Slumpförsök i flera steg

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Den här sidan innehåller förändringar som inte är märkta för översättning.

Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.
Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Bowl with red and purple marble.svg

Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då 00: P(lila, om 1:a lila)=0. P(\text{lila, om 1:a lila})=0.

Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.
Regel

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse AA och B,B, från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A och B)=P(A)P(B)P(A \text{ och } B) = P(A) \cdot P(B)
Uppgift

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Visa lösning Visa lösning
Regel

Addition av sannolikheter

För två händelser, AA och BB, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)
Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Traddiagram KrKl one.svg

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Traddiagram KrKl two 4a.svg

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Traddiagram 3.svg
Uppgift

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 181-8 och i det andra finns bokstäverna A–H.

Skills Sannoliket beroende handelser II.svg
Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 22:a och en 55:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 22 gynnsamma utfall.

Utfallsmatris Wordlist 3d.svg

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (22 st.) med antal möjliga (3636 st.):

2360.06=6%. \frac{2}{36}\approx0.06=6\,\%.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Du singlar en slant två gånger och låter AA vara händelsen att få en klave i första kastet och BB vara händelsen att få en klave i andra kastet. Är AA och BB beroende eller oberoende händelser?

b

Du drar två strumpor ur en byrålåda som är full av svarta och vita strumpor utan att lägga tillbaka dem. AA är händelsen att dra en svart strumpa första gången och BB är händelsen att dra en svart strumpa andra gången. Är AA och BB beroende eller oberoende händelser?

c

Låt AA vara händelsen att en aktie ökar i värde en dag och BB vara händelsen att aktien ökar dagen efter. Är AA och BB beroende eller oberoende händelser?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Björn skjuter med sin pilbåge är sannolikheten att han träffar målet 0.8. Han skjuter två pilar mot en måltavla.


a

I träddiagrammet är sannolikheterna för Björns första skott, träff (T) och miss (M), utskrivna. Fyll i sannolikheten för det andra skottet.

Exercise844 1 1.svg
b

Vad är sannolikheten att båda skotten träffar.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En fotbollsspelare ska skjuta två straffar. Spelarens målhistorik visar att han brukar sätta 8 av 10 straffar. Hur sannolikt är det att han missar två straffar i rad om man utgår från målstatistiken?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är sannolikheten att få tre klavar när en slant singlas tre gånger? Svara i procent.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Stannis plockar kulor ur en burk med 40 % blå och 60 % gröna kulor. Efter varje dragning lägger han tillbaka kulan som dragits. Utfallen visas i träddiagrammet.

Exercise847 1 1.svg


a

Vad är sannolikheten att Stannis plockar upp två gröna kulor på raken?

b

Vad är sannolikheten att Stannis har fått två olika färger efter två dragningar?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har fyra vanliga tärningar.

Exercise216 5.svg


a

Ange antalet möjliga utfall om du kastar två, tre respektive fyra av tärningarna.

b

Hur många utfall har poängsumman 4 när du kastar två av tärningarna?

c

Beräkna sannolikheten att du slår poängsumman 4 när du kastar två tärningar? Svara i procent.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du kastar två vanliga tärningar.

Exercise221 6.svg

Beräkna sannolikheten för följande händelser.


a

Du slår minst en 3:a.

b

Du slår en udda poängsumma.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två vanliga tärningar kastas.

Exercise217 6.svg


a

Vad är sannolikheten att poängsumman blir 4 eller 9 när du kastar tärningarna?

b

Vilken händelse är mest sannolik, att poängsumman blir 3 eller att poängsumman blir 8?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oskar har köpt fem böcker av Henning Mankell och tre böcker av Stieg Larsson. På semestern vill han pösa vid poolen med ett par av böckerna. Han slänger ner två böcker på måfå i resväskan. Bestäm sannolikheten att båda böcker är skrivna av samma författare.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Petra Forsberg lägger straffar i ishockey är sannolikheten 40 % att hon gör mål. Vad är sannolikheten att Petra gör minst ett mål när hon lägger tre straffar?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Maximilian påstår att det är "helt säkert" att slå minst en etta om man kastar en tärning femton gånger. Stämmer det verkligen? Motivera med beräkningar.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lyckohjulet ger vinst om det hamnar på ett primtal. Vad är sannolikheten att vinna tre gånger i rad?

