Uppgifter
Logga in
search
Uppgift 1
Sätt in z = 1 direkt i ekvationen och kontrollera att vänsterledet blir lika med högerledet.
Bryt först ut den gemensamma faktorn z. Använd sedan faktumet att z = 1 är en rot (från deluppgift a) för att faktorisera det återstående kubiska polynomet. Lös slutligen den resulterande andragradsekvationen.
Se lösning
z_1 = 0, z_2 = 1, z_3 = 3-2i, z_4 = 3 + 2i
För att visa att z = 1 är en lösning behöver vi verifiera att det uppfyller ekvationen. Vi gör detta genom att substituera z = 1 och kontrollera om vänsterledet blir lika med högerledet.
Eftersom vänsterledet blir 0, vilket är högerledet, har vi verifierat att z = 1 verkligen är en lösning till ekvationen.
z^4 - 7z^3 + 19z^2 - 13z=0
Substitute
z= 1
1^4 - 7 * 1^3 + 19 * 1^2 - 13 * 1 ? = 0
BaseOne
1^a=1
1 - 7 * 1 + 19 * 1 - 13 * 1 ? = 0
MultByOne
a * 1=a
1 - 7 + 19 - 13 ? = 0
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
0 = 0 ✓
Vi behöver hitta alla komplexa tal z som uppfyller ekvationen. Vår strategi är att faktorisera polynomet fullständigt och sedan identifiera alla rötter. Först observerar vi att varje term innehåller z som faktor, så vi kan bryta ut z:
z^4 - 7z^3 + 19z^2 - 13z = 0
⇕
z ( z^3 - 7z^2 + 19z - 13 ) = 0
Från den faktoriserade formen ser vi omedelbart att z = 0 är en lösning.
För de återstående lösningarna behöver vi lösa z^3 - 7z^2 + 19z - 13 = 0. Från deluppgift a) vet vi att z = 1 är en rot till den ursprungliga ekvationen. Detta betyder att (z - 1) är en faktor.
Vi utför polynomdivision för att hitta den andra faktorn. Vi dividerar z^3 - 7z^2 + 19z - 13 med (z - 1):
Därför kan vår ekvation faktoriseras som:
z(z - 1)(z^2 - 6z + 13) = 0
Nu löser vi z^2 - 6z + 13 = 0 med hjälp av kvadratkomplettering:
Samtliga lösningar till ekvationen är:
z_1 = 0, z_2 = 1, z_3 = 3 + 2i och z_4 = 3 - 2i
Vi utför polynomdivision för att hitta den andra faktorn. Vi dividerar z^3 - 7z^2 + 19z - 13 med (z - 1):
l r z^3 - 7z^2 + 19z - 13 & |lz - 1
PolDivQuot
z^3/z= z^2
l 0.5em z^2 r z^3 - 7z^2 + 19z - 13 & |lz - 1
PolDivSub
Subtrahera z^2* ( z - 1) = z^3 - z^2
l 0.5em z^2 rl z^3 & - 7z^2 &+ 19z &- 13 & |lz - 1 -( z^3 &- z^2 )
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em z^2 rl z^3 & - 7z^2 &+ 19z &- 13 & |lz - 1 - z^3 &+ z^2
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em z^2 r - 6z^2 + 19z - 13 & |lz - 1
PolDivQuot
-6z^2/z= -6z
l 0.5em z^2 - 6z r - 6z^2 + 19z - 13 & |lz - 1
PolDivSub
Subtrahera -6z* ( z - 1) = -6z^2 + 6z
l 0.5em z^2 - 6z rl - 6z^2 &+ 19z &- 13 & |lz - 1 -( -6z^2 &+ 6z )
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em z^2 - 6z rl - 6z^2 &+ 19z &- 13 & |lz - 1 6z^2 & - 6z
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em z^2 - 6z r 13z - 13 & |lz - 1
PolDivQuot
13z/z= 13
l 0.5em z^2 - 6z + 13 r 13z - 13 & |lz - 1
PolDivSub
Subtrahera 13* ( z - 1) = 13z - 13
l 0.5em z^2 - 6z + 13 rl 13z &- 13 & |lz - 1 - ( 13z &- 13 )
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em z^2 - 6z + 13 rl 13z &- 13 & |lz - 1 - 13z &+ 13
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em z^2 - 6z + 13 r 0 & |lz - 1
z^2 - 6z + 13 = 0
▼
Lös ut z
SubEqn
VL-13=HL-13
z^2 - 6z = -13
CompleteSquare
Kvadratkomplettera: p= -6
z^2 - 6z + (-6/2)^2 = -13 + (-6/2)^2
CalcQuot
Beräkna kvot
z^2 - 6z + (3)^2 = -13 + (3)^2
NegBaseToPosBase
(- a)^2=a^2
z^2 - 6z + 3^2 = -13 + 3^2
CalcPow
Beräkna potens
z^2 - 6z + 3^2 = -13 + 9
AddTerms
Addera termerna
z^2 - 6z + 3^2 = -4
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
z^2 - 2* z * 3 + 3^2 = -4
FacNegPerfectSquare
Faktorisera med andra kvadreringsregeln
(z - 3)^2 = -4
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
z - 3 = ± sqrt(-4)
SqrtNegToSqrtI
sqrt(- a)= sqrt(a)* i
z - 3 = ± 2i
AddEqn
VL+3=HL+3
z = 3 ± 2i
Laddar innehåll