Spridningsmått

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Värden från en undersökning kan fördela sig på olika sätt – de kan t.ex. ligga centrerade runt medelvärdet eller långt ifrån det. Detta illustreras av de två mängderna nedan, som båda har medelvärdet, medianen och typvärdet 3,3, men där värdena i den nedre är betydligt mer utspridda.

Datamängder med olika spridning
Ett lägesmått säger något om var tyngdpunkten ligger, men inte om hur mätvärdena sprider ut sig. Då använder man istället spridningsmått, t.ex. standardavvikelse och variationsbredd.
Regel

Variationsbredd

Ett sätt att mäta spridningen är att beräkna skillnaden mellan det största och minsta värdet. Detta mått kallas variationsbredd. Det beräknas genom att subtrahera det minsta värdet från det största.

Variationsbredd=Strsta vrdeo¨a¨Minsta vrdea¨\text{Variationsbredd}=\text{Största värde}-\text{Minsta värde}

Uppgift

Damernas längdhoppsfinal i OS 2016 fick följande resultat. Längderna är i meter.6.95   7.15   7.08   6.79   6.74   6.81.\begin{aligned} 6.95 \ \ \ 7.15 \ \ \ 7.08 \ \ \ 6.79 \ \ \ 6.74 \ \ \ 6.81. \end{aligned} Vad är variationsbredden?

Lösning
Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.
Värdemängd med det största och minsta värdet markerade

Det längsta hoppet var 7.15 meter och det kortaste var 6.74 meter. Det ger variationsbredden7.156.74=0.41 meter. 7.15-6.74=0.41 \text{ meter.}

Visa lösning Visa lösning
Regel

Standardavvikelse

Standardavvikelse är ett av de vanligare spridningsmåtten och kan något förenklat ses som den genomsnittliga skillnaden från medelvärdet. För ett stickprov betecknas den s.s. Ett litet värde på ss innebär att mätvärdena är samlade nära medelvärdet och ett större ss betyder att de är mer utspridda.

s=(x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2n1s=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}}

xˉ\bar{x} är stickprovets medelvärde, xx:en med index 1,2,31, \, 2, \, 3 osv. är de enskilda mätvärdena och nn är antalet mätvärden. Varje parentes står alltså för skillnaden mellan ett mätvärde och medelvärdet. I figuren visas skillnaderna -2\text{-}2 och 33 mellan medelvärdet xˉ\bar{x} och två värden x1x_1 och x2.x_2.

Tallinje med avstånd mellan medelvärdet och två andra värden

För att använda formeln kan man dela upp beräkningarna i steg.

  1. Beräkna medelvärdet, xˉ.\bar{x}.
  2. Beräkna skillnaderna (x1xˉ),(x_1-\bar{x}), (x2xˉ)(x_2-\bar{x}) osv., kvadrera och summera dem.
  3. Sätt in summan i formeln tillsammans med antal värden n,n, och dra kvadratroten ur allt.
Det blir snabbt väldigt tidsödande att beräkna standardavvikelser när antalet värden ökar, så ofta är det praktiskt att göra beräkningarna med hjälp av en dator eller räknare.
Uppgift

Laget "Friska fläktar" har tävlat i en femkamp där varje lagmedlem kan samla ihop mellan 00 och 55 poäng till laget. De fem lagmedlemmarna har fått följande resultat: 0, 1, 4, 5, 5. 0, \ 1, \ 4, \ 5, \ 5. Bestäm lagets medelpoäng och standardavvikelse utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

Lösning
För att beräkna standardavvikelsen måste vi först beräkna medelvärdet: xˉ=0+1+4+5+55=3. \bar{x}=\dfrac{0+1+4+5+5}{5}=3. När vi vet medelvärdet subtraherar vi varje poäng från medelvärdet, kvadrera resultatet och summerar kvadraterna. I formeln för standardavvikelse motsvarar detta att beräkna täljaren (x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2. (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2 + \ldots + (x_n-\bar{x})^2. De olika xx:en står i vårt fall för de olika poängen. Vi låter x1=0,x_1=0, x2=1,x_2=1, x3=4,x_3=4, x4=5x_4=5 och x5=5.x_5=5.
(x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2 + \ldots + (x_n-\bar{x})^2
(x13)2+(x23)2+(x33)2+(x43)2+(x53)2(x_1-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_2-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_3-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_4-{\color{#0000FF}{3}})^2+(x_5-{\color{#0000FF}{3}})^2
(03)2+(13)2+(43)2+(53)2+(53)2(0-3)^2+(1-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2
(-3)2+(-2)2+12+22+22(\text{-}3)^2+(\text{-}2)^2+1^2+2^2+2^2
9+4+1+4+49+4+1+4+4
2222
Nu slutför vi beräkningen genom att sätta in 2222 i täljaren i formeln. Antal värden nn är 5 st. Glöm inte att vänta med att dra roten ur till sist.
s=(x1xˉ)2+(x2xˉ)2++(xnxˉ)2n1s=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}}
s=2251s=\sqrt{\dfrac{22}{5-1}}
s=224s=\sqrt{\dfrac{22}{4}}
s=2.34520s = 2.34520 \ldots
s=2.3s = 2.3

