Spridningsmått

Variationsbredden av en mängd värden är det största värdet minus det minsta, vilket innebär att skillnaden mellan den längsta och kortaste delsträckan ska vara 12.5 cm. Vi får välja längden på delsträckorna så vi kan exempelvis låta den kortaste vara 0.2 cm. Det medför att den längsta delsträckan måste vara 0.2 + 12.5 = 12.7cm. Valet är dock inte helt fritt eftersom vi vet att summan av sträckorna måste vara 15 cm. Det måste även finnas tillräckligt mycket längd över till de tre andra sträckorna så att de kan vara längre än den kortaste. Om man väljer 0.2 cm och 12.7 cm till två av sträckorna blir det 15 - 0.2 - 12.7 = 2.1 cm över till de tre andra. Vi kan fördela denna längd hur vi vill på dessa tre sträckor, så länge ingen av dem blir kortare än 0.2 cm. Vi kan t.ex. fördela dem jämt och låta alla tre vara 0.7 cm, eller låta en vara 0.6, den andra 0.7 cm och den tredje 0.8 cm. Ett exempel på en lösning är alltså 0.2cm 0.6cm 0.7cm 0.8cm 12.7cm. Skulle man rita ut detta på sträckan AB får man följande indelning. Ordningen på sträckorna spelar ingen roll, bara deras längder.

Vi vill nu undersöka vad den största och minsta variationsbredden för indelningen kan vara. Om alla sträckor är lika långa blir variationsbredden 0 eftersom det inte är någon skillnad på det största och minsta värdet. Variationsbredden kan inte vara mindre än noll, så det måste vara den undre gränsen. Det sker när sträckorna har längden 155 = 3 cm.

Den största variationsbredden skulle vi få om en sträcka är 15 cm och de övriga är 0 cm. Men alla sträckor måste vara större än noll, så den längsta sträckan måste vara mindre än 15 och de övriga bitarna kan vara mycket korta men inte 0.

Därför måste även variationsbredden vara mindre än 15 cm. Variationsbredden kommer alltså ligga i intervallet 0cm≤ variationsbredd<15cm. Det vill säga, den är minst 0 cm och mindre än 15 cm.

Vi vet inte vilka de fem heltalen är. Därför kallar vi det mittersta talet för x. De två mindre heltalen blir då x-1 och x-2, och de två större blir x+1 och x+2. Vi börjar med medelvärdet.

Medelvärdet är alltså x. Vi börjar med att beräkna täljaren i formeln för standardavvikelse.

Täljaren blir alltså 10. Vi sätter in det i formeln för standardavvikelse. Det finns fem värden så n=5.

Oavsett vad x är blir alltså standardavvikelsen sqrt(10)2.

Vi vet inte vilka talen är eller hur många de är, men eftersom de ska vara lika stora kan vi kalla dem för samma sak, t.ex. x. Medelvärdet kan då skrivas x=x+x+x+...+x/n. Summan i täljaren består av n stycken x. Vi kan därför skriva om den som n* x på samma sätt som man t.ex. kan skriva 5+5+5 som 3*5.

Medelvärdet är alltså x. När vi sätter in det i formeln för standardavvikelse kommer täljaren att bli en summa som består av n stycken termer där alla är (x-x)^2. Men eftersom x är x kommer alla termer bli (x-x)^2 dvs. 0^2. Det blir alltså en summa där alla termer är 0, så summan blir också 0.

Vi vet inte vad n är, men det spelar ingen roll eftersom ett bråk med täljaren 0 altid blir 0, så länge nämnaren inte är 0.

Standardavvikelsen blir alltså 0. Eftersom alla tal är lika stora sprider de inte ut sig alls och det är därför rimligt att standardavvikelsen blir 0.