Exercise238 1.svg
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du ska gå genom skogen hem till din kompis men du vet inte vilken väg du ska ta. Hur stor är sannolikheten att du tar rätt väg genom skogen?

Exercise846 1.svg
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det kostar 55 kr att delta i ett lotteri. Man plockar då två kulor från urnan och vinner summan av beloppen som står på kulorna. Vad är sannolikheten att man minst får tillbaka det man satsat?

Exercise 570 1.svg
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En riddare har lyckats fly från sin fängelsehåla och har vakterna hack i häl. Han springer för sitt liv genom fängelset och kan inte vända om och springa tillbaka eftersom han då möter vakterna. Hur stor sannolikhet är det att riddaren blir fri?

Exercise849 1.svg
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en skål finns 9 kulor: 3 av dem är vita, en är lila och resten är svarta. Wilhelm tar först en kula och sedan tar Josefin en. Besvara följande frågor och ange alla sannolikheter som bråk.


a

Gör ett träddiagram som visar alla utfall och sätt ut sannolikheter.

b

Vad är sannolikheten att de plockar kulor som har samma färg?

c

Vad är sannolikheten att Josefin plockar en lila kula?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två tärningar är skapade så att det är 25 % mer sannolikt att det på två kast blir en sexa i båda kasten än att det blir något annat resultat. Vad är sannolikheten för att få en sexa när en av tärningarna kastas?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De gröna fälten i nedanstående lyckohjul ger vinst.

Exercise239 123.svg

Vinklarna vv är lika stora. Vilken vinkel bör vv vara om sannolikheten för två vinster i rad ska vara 1 %?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en skola finns nio klassrum. Ett klassrum är i genomsnitt upptaget fyra timmar under en tio timmar lång skoldag. Beräkna sannolikheten att minst ett klassrum är upptaget vid en godtycklig tidpunkt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Genen för sjukdomen Rucola finns hos 1%1\,\% av befolkningen. Det finns ett test man kan göra för att ta reda på om man bär på den här genen. Men testet är inte 100 % tillförlitligt. Om man bär på genen är sannolikheten att testet visar rätt 98%98\,\% och om man inte bär på den är sannolikheten att det visar rätt 95 %.

a

Vad är sannolikheten att man får ett positivt resultat om man gör testet?

b

Nisse får positivt på sitt testresultat. Vad är sannolikheten att han bär på genen? Bör han vara orolig?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett kreditkort har en fyrsiffrig kod. En dag när du använder ditt kort kommer du bara ihåg de två första siffrorna. Du bestämmer dig för att gissa de två sista siffrorna men efter tre försök spärras kortet. Hur stor är sannolikheten att kortet inte spärras? Vi förutsätter att du inte provar samma kod två gånger.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I brädspelet "Finans" finns det tolv obligationer numrerade 1-12. Hamnar du på en viss ruta kan du välja att köpa en av dessa. När det blir obligationsdragning slår du två tärningar och du vinner dels om summan av tärningarna matchar ditt obligationsnummer, men även om någon av de individuella tärningarna visar obligationsnumret.

a

Vilken obligation bör du köpa om du vill maximera dina chanser att vinna?

b

Beräkna sannolikheten att obligationen vinner.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är sannolikheten att minst två kollegor på en arbetsplats med 18 anställda fyller år samma dag på året?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag har 560 anställda och gör en undersökning. Hälften svarar på första frågan och hälften på den andra.

  1. Är du född på en måndag-torsdag?
  2. Tycker du om att titta på fotboll?

288 personer svarade Nej. Hur många på företaget kan man anta tycker om att titta på fotboll?

3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett lyckohjul har två olika stora fält. Du får snurra det tre gånger. Du vinner 11 miljon om lyckohjulet stannar på ett blått fält alla tre gångerna men förlorar 10 miljoner om det stannar på tre röda fält. Alla andra kombinationer ger varken vinst eller förlust. Vad är sannolikheten att förlora 10 miljoner om sannolikheten att vinna 11 miljon är 34.3%?34.3\, \%?

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En skål innehåller gröna och blå kulor. I träddiagrammet har man markerat händelsen att dra två blå kulor.

Exercise840 2.svg


a

Vad är sannolikheten att den andra kulan som dras är blå? Svara med ett bråk på enklaste form.

b

Hur många kulor fanns det från början i skålen?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}