Friska fläktars medelpoäng var 33 poäng och deras standardavvikelse var 2.32.3 poäng. Det sista kan vi tolka som att den genomsnittliga skillnaden från medelpoängen var 2.3.2.3.

Visa lösning Visa lösning

För att bestämma standardavvikelse för en datamängd med räknaren måste man först spara värdena i en lista. På räknaren trycker man på knappen STAT och därefter väljer man Edit.

Observationerna skrivs in i någon av listorna.

När man sparat värdena trycker man på STAT igen och byter till CALC-menyn med piltangenterna. Välj därefter det första alternativet i listan, dvs. 1-Var Stats.

Genom att trycka på ENTER igen bestämmer räknaren bl.a. standardavvikelsen för datamängden. Om man sparat värdena i någon annan lista, t.ex. L3, väljer man den genom att trycka 2nd + 3 innan man trycker på ENTER igen.

Standardavvikelsen för stickprov är det fjärde värdet i listan, dvs. Sx=31.6227766.Sx=31.6227766. Om standaravvikelsen beräknas för en hel population använder man listans femte värde, dvs. σx=28.28427125.\sigma x=28.28427125.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna standardavvikelsen för datamängderna utan räknarens inbyggda statistikverktyg. Kontrollera sedan dina svar med verktyget.


a

8.0, 10, 7.0, 11.8.0, \ 10, \ 7.0, \ 11.

b

2.2, 2.7, 1.5, 2.3, 1.8.2.2, \ 2.7, \ 1.5, \ 2.3, \ 1.8.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Efter 55 omgångar av mobilspelet BerryMaster har prinsessan Elsa fått följande poäng: 40, 65, 50, 40, 55. 40, \ 65, \ 50, \ 40, \ 55.

a

Bestäm Elsas medelvärde.

b

Bestäm standardavvikelsen utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

c

Elsa har aldrig hört talas om standardavvikelse. Hur skulle du förklara för henne hur svaret i b kan tolkas?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På Kanelbullens dag förde två olika cafékedjor i en stad statistik över antal sålda kanelbullar. Kaffehusets olika caféer fick följande statistik för antal sålda bullar: 45,67,20,55,39,66,28. 45, \, 67, \, 20, \, 55, \, 39, \, 66, \, 28. Latterian fick följande statistik: 111,114,102,99,108,105,97. 111, \, 114, \, 102, \, 99, \, 108, \, 105, \, 97. Vilken kedja hade minst variationsbredd?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Charlie räknar antalet godismeloner i de färdigförpackade påsarna han brukar köpa får han väldigt olika resultat. Han vill undersöka spridningen i de exemplar han köper och räknar hur många godismeloner det är i dem.


a

Beräkna standardavvikelsen för antalet godismeloner i de fem påsarna: 38, 45, 31, 43, 53 st. 38, \ 45, \ 31, \ 43, \ 53 \text{ st}.

b

Charlie skriver på Facebook och klagar och företaget lovar att bättra sig. Ett halvår senare köper han fem nya påsar och räknar antalet till: 43, 40, 44, 42, 41 st. 43, \ 40, \ 44, \ 42, \ 41 \text{ st}. Beräkna den nya standardavvikelsen.

c

Baserat på Charlies undersökning, har företaget blivit bättre på att ha ungefär samma antal i påsarna?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två systrar har en fruktodling där de odlar MumboJumbo. Storasystern säger:
- Vad bra vi är! Nästan alla frukter ligger på den optimala vikten 300 g, och spridningen är bara 25 g.
- Du har fel! Spridningen är 90 g, säger lillasystern.
Kan båda systrarna ha rätt? Motivera.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En estetklass har fått i uppgift att klippa konfetti till skolavslutningen. Deras nitiska rektor vill att konfettibitarna ska vara exakt 5050 mm långa och de får en dag på sig. Han kontrollerar dessutom slumpmässigt utvalda bitar både på förmiddagen och eftermiddagen med följande nedslående resultat.

