Spridningsmått: Variationsbredd och stickprov

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Värden från en undersökning kan fördela sig på olika sätt – de kan t.ex. ligga centrerade runt medelvärdet eller långt ifrån det. Detta illustreras av de två mängderna nedan, som båda har medelvärdet, medianen och typvärdet $3,$ men där värdena i den nedre är betydligt mer utspridda.

Ett lägesmått säger något om var tyngdpunkten ligger, men inte om hur mätvärdena sprider ut sig. Då använder man istället spridningsmått, t.ex. standardavvikelse och variationsbredd.

Regel

Variationsbredd

Ett sätt att mäta spridningen är att beräkna skillnaden mellan det största och minsta värdet. Detta mått kallas variationsbredd. Det beräknas genom att subtrahera det minsta värdet från det största.

$Variationsbredd = St \ddot{o} rsta v \ddot{a} rde - Minsta v \ddot{a} rde$

Vad är variationsbredden?

fullscreen

Damernas längdhoppsfinal i OS 2016 fick följande resultat. Längderna är i meter.

6.957.157.086.796.746.81 .

Vad är variationsbredden?

Visa Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Det längsta hoppet var 7.15 meter och det kortaste var 6.74 meter. Det ger variationsbredden

7.15 - 6.74 = 0.41 meter .

Regel

Standardavvikelse

Standardavvikelse är ett av de vanligare spridningsmåtten och kan något förenklat ses som den genomsnittliga skillnaden från medelvärdet. För ett stickprov betecknas den $s .$ Ett litet värde på $s$ innebär att mätvärdena är samlade nära medelvärdet och ett större $s$ betyder att de är mer utspridda.

$s = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$

$\overset{x}{ˉ}$ är stickprovets medelvärde, $x$ :en med index $1, 2, 3$ osv. är de enskilda mätvärdena och $n$ är antalet mätvärden. Varje parentes står alltså för skillnaden mellan ett mätvärde och medelvärdet. I figuren visas skillnaderna $- 2$ och $3$ mellan medelvärdet $\overset{x}{ˉ}$ och två värden $x_{1}$ och $x_{2} .$

Tallinje med avstånd mellan medelvärdet och två andra värden

För att använda formeln kan man dela upp beräkningarna i steg.

Beräkna medelvärdet, $\overset{x}{ˉ} .$
Beräkna skillnaderna $(x_{1} - \overset{x}{ˉ}),$ $(x_{2} - \overset{x}{ˉ})$ osv., kvadrera och summera dem.
Sätt in summan i formeln tillsammans med antal värden $n,$ och dra kvadratroten ur allt.

Det blir snabbt väldigt tidsödande att beräkna standardavvikelser när antalet värden ökar, så ofta är det praktiskt att göra beräkningarna med hjälp av en dator eller räknare.

Vad är standardavvikelsen?

fullscreen

Laget "Friska fläktar" har tävlat i en femkamp där varje lagmedlem kan samla ihop mellan

0

och

5

poäng till laget. De fem lagmedlemmarna har fått följande resultat:

0, 1, 4, 5, 5 .

Bestäm lagets medelpoäng och standardavvikelse utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

Visa Lösning

För att beräkna standardavvikelsen måste vi först beräkna medelvärdet:

\overset{x}{ˉ} = \frac{0 + 1 + 4 + 5 + 5}{5} = 3 .

När vi vet medelvärdet subtraherar vi varje poäng från medelvärdet, kvadrera resultatet och summerar kvadraterna. I formeln för standardavvikelse motsvarar detta att beräkna täljaren

(x_{1} - \overset{x}{ˉ})^{2} + (x_{2} - \overset{x}{ˉ})^{2} + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ})^{2} .

De olika

x

:en står i vårt fall för de olika poängen. Vi låter

x_{1} = 0,

x_{2} = 1,

x_{3} = 4,

x_{4} = 5

och

x_{5} = 5 .

(x_{1} - \overset{x}{ˉ})^{2} + (x_{2} - \overset{x}{ˉ})^{2} + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ})^{2}

Substitute

$\overset{x}{ˉ} = 3$

(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} + (x_{4} - 3)^{2} + (x_{5} - 3)^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

(0 - 3)^{2} + (1 - 3)^{2} + (4 - 3)^{2} + (5 - 3)^{2} + (5 - 3)^{2}

SubTerms

Subtrahera termer

(- 3)^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 2^{2}

CalcPow

Beräkna potens

9 + 4 + 1 + 4 + 4

AddTerms

Addera termer

22

Nu slutför vi beräkningen genom att sätta in

22

i täljaren i formeln. Antal värden

n

är 5 st. Glöm inte att vänta med att dra roten ur till sist.

s = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

s = \frac{2 2}{5 - 1}

SubTerm

Subtrahera term

s = \frac{2 2}{4}

UseCalc

Slå in på räknare

s = 2.34520 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

s = 2.3

Friska fläktars medelpoäng var $3$ poäng och deras standardavvikelse var $2.3$ poäng. Det sista kan vi tolka som att den genomsnittliga skillnaden från medelpoängen var $2.3 .$

Digitala verktyg

Beräkna standardavvikelse med räknare

För att bestämma standardavvikelse för en datamängd med räknaren måste man först spara värdena i en lista. På räknaren trycker man på knappen STAT och därefter väljer man Edit.

Observationerna skrivs in i någon av listorna.

När man sparat värdena trycker man på STAT igen och byter till CALC-menyn med piltangenterna. Välj därefter det första alternativet i listan, dvs. 1-Var Stats.

Genom att trycka på ENTER igen bestämmer räknaren bl.a. standardavvikelsen för datamängden. Om man sparat värdena i någon annan lista, t.ex. L3, väljer man den genom att trycka 2nd + 3 innan man trycker på ENTER igen.

Standardavvikelsen för stickprov är det fjärde värdet i listan, dvs.

S x = 31.6227766 .

Om standaravvikelsen beräknas för en hel population använder man listans femte värde, dvs.

σ x = 28.28427125 .

{{ article.displayTitle }}

Mathleaks

Variationsbredd

Exempel

Vad är variationsbredden?

Standardavvikelse

Exempel

Vad är standardavvikelsen?

Beräkna standardavvikelse med räknare

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}