Matematiska Bevis: Utforska Motsatt Påstående och Negation i Matte

Inom matematiken är logik läran om hur man drar korrekta slutsatser givet vissa premisser. Matematiska bevis är typexempel på hur logik tillämpas — här är varje steg tydligt och välmotiverat, bl.a. genom användning av korrekta definitioner och påståenden. Dessa kan vara axiom, dvs. grundläggande matematiska sanningar, eller bevisade satser. För att föra resonemang på ett kompakt sätt används logiksymboler.

Symbol	Innebörd	Exempel
$\Rightarrow$	Implikation	P $_{1}$ : Figuren är en kvadrat P $_{2}$ : Figuren är en fyrhörning P $_{1}$ $\Rightarrow$ P $_{2}$
$\Leftrightarrow$	Ekvivalens	P $_{1}$ : Figuren är en kvadrat P $_{3}$ : Figuren har fyra rätvinkliga hörn och lika långa sidor P $_{1}$ $\Leftrightarrow$ P $_{3}$
$\neg$	Negation	P $_{1}$ : Figuren är en kvadrat $\neg$ P $_{1}$ : Figuren är inte en kvadrat
$⊥$	Motsägelse	P $_{4}$ : Figuren har $4$ hörn P $_{5}$ : Figuren är en triangel (P $_{4}$ och P $_{5}$ ) $\Rightarrow ⊥$

Stämmer bevisen?

fullscreen

Masumi och Povilas ska ha ett bevis-battle, och Masumi har bestämt sig för att visa att $1$ är lika med $2 .$ Povilas blir inte särskilt imponerad och kontrar med att han kan visa att $a^{2}$ är ett jämnt tal om $a$ är ett jämnt tal. Här är deras bevis.

Har de gjort rätt?

Visa Lösning

Vi undersöker ett bevis i taget.

Exempel

Masumis bevis

Masumi påstår sig ha bevisat att

1 = 2 .

Detta verkar inte särskilt troligt, så hon har nog gjort fel någonstans. Vi undersöker ett steg i taget. På första raden anger hon att

a = b,

så

a

och

b

är alltså samma tal. På andra och tredje raden multiplicerar hon med

a

respektive subtraherar med

b^{2} .

Detta går bra eftersom man alltid kan multiplicera och subtrahera båda led med vilket tal som helst utan att göra likheten ogiltig.

a^{2} a^{2} - b^{2} = a b = a b - b^{2}

Hon väljer sedan att utveckla vänsterledet med konjugatregeln samt bryta ut

b

ur högerledet. Detta går också bra — det är ju bara omskrivningar.

(a - b) (a + b) = b (a - b)

Så här långt är alltså det matematiska resonemanget korrekt. Från rad $4$ till rad $5$ händer dock något ogiltigt: Masumi dividerar båda led med $(a - b) .$ Detta kanske inte verkar konstigt vid första anblick men eftersom $a$ och $b$ är samma tal dividerar Masumi med $0$ när hon dividerar med $(a - b) .$ Nolldivision är inte tillåtet så detta steg är inte giltigt!

Stegen som kommer efteråt är rätt men det spelar ingen roll: Om ett steg i beviset är fel är hela beviset fel. Vi kan alltså konstatera att Masumis bevis inte stämmer.

Exempel

Povilas bevis

Povilas verkar ha utgått från att jämna tal är delