2- 3)^2+(x_3- 3)^2+(x_4- 3)^2+(x_5- 3)^2

SubstituteValues

Sätt in värden

(0-3)^2+(1-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2

Subtrahera termerna

(-3)^2+(-2)^2+1^2+2^2+2^2

Beräkna potens

9+4+1+4+4

Addera termerna

22

Nu slutför vi beräkningen genom att sätta in 22 i täljaren i formeln. Antal värden n är 5 st. Glöm inte att vänta med att dra roten ur till sist.

s=sqrt((x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_n-x)^2/n-1)

SubstituteValues

Sätt in värden

s=sqrt(22/5-1)

Subtrahera term

s=sqrt(22/4)

Slå in på räknare

s = 2,34520 ...

Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar

s = 2,3

Friska fläktars medelpoäng var 3 poäng och deras standardavvikelse var 2,3 poäng. Det sista kan vi tolka som att den genomsnittliga skillnaden från medelpoängen var 2,3.

Digitala verktyg

Beräkna standardavvikelse med räknare

För att bestämma standardavvikelse för en datamängd med räknaren måste man först spara värdena i en lista. På räknaren trycker man på knappen STAT och därefter väljer man Edit.

Observationerna skrivs in i någon av listorna.

När man sparat värdena trycker man på STAT igen och byter till CALC-menyn med piltangenterna. Välj därefter det första alternativet i listan, dvs. 1-Var Stats.

Genom att trycka på ENTER igen bestämmer räknaren bl.a. standardavvikelsen för datamängden. Om man sparat värdena i någon annan lista, t.ex. L3, väljer man den genom att trycka 2nd + 3 innan man trycker på ENTER igen.

Standardavvikelsen för stickprov är det fjärde värdet i listan, dvs. Sx=31,6227766. Om standaravvikelsen beräknas för en hel population använder man listans femte värde, dvs. σ x=28,28427125.

Övning

Undersöker standardavvikelsen i histogram

Följande applet visar stapeldiagram för två datamängder. Flytta reglaget för att undersöka datamängderna separat. Svara sedan på de givna frågorna baserat på visuella observationer.

slumpmässiga stapeldiagram för två datamängder

Spridningsmått

Uppgift 3.1

En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt. Längden på varje delsträcka måste vara större än noll.

Är det möjligt att göra en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas längder blir 12,5 cm?

Nationella provet VT11 MaB

Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar de fem delsträckornas längder.

Nationella provet VT11 MaB

Variationsbredden av en mängd värden är det största värdet minus det minsta, vilket innebär att skillnaden mellan den längsta och kortaste delsträckan ska vara 12,5 cm. Vi får välja längden på delsträckorna så vi kan exempelvis låta den kortaste vara 0,2 cm. Det medför att den längsta delsträckan måste vara 0,2 + 12,5 = 12,7cm. Valet är dock inte helt fritt eftersom vi vet att summan av sträckorna måste vara 15 cm. Det måste även finnas tillräckligt mycket längd över till de tre andra sträckorna så att de kan vara längre än den kortaste. Om man väljer 0,2 cm och 12,7 cm till två av sträckorna blir det 15 - 0,2 - 12,7 = 2,1 cm över till de tre andra. Vi kan fördela denna längd hur vi vill på dessa tre sträckor, så länge ingen av dem blir kortare än 0,2 cm. Vi kan t.ex. fördela dem jämt och låta alla tre vara 0,7 cm, eller låta en vara 0,6, den andra 0,7 cm och den tredje 0,8 cm. Ett exempel på en lösning är alltså 0,2cm 0,6cm 0,7cm 0,8cm 12,7cm. Skulle man rita ut detta på sträckan AB får man följande indelning. Ordningen på sträckorna spelar ingen roll, bara deras längder.

Vi vill nu undersöka vad den största och minsta variationsbredden för indelningen kan vara. Om alla sträckor är lika långa blir variationsbredden 0 eftersom det inte är någon skillnad på det största och minsta värdet. Variationsbredden kan inte vara mindre än noll, så det måste vara den undre gränsen. Det sker när sträckorna har längden 155 = 3 cm.

Den största variationsbredden skulle vi få om en sträcka är 15 cm och de övriga är 0 cm. Men alla sträckor måste vara större än noll, så den längsta sträckan måste vara mindre än 15 och de övriga bitarna kan vara mycket korta men inte 0.

Därför måste även variationsbredden vara mindre än 15 cm. Variationsbredden kommer alltså ligga i intervallet 0cm≤ variationsbredd<15cm. Det vill säga, den är minst 0 cm och mindre än 15 cm.

Bestäm standardavvikelsen för fem på varandra följande heltal.

Vi vet inte vilka de fem heltalen är. Därför kallar vi det mittersta talet för x. De två mindre heltalen blir då x-1 och x-2, och de två större blir x+1 och x+2. Vi börjar med medelvärdet.

Medelvärdet är alltså x. Vi börjar med att beräkna täljaren i formeln för standardavvikelse.

Täljaren blir alltså 10. Vi sätter in det i formeln för standardavvikelse. Det finns fem värden så n=5.

Oavsett vad x är blir alltså standardavvikelsen sqrt(10)2.

Vad blir standardavvikelsen för n (n>1) stycken lika stora tal? Motivera med beräkningar.

Vi vet inte vilka talen är eller hur många de är, men eftersom de ska vara lika stora kan vi kalla dem för samma sak, t.ex. x. Medelvärdet kan då skrivas x=x+x+x+...+x/n. Summan i täljaren består av n stycken x. Vi kan därför skriva om den som n* x på samma sätt som man t.ex. kan skriva 5+5+5 som 3*5.

Medelvärdet är alltså x. När vi sätter in det i formeln för standardavvikelse kommer täljaren att bli en summa som består av n stycken termer där alla är (x-x)^2. Men eftersom x är x kommer alla termer bli (x-x)^2 dvs. 0^2. Det blir alltså en summa där alla termer är 0, så summan blir också 0.

Vi vet inte vad n är, men det spelar ingen roll eftersom ett bråk med täljaren 0 altid blir 0, så länge nämnaren inte är 0.

Standardavvikelsen blir alltså 0. Eftersom alla tal är lika stora sprider de inte ut sig alls och det är därför rimligt att standardavvikelsen blir 0.

För fem olika positiva heltal är medianen 16 och medelvärdet 13. Vad är den största variationsbredden talen kan ha?

Vi kallar talen, i stigande ordning, för a, b, c, d och e. Medianen är c, så c=16. Vi ställer upp ett uttryck för medelvärdet som är 13.

För att medelvärdet ska bli 13 måste alltså summan av a, b, d och e vara 49. Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta talet, dvs. e-a. För att den ska bli så stor som möjligt ska e vara så stor som möjligt och a så litet som möjligt. Eftersom talen är positiva heltal kan a inte vara mindre än 1. Då har vi 1 b 16 d e. Vad är det största värdet e kan ha? Det kan inte vara hur stort som helst eftersom summan av a, b, d och e måste bli 49. Talet e blir därför så stort som möjligt när de andra är så små som möjligt. b måste vara större än 1 så det kan minst vara 2, och d måste vara större än 16 så det är minst 17: 1 2 16 17 e. Nu kan vi beräkna vad e blir.

Den största variationsbredden får man alltså om a=1 och e=29 och då blir den e-a=29-1=28. Den största variationsbredden man kan få är 28.

Spridningsmått

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y