Spridningsmått

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Värden från en undersökning kan fördela sig på olika sätt – de kan t.ex. ligga centrerade runt medelvärdet eller långt ifrån det. Detta illustreras av de två mängderna nedan, som båda har medelvärdet, medianen och typvärdet 3,3, men där värdena i den nedre är betydligt mer utspridda.

Datamängder med olika spridning
Ett lägesmått säger något om var tyngdpunkten ligger, men inte om hur mätvärdena sprider ut sig. Då använder man istället spridningsmått, t.ex. standardavvikelse och variationsbredd.
Regel

Variationsbredd

Ett sätt att mäta spridningen är att beräkna skillnaden mellan det största och minsta värdet. Detta mått kallas variationsbredd. Det beräknas genom att subtrahera det minsta värdet från det största.

Variationsbredd=Strsta vrdeo¨a¨Minsta vrdea¨\text{Variationsbredd}=\text{Största värde}-\text{Minsta värde}

Uppgift

Damernas längdhoppsfinal i OS 2016 fick följande resultat. Längderna är i meter.6.95   7.15   7.08   6.79   6.74   6.81.\begin{aligned} 6.95 \ \ \ 7.15 \ \ \ 7.08 \ \ \ 6.79 \ \ \ 6.74 \ \ \ 6.81. \end{aligned} Vad är variationsbredden?

Lösning
Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.
Värdemängd med det största och minsta värdet markerade

Det längsta hoppet var 7.15 meter och det kortaste var 6.74 meter. Det ger variationsbredden7.156.74=0.41 meter. 7.15-6.74=0.41 \text{ meter.}

Visa lösning Visa lösning
Regel

Standardavvikelse

Standardavvikelse är ett av de vanligare spridningsmåtten och kan något förenklat ses som den genomsnittliga skillnaden från medelvärdet. För ett stickprov betecknas den s.s. Ett litet värde på ss innebär att mätvärdena är samlade nära medelvärdet och ett större ss betyder att de är mer utspridda.

s=(x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2n1s=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}}

xˉ\bar{x} är stickprovets medelvärde, xx:en med index 1,2,31, \, 2, \, 3 osv. är de enskilda mätvärdena och nn är antalet mätvärden. Varje parentes står alltså för skillnaden mellan ett mätvärde och medelvärdet. I figuren visas skillnaderna -2\text{-}2 och 33 mellan medelvärdet xˉ\bar{x} och två värden x1x_1 och x2.x_2.

Tallinje med avstånd mellan medelvärdet och två andra värden

För att använda formeln kan man dela upp beräkningarna i steg.

  1. Beräkna medelvärdet, xˉ.\bar{x}.
  2. Beräkna skillnaderna (x1xˉ),(x_1-\bar{x}), (x2xˉ)(x_2-\bar{x}) osv., kvadrera och summera dem.
  3. Sätt in summan i formeln tillsammans med antal värden n,n, och dra kvadratroten ur allt.
Det blir snabbt väldigt tidsödande att beräkna standardavvikelser när antalet värden ökar, så ofta är det praktiskt att göra beräkningarna med hjälp av en dator eller räknare.
Uppgift

Laget "Friska fläktar" har tävlat i en femkamp där varje lagmedlem kan samla ihop mellan 00 och 55 poäng till laget. De fem lagmedlemmarna har fått följande resultat: 0, 1, 4, 5, 5. 0, \ 1, \ 4, \ 5, \ 5. Bestäm lagets medelpoäng och standardavvikelse utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

Lösning
För att beräkna standardavvikelsen måste vi först beräkna medelvärdet: xˉ=0+1+4+5+55=3. \bar{x}=\dfrac{0+1+4+5+5}{5}=3. När vi vet medelvärdet subtraherar vi varje poäng från medelvärdet, kvadrera resultatet och summerar kvadraterna. I formeln för standardavvikelse motsvarar detta att beräkna täljaren (x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2. (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2 + \ldots + (x_n-\bar{x})^2. De olika xx:en står i vårt fall för de olika poängen. Vi låter x1=0,x_1=0, x2=1,x_2=1, x3=4,x_3=4, x4=5x_4=5 och x5=5.x_5=5.
(x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2 + \ldots + (x_n-\bar{x})^2
(x13)2+(x23)2+(x33)2+(x43)2+(x53)2(x_1-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_2-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_3-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_4-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_5-{\color{#0000FF}{3}})^2
(03)2+(13)2+(43)2+(53)2+(53)2(0-3)^2+(1-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2
(-3)2+(-2)2+12+22+22(\text{-}3)^2+(\text{-}2)^2+1^2+2^2+2^2
9+4+1+4+49+4+1+4+4
2222
Nu slutför vi beräkningen genom att sätta in 2222 i täljaren i formeln. Antal värden nn är 5 st. Glöm inte att vänta med att dra roten ur till sist.
s=(x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2n1s=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}}
s=2251s=\sqrt{\dfrac{22}{5-1}}
s=224s=\sqrt{\dfrac{22}{4}}
s=2.34520s = 2.34520 \ldots
s=2.3s = 2.3

Friska fläktars medelpoäng var 33 poäng och deras standardavvikelse var 2.32.3 poäng. Det sista kan vi tolka som att den genomsnittliga skillnaden från medelpoängen var 2.3.2.3.

Visa lösning Visa lösning

För att bestämma standardavvikelse för en datamängd med räknaren måste man först spara värdena i en lista. På räknaren trycker man på knappen STAT och därefter väljer man Edit.

Observationerna skrivs in i någon av listorna.

När man sparat värdena trycker man på STAT igen och byter till CALC-menyn med piltangenterna. Välj därefter det första alternativet i listan, dvs. 1-Var Stats.

Genom att trycka på ENTER igen bestämmer räknaren bl.a. standardavvikelsen för datamängden. Om man sparat värdena i någon annan lista, t.ex. L3, väljer man den genom att trycka 2nd + 3 innan man trycker på ENTER igen.

Standardavvikelsen för stickprov är det fjärde värdet i listan, dvs. Sx=31.6227766.Sx=31.6227766. Om standaravvikelsen beräknas för en hel population använder man listans femte värde, dvs. σx=28.28427125.\sigma x=28.28427125.

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}