{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Sannolikhet & statistik

Slumpförsök i flera steg


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.

Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Bowl with red and purple marble.svg
Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då 0:
P(lila, om 1:a lila)=0.
Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.

Regel

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse A och B, från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A och B)=P(A)P(B)

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

  • krona i båda kasten
  • klave i båda kasten
  • först krona och sedan klave
  • först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

Sannolikhet for flera slumpforsok 2.svg
För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså 1, med det totala antalet möjliga utfall, 4.
Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet.
Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.

Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

fullscreen

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Visa Lösning expand_more
I en kortlek finns det 52 kort med 13 av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är
Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt 51 kort kvar varav 12 är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader
Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså .

Regel

Addition av sannolikheter

För två händelser, A och B, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A eller B)=P(A)+P(B)

Man kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en 1:a är eftersom det finns 1 gynnsamt utfall av 6 möjliga. För händelsen att antingen slå en 1:a eller en 2:a ökar antalet gynnsamma utfall till 2 så sannolikheten blir

Addition av sannolikheter8326.svg
Genom att dela upp sannolikheten för att slå en 1:a eller 2:a från till kan man se att sambandet gäller. är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att
P(1:a eller 2:a)=P(1:a)+P(2:a).

Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Traddiagram KrKl one.svg

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Traddiagram KrKl two 4a.svg

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Traddiagram 3.svg

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

fullscreen

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 18 och i det andra finns bokstäverna A–H.

Skills Sannoliket beroende handelser II.svg
Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?
Visa Lösning expand_more
Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är 4 av de 8 siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är
På andra hjulet är 6 av de 8 bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är
Skills oberoende twoII.svg
För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:

Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 2:a och en 5:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 2 gynnsamma utfall.

Utfallsmatris Wordlist 3d.svg

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (2 st.) med antal möjliga (36 st.):

arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community