body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Primitiva funktioner Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Kapitel

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner är ett centralt begrepp inom matematik och är nära kopplade till derivata. En primitiv funktion till en given funktion f(x) är en funktion vars derivata är lika med f(x). Det finns ofta oändligt många primitiva funktioner till en given funktion, och de skiljer sig endast åt med en konstant. Primitiva funktioner kallas också för antiderivator eller obestämda integraler. De används för att förstå hur funktioner beter sig och är viktiga inom områden som analys och fysik. Exempelvis kan F(x)=x vara en primitiv funktion till f(x)=1, och det finns många sätt att representera primitiva funktioner.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Primitiva funktioner

Sida av 5

Om derivatan av en funktion $F (x)$ är lika med $f (x),$ säger man att $F (x)$ hör ihop med $f (x)$ på ett sätt som gör att derivering leder tillbaka till $f (x) .$ Till exempel blir derivatan av $x^{2}$ just $2 x .$ För att hitta sådana funktioner kan man använda deriveringsreglerna baklänges.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Primitiv funktion

Förkunskaper

Koncept

Primitiv funktion

$F (x)$ kallas en primitiv funktion till $f (x)$ om derivatan $F^{'} (x)$ är lika med $f (x) .$

Exempelvis är $F (x) = x^{2}$ en primitiv funktion till $f (x) = 2 x$ eftersom derivatan av $x^{2}$ är just $2 x .$ Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler. En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan $F (x)$ vara primitiv funktion till $f (x)$ vilket utläses som att stora $F$ av $x$ är primitiv funktion till lilla $f$ av $x$ . Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion	Primitiv funktion
$f (x)$	$F (x)$
$g (x)$	$G (x)$
$f (x)$	$D^{- 1} (f (x))$
$f (x)$	$\int f (x) d x$

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är

f (x)

en primitiv funktion till

f^{'} (x) .

Exempel

Kontrollera om $F (x)$ är en primitiv funktion till $f (x)$

Är

F (x) = 4 x^{3} - 15 x + 2 e^{2 x}

en primitiv funktion till

f (x) = 12 x^{2} - 15 + 4 e^{x} ?

Ledtråd

Vi använder att $F^{'} (x) = f (x) .$

Lösning

F (x)

är en primitiv funktion till

f (x)

F^{'} (x) = f (x) .

Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

F (x) = 4 x^{3} - 15 x + 2 e^{2 x}

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (4 x^{3}) - D (15 x) + D (2 e^{2 x})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

F^{'} (x) = 12 x^{2} - D (15 x) + D (2 e^{2 x})

DeriveXCo

$D (a x) = a$

F^{'} (x) = 12 x^{2} - 15 + D (2 e^{2 x})

DeriveEInitialCo

$D (a e^{k x}) = a \cdot k e^{k x}$

F^{'} (x) = 12 x^{2} - 15 + 4 e^{2 x}

Om vi jämför

f (x) = 12 x^{2} - 15 + 4 e^{x}

med

F^{'} (x)

ser vi att den sista termen skiljer sig åt:

4 e^{2 x} \neq = 4 e^{x} .

Det innebär att

F^{'} (x) \neq = f (x) .

F (x)

är alltså inte en primitiv funktion till

f (x) .

Förklaring

Varför kan $f (x)$ ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen

F (x) = x^{3}

är en primitiv funktion till

f (x) = 3 x^{2},

eftersom derivatan till

x^{3}

är

3 x^{2} .

Men kan

3 x^{2}

ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan

3 x^{2},

exempelvis

G (x) = x^{3} + 5 och H (x) = x^{3} - 3, 8 .

Det betyder att funktionen

3 x^{2}

har minst tre primitiva funktioner:

x^{3},

x^{3} + 5

och

x^{3} - 3, 8 .

Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till

3 x^{2}

skrivas

F (x) = x^{3} + C,

där

C

är en godtycklig konstant.

F (x) = x^{3} + C

representerar då alla primitiva funktioner till

f (x) = 3 x^{2} .

Eftersom det finns oändligt många värden som

C

kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till

f (x) .

Exempel

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

Para ihop funktionerna $1 - 3$ med motsvarande primitiva funktioner $A - E .$

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner

Svar

$I . 4 x^{3} I . 4 x^{3} II . 0 II . 0 III . 2 x \to A . x^{4} - 5 \to C . x^{4} \to D . 777 \to E . 2^{3} \to B . x^{2} + 0, 1$

Ledtråd

Vi använder att $F^{'} (x) = f (x) .$

Lösning

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera

A - E .

Då kan vi se vilka par som uppfyller att

F^{'} (x) = f (x),

vilket ska gälla om

F (x)

är en primitiv funktion till

f (x) .

	$F (x)$	$F^{'} (x)$
A	$x^{4} - 5$	$4 x^{3}$
B	$x^{2} + 0.1$	$2 x$
C	$x^{4}$	$4 x^{3}$
D	$777$	$0$
E	$2^{3}$	$0$

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna $1 - 3 .$ Då ser vi att A är primitiv funktion till $1,$ B är primitiv funktion till $3,$ etc.

Primitiva funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.