Matematiska Bevis: Utforska Motsatt Påstående och Negation i Matte

Symbol	Innebörd	Exempel
$\Rightarrow$	Implikation	P $_{1}$ : Figuren är en kvadrat P $_{2}$ : Figuren är en fyrhörning P $_{1}$ $\Rightarrow$ P $_{2}$
$\Leftrightarrow$	Ekvivalens	P $_{1}$ : Figuren är en kvadrat P $_{3}$ : Figuren har fyra rätvinkliga hörn och lika långa sidor P $_{1}$ $\Leftrightarrow$ P $_{3}$
$\neg$	Negation	P $_{1}$ : Figuren är en kvadrat $\neg$ P $_{1}$ : Figuren är inte en kvadrat
$⊥$	Motsägelse	P $_{4}$ : Figuren har $4$ hörn P $_{5}$ : Figuren är en triangel (P $_{4}$ och P $_{5}$ ) $\Rightarrow ⊥$

Symbol

Innebörd

Exempel

\Rightarrow

Implikation

_{1}

: Figuren är en kvadrat
P

_{2}

: Figuren är en fyrhörning
P

_{1}

\Rightarrow

_{2}

\Leftrightarrow

Ekvivalens

_{1}

: Figuren är en kvadrat
P

_{3}

: Figuren har fyra rätvinkliga hörn
och lika långa sidor
P

_{1}

\Leftrightarrow

_{3}

\neg

Negation

_{1}

: Figuren är en kvadrat

\neg

_{1}

: Figuren är inte en kvadrat

⊥

Motsägelse

_{4}

: Figuren har

4

hörn
P

_{5}

: Figuren är en triangel
(P

_{4}

och P

_{5}

)

\Rightarrow ⊥

Bevis	Strategi	Tillämpning
Direkt	$P \Rightarrow Q$	Anta att $a$ och $b$ är udda och visa att $a \cdot b$ är udda
Indirekt	$\neg Q \Rightarrow \neg P$	Anta att produkten $a \cdot b$ är jämn och visa att minst en av $a$ och $b$ måste vara jämn
Motsägelse	P och $\neg$ Q $\Rightarrow ⊥$	Anta att $a$ och $b$ är udda samt att produkten $a \cdot b$ är jämn och visa att detta leder till en motsägelse

Bevis

Strategi

Tillämpning

Direkt

P \Rightarrow Q

Anta att

a

och

b

är udda
och visa att

a \cdot b

är udda

Indirekt

\neg Q \Rightarrow \neg P

Anta att produkten

a \cdot b

är jämn
och visa att minst en av

a

och

b

måste vara jämn

Motsägelse

P och

\neg

\Rightarrow ⊥

Anta att

a

och

b

är udda
samt att produkten

a \cdot b

är jämn
och visa att detta leder till en motsägelse

Går det att visa med ett motsägelsebevis att om

n^{3} + 5

är udda, där

n

är ett heltal, så är

n

jämnt?

Vi ska visa satsen n^3+5 udda ⇒ n jämnt, där $n$ är ett heltal. För att göra detta med ett motsägelsebevis antar vi att n^3+5 är udda och att n är udda. Det betyder att de kan skrivas som &n^3+5 = 2m+1 och &n=2k+1, där k och m är heltal. Vi sätter in uttrycket för n i n^3+5 för att se om vi får en motsägelse utifrån premisserna.

Nu har vi ett uttryck för n^3+5, och vi konstaterade tidigare att det även kan skrivas som 2m+1, där m är ett heltal. Vi sätter uttrycken lika med varandra och undersöker om vi kan hitta ett samband mellan k och m.

De tre första termerna är produkter av heltal så de är heltal. Hela summan består alltså av fyra heltal och 0.5. När man summerar heltal får man alltid ett heltal. Det betyder att m=Ett heltal+0.5. Den sista termen, 0.5, är inte ett heltal. När man adderar ett heltal med ett icke-heltal får man inte ett heltal. Men m är ju, per definition, ett heltal. Ett tal kan inte både vara ett heltal och ett icke-heltal samtidigt, så vi har fått en motsägelse. Det betyder att antagandet att n är udda måste vara falskt. Heltalet n är därför jämnt.

Kan man bevisa med hjälp av ett motsägelsebevis att

2

är ett irrationellt tal? Antag att

2

är rationellt, och då kan skrivas

2 = \frac{a}{b}

där

a

och

b

är heltal, och undersök om detta leder till en motsägelse.

Vi skall visa att sqrt(2) är ett irrationellt tal med ett så kallat motsägelsebevis. Det betyder att vi antar motsatsen till det vi vill bevisa, alltså att

sqrt(2) är ett rationellt tal.

är vi sedan försöker bestämma detta rationella tal kommer vi att få en motsägelse. Alla rationella tal kan skrivas som ab, där a och b är heltal utan gemensamma faktorer. Vi antar alltså att vi kan skriva sqrt(2) som ab. Vi löser sedan ut a och kvadrera båda leden.

I högerledet har vi produkten 2b^2. Denna produkt måste vara jämn eftersom en av faktorerna är 2. Det betyder att även a^2 är jämnt eftersom de är lika med varandra. Om a^2 är ett jämnt tal måste även a vara jämnt (vi visar varför i "Extra" nedan), dvs. man kan skriva det som a=2k, där k är ett heltal. Vi sätter in det i vår ekvation och löser ut b^2.

Vi kan alltså skriva b^2 som 2k^2. Det innebär att b^2 är ett jämnt tal och då är även b ett jämnt tal. Vi har nu kommit fram till att både a och b är jämna tal, dvs. de innehåller båda faktorn 2. Men i början antog vi ju att de inte har några gemensamma faktorer. Det betyder att vi har fått en motsägelse så antagandet att sqrt(2) är rationellt är felaktigt. Därför är sqrt(2) irrationellt.

Hur kan vi bevisa att om a^2 är jämnt så är även a jämnt? Vi låter s vara ett udda heltal. Det betyder att 2 inte kan vara en faktor i s, eftersom det då hade varit ett jämnt tal. Kvadraten av s blir s^2=s* s. Eftersom s inte innehåller faktorn 2 gör inte s* s det heller — vi har ju inte lagt till några nya faktorer. Detta betyder att s^2 måste vara udda. Alla udda tals kvadrater är alltså också udda. Om a^2 är jämnt så kan inte a vara udda. a är alltså jämnt.

Matematisk bevisföring

Exempel

Stämmer bevisen?

Masumis bevis

Povilas bevis

Bevismetoder

Direkt och indirekt bevis

Motsägelsebevis

Exempel

Visa påståendet med ett indirekt bevis

Kommentar

Jämförelse av bevis

	5 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.