Uppgift 1

Vi visar att z=1 är en lösning genom att sätta in den i ekvationen och förenklar. Om VL=HL så är det en giltig lösning.

z^4-7z^3+19z^2-13z=0

Substitute

z= 1

1^4-7* 1^3+19* 1^2-13* 1? =0

BaseOne

1^a=1

1-7* 1+19* 1-13* 1? =0

MultByOne

a * 1=a

1-7+19-13? =0

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

0=0 ✓

Eftersom VL=HL så stämmer lösningen.

Polynomet är av fjärde graden, och har därför fyra rötter. Vi vet deluppgift A att z=1 är en av dem. Vi skriver om ekvationen en aning så kan vi enkelt hitta ytterligare en rot. Då ser vi att funktionen har ytterligare en rot i z=0 . Ett polynom p(z) med roten a kan med hjälp av faktorsatsen skrivas p(z)=(z-a)* q(z), där q(z) är något annat polynom. Vi kan därmed ställa upp ekvationen z(z-1)q(z)=0. Eftersom vi hittat två av fyra rötter, måste restpolynomet q(z) innehålla de andra två. q(z) är alltså ett andragradspolynom! Vi ansätter då q(z)=az^2+bz+c. När vi utvecklat VL i ekvationen ovan kan vi para ihop koefficienterna för respektive term med ursprungsfunktionens termer.

z(z-1)(az^2+bz+c)=0

Distr

Multiplicera in (z-1)

z(az^3+bz^2+cz-az^2-bz-c)=0

Kommutativa lagen för addition

z(az^3+bz^2-az^2+cz-bz-c)=0

FactorOut

Bryt ut

z(az^3+(b-a)z^2+(c-b)z-c)=0

Låt oss nu jämföra vårt uttryck med den faktoriserade ekvationen z(z^3-7z^2+19z-13)=0. Eftersom de är omskrivningar av samma polynom p(z) , måste koefficienterna vara lika! Vi kan därför para ihop dessa och bilda ett ekvationssystem som vi löser.

a=1 & (I) b-a= - 7 & (II) c-b=19 & (III)

Substitute

(II): a= 1

a=1 b- 1= - 7 c-b=19

AddEqn

(II): VL+1=HL+1

a=1 b= - 6 c-b=19

Substitute

(III): b= - 6

a=1 b= - 6 c-( - 6)=19

SubNeg

(III): a-(- b)=a+b

a=1 b= - 6 c+6=19

SubEqn

(III): VL-6=HL-6

a=1 b= - 6 c=13

Då ser vi att andragradaren har koefficienterna a=1 , b= - 6 och c=13 . Då kan vi lösa denna andragradare och på så vis bestämma de övriga rötterna.

z^2-6z+13=0

UsePQ

Använd pq-formeln: p = - 6, q= 13

z=- - 6/2± sqrt((- 6/2)^2- 13)

CalcQuot

Beräkna kvot

z=- ( - 3)±sqrt(( - 3)^2-13)

CalcPow

Beräkna potens

z=- ( - 3)±sqrt(9-13)

NegNeg

- (- a)=a

z=3±sqrt(9-13)

SubTerms

Subtrahera termerna

z=3±sqrt(- 4)

SqrtNegToSqrtI

sqrt(- a)= sqrt(a)* i

z=3± sqrt(4) * i

CalcRoot

Beräkna rot

z=3± 2i

StateSol

Ange lösningar

z_3=3-2i, z_4=3+2i

Fjärdegradaren har alltså också de icke reella rötterna z_3=3-2i och z_4=3+2i . Samtliga lösningar är därmed z_1=0, z_2=1, z_3=3-2i och z_4=3+2i.

Alternativ lösning

Andragradspolynomet q(z) kan även hittas genom polynomdivision. Vi har hittat de två rötterna z=0 och z=1 . Enligt faktorsatsen innebär detta att polynomet innehåller faktorerna z och z-1 och kan skrivas p(z) = z(z-1)* q(z). Detta innebär enligt resonemanget nedan att q(z) kan bestämmas genom polynomdivision.

p(z) = z(z-1)* q(z)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

z^4-7z^3+19z^2-13z = z(z-1)* q(z)

DivEqn

.VL /z(z-1).=.HL /z(z-1).

z^4-7z^3+19z^2-13z/z(z-1) = q(z)

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

q(z) = z^4-7z^3+19z^2-13z/z(z-1)

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

q(z) = z^3 * z-7z^2 * z+19z* z-13* z/z(z-1)

FactorOut

Bryt ut z

q(z) = z(z^3-7z^2+19z-13)/z(z-1)

CalcQuot

Beräkna kvot

q(z) = z^3-7z^2+19z-13/z-1

Vi utför denna polynomdivision nedan.

l r z^3 -7z^2+19z-13 & |l z-1

PolDivQuot

z^3/z= z^2

l 0.5em z^2 r z^3 -7z^2+19z-13 & |l z -1

PolDivSub

Subtrahera z^2* ( z-1) = z^3-z^2

l 0.5em z^2 rl z^3 -7z^2 +19z -13 & |l z -1 -( z^3 - z^2)

Distr

Multiplicera in - 1

l 0.5em z^2 rl z^3 -7z^2 +19z -13 & |l z -1 - z^3 + z^2

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

l 0.5em z^2 r - 6z^2+19z-13 & |l z -1

PolDivQuot

- 6z^2/z= - 6z

l 0.5em z^2 -6z r - 6z^2+19z-13 & |l z -1

PolDivSub

Subtrahera - 6z* ( z-1) = - 6z^2 +6z

l 0.5em z^2-6z rl - 6z^2 + 19z - 13 & |lz -1 -(- 6z^2 + 6z)

Distr

Multiplicera in - 1

l 0.5em z^2-6z rl - 6z^2 + 19z - 13 & |lz -1 + 6z^2 - 6z

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

l 0.5em z^2-6z r 13z-13 & |l z -1

PolDivQuot

13z/z= 13

l 0.5em z^2-6z+ 13 r 13z-13 & |l z -1

PolDivSub

Subtrahera 13* ( z-1) = 13z-13

l 0.5em z^2-6z+13 rl 13z -13 & |lz -1 - (13z -13)

Distr

Multiplicera in - 1

l 0.5em z^2-6z+13 rl 13z -13 & |lz -1 - 13z +13

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

l 0.5em z^2-6z+13 r 0 & |lz-1

Polynomet som ger de två sista rötterna är alltså q(z) = z^2 -6z + 13. Härifrån löses uppgiften med PQ -formeln som tidigare.