Förmiddag Eftermiddag
Medellängd 5050 mm 5050 mm
Standardavvikelse 44 mm 99 mm
Variationsbredd 1616 mm 2424 mm


a

Hur stor var skillnaden mellan den längsta och kortaste biten på förmiddagen?

b

Vad betyder det att standardavvikelsen var större på eftermiddagen?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En föreläsare i kursen "Så blir du bättre på att komma i tid" tröttnade på att många av hans deltagare kom för sent. Nästa kurstillfälle fördes statistik över de sena ankomsterna. Förseningarna räknades i hela minuter och förseningar under en minut räknades inte. Han fick följande resultat.

Försening (min) Antal
1141-14 9
152915-29 17
304430-44 28
456045-60 1


a

Hur stor kan variationsbredden som mest ha varit?

b

Hur stor kan variationsbredden som minst ha varit?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sedelmaskin tillverkar 5050 kr-sedlar. Deras vikt ska ha ett medelvärde på 0.800.80 gram och standardavvikelsen får som mest vara 0.040.04 g. Vid ett stickprov plockade man ut fem sedlar och vägde dem. De vägde 0.85 g,0.78 g,0.74 g,0.83 goch0.80 g. 0.85\text{ g},\quad 0.78 \text{ g}, \quad 0.74\text{ g}, \quad 0.83\text{ g}\quad \text{och} \quad 0.80 \text{ g.} Baserat på stickprovet, är maskinen tillräckligt bra? Lös uppgiften med eller utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har tre tal. Vad händer med variationsbredd, medelvärde och standardavvikelse om du adderar 44 till alla tal?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en fabrik med 20002000 anställda vill man minska produktionstiden för en viss produkt. Medeltiden är i dagsläget 3737 min. Man tror att den kommer att minska om personalen får bättre villkor. Man låter därför hälften av de anställda få en halvtimme extra rast varje dag och hälften sluta en halvtimme tidigare till samma lön. I en uppföljande stickprovsundersökning efter en tid fick man följande resultat för tillverkningstid/enhet.

Tid/enhet (min)
Extra rast 32,33,28,3032, \, 33, \, 28, \, 30
Sluta tidigare 21,30,24,3121, \, 30, \, 24, \, 31


a

Beräkna medelvärde och standardavvikelse för de två stickproven, antingen utan eller med räknarens inbyggda statistikverktyg.

b

Vilken åtgärd hade bäst effekt enligt undersökningen?

c

Finns det några brister med undersökningen?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ragnar har kommit på ett alternativt sätt att beräkna spridning. Han beräknar skillnaden till medelvärdet, och sedan tar han medelvärdet av skillnaderna: Spridning=(x1xˉ)+(x2xˉ)++(xnxˉ)n. \text{Spridning}=\dfrac{(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+ \ldots +(x_n-\bar{x})}{n}. Han frågar sina kompisar vad de tror om hans idé. De svarar på en skala mellan 11 och 1010 och han får följande resultat: 6, 1, 10, 8, 5. 6, \ 1, \ 10, \ 8, \ 5.

a

Beräkna standardavvikelsen för värdena.

b

Beräkna spridningen med Ragnars metod.

c

Jämför metoderna och förklara varför Ragnars metod inte är användbar.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett katthem har ett antal rum med 77 katter i varje. I ett rum gäller att:

  • katternas medianålder är 55 år,
  • variationsbredden för deras åldrar är 66 år.

När man undersöker åldrarna i ett annat rum på hemmet kommer man fram till att exakt samma sak gäller även där. Hur stor kan variationsbredden för alla fjorton katters åldrar vara som mest?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Laban och Linda har olika internetleverantörer. Labans leverantör INTERNET2000 säger att hastigheten är upp till 125125 Mbit/s och SURFA, Lindas leverantör, har en hastighet som är upp till 100100 Mbit/s. Laban säger att hans Internet är snabbare. Stämmer det?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För fem olika positiva heltal är medianen 1616 och medelvärdet 13.13. Vad är den största variationsbredden talen kan ha?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sträcka ABAB är 1515 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt. Längden på varje delsträcka måste vara större än noll.

15 cm långt snöre
a

Gör en indelning av sträckan ABAB så att variationsbredden för delsträckornas längder blir 12.5 cm.12.5 \text{ cm.}

b

Beroende på hur man delar in sträckan ABAB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar de fem delsträckornas längder.

Nationella provet VT11 MaB
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att standardavvikelsen av fem på varandra följande heltal alltid är 102.\frac{\sqrt{10}}{2}.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad blir standardavvikelsen för nn (n>1n>1) stycken lika stora tal? Motivera med beräkningar.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}