Spridningsmått

Här kommer vi se hur standardavvikelsen kan bestämmas genom att använda formeln för standardavvikelse. Det är dock också möjligt att använda räknarens verktyg för att beräkna standardavvikelse. Men som sagt, här gör vi det för hand och börjar då med att beräkna medelvärdet av sedlarnas vikt.

Medelvärdet är alltså 0.8 g. Vi sätter in det i formeln för standardavvikelse.

Standardavvikelsen är alltså 0.043 g. Medelvärdet blir rätt, men standardavvikelsen är lite för stor, så maskinen är inte tillräckligt bra.

Vi kallar talen x_1, x_2 och x_3 där x_1 är minst och x_3 är störst. När man adderar 4 till alla tal får man x_1+4, x_2+4 och x_3+4. Variationsbredden är det största minus det minsta talet dvs. x_3-x_1. När man har adderat 4 till alla blir den nya variationsbredden (x_3+4)-(x_1+4)=x_3+4-x_1-4=x_3-x_1. Den nya variationsbredden blir också x_3-x_1, dvs. den ändras inte.

Vi använder samma beteckningar som i deluppgift A. Vi börjar med att ta fram det gamla medelvärdet som vi kan beteckna x_g. Det finns tre tal så medelvärdet blir x_g=x_1+x_2+x_3/3. Vi lägger till 4 till alla och beräknar det nya medelvärdet, x_n.

Titta på bråket i högerledet. Det är ju medelvärdet av ursprungsvärdena dvs. x_g.

Det nya medelvärdet blir alltså 4 större än det gamla.

Med hjälp av de beteckningar för talen som vi använt förut ställer upp standardavvikelsen för ursprungstalen. Det finns tre tal så nämnaren blir 3-1=2: s_g=sqrt((x_1-x_g)^2+(x_2-x_g)^2+(x_3-x_g)^2/2). I den nya standardavvikelsen ökar alla mätvärden med 4, men det gör också medelvärdet. Vi måste alltså komma ihåg att använda det nya medelvärdet x_n=x_g+4.

Detta är ju samma uttryck för standardavvikelsen vi hade från början. Den ändras alltså inte.

Medelvärdet ökade med 4. Det är ganska rimligt eftersom alla värden förskjuts 4 steg till höger på en tallinje. Men eftersom alla värden förskjuts lika mycket sprider de ut sig på samma sätt och därför bör spridningsmåtten variationsbredd och standardavvikelse inte förändras.

Det är möjligt att räkna ut medelvärde och standardavvikelserna med räknarens inbyggda verktyg för detta, här nedan gör vi det dock utan detta verktyg. Vi börjar med de som fick extra rast.

Medelvärdet var 30.75. Vi sätter nu in värdena i formeln för standardavvikelse, och börjar med täljaren.

Nu slutför vi beräkningen genom att sätta in 14.75 i täljaren i formeln.

Medelvärdet var alltså 30.75 minuter och standardavvikelsen ca 2.2 min för de som fick extra rast.

Vi gör på motsvarande sätt för stickprovet där man fick sluta tidigare.

Vi sätter nu in 26.5 i täljaren för formeln för standardavvikelse.

Vi sätter in 69 i täljaren i formeln.

De som fick sluta tidigare tillverkade en enhet på i snitt 26.5 min med en standardavvikelse på 4.8 min.

Vi börjar med medelvärdet.

Vi sätter in medelvärdet och datapunkterna i formelns täljare och förenklar.

Nu sätter vi in 46 och antal värden som är 5 st.

Standardavvikelsen är ungefär 3.4.

Vi har redan beräknat medelvärdet till x=6. Vi sätter in det tillsammans med värdena i Ragnars formel.

Enligt Ragnars metod är spridningen 0.

Eftersom man i formeln för standardavvikelse tar skillnaderna (x-x) i kvadrat blir de alltid positiva, så när de adderas adderar vi endast positiva tal. Exempelvis om medelvärdet är 6 summeras skillnaderna från värdena 4 och 8 som (-2)^2+2^2=4+4=8. I Ragnars metod adderar vi både positiva och negativa skillnader, vilket innebär att summan av samma avvikelser kommer att bli -2+2=0, vilket gör att det felaktigt ser ut som att talen 4 och 8 inte avviker från medelvärdet. Det gör att metoden är oanvändbar för att beräkna spridning.

Variationsbredden för båda rummen är skillnaden mellan den äldsta och den yngsta kattens åldrar för alla fjorton katter. För att maximera skillnaden vill vi att katterna i det ena rummet ska vara så gamla som möjligt och katterna i det andra rummet så unga som möjligt.

Äldsta möjliga rum

Medianen måste vara 5, och om vi vill att katternas ska vara så gamla som möjligt får ingen vara yngre än så. Därför låter vi fyra av katterna, alltså de som hamnar under medianen, vara 5 år gamla. Eftersom variationsbredden i rummet ska vara 6 år måste då den äldsta katten bli 5+6=11 år.

Det spelar ingen roll vad de två sista åldrarna är, så länge de ligger mellan 5 och 11.

Yngsta möjliga rum

"Mediankatten" är fortfarande 5 år i det här rummet. För att minimera åldrarna skulle vi vilja att de fyra äldsta katterna är 5 år gamla. Men då kan variationsbredden inte bli 6 år eftersom minst en katt då skulle behöva vara -1 år. Därför låter vi den yngsta katten vara 0 år och den äldsta 6.

Det spelar ingen roll hur gamla de övriga katterna är.

Total variationsbredd

Den äldsta möjliga katten kan alltså vara 11 år och yngsta möjliga 0 år. För katterna i båda rummen blir då den totala variationsbredden 11-0=11 år.

Det enda man har fått reda på är de maximala bredbandshastigheterna. Man vet ingenting om deras lägsta hastighet. Låt säga att att INTERNET2000 har en minimihastighet på 25 Mbit/s, medan SURFA har minst 90 Mbit/s. Då varierar SURFA mellan 90 och 100 Mbit/s medan INTERNET2000 varierar mellan 25 och 125 Mbit/s.

Då har INTERNET2000 betydligt större spridning medan SURFA har betydligt mindre. Detta betyder att det är väldigt svårt att avgöra vem som har snabbast internet, eftersom vi inte känner till någonting om variationsbredden, utan endast det maximala värdet för leverantörerna.

Vi kallar talen, i stigande ordning, för a, b, c, d och e. Medianen är c, så c=16. Vi ställer upp ett uttryck för medelvärdet som är 13.

För att medelvärdet ska bli 13 måste alltså summan av a, b, d och e vara 49. Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta talet, dvs. e-a. För att den ska bli så stor som möjligt ska e vara så stor som möjligt och a så litet som möjligt. Eftersom talen är positiva heltal kan a inte vara mindre än 1. Då har vi 1 b 16 d e. Vad är det största värdet e kan ha? Det kan inte vara hur stort som helst eftersom summan av a, b, d och e måste bli 49. Talet e blir därför så stort som möjligt när de andra är så små som möjligt. b måste vara större än 1 så det kan minst vara 2, och d måste vara större än 16 så det är minst 17: 1 2 16 17 e. Nu kan vi beräkna vad e blir.

Den största variationsbredden får man alltså om a=1 och e=29 och då blir den e-a=29-1=28. Den största variationsbredden man kan få är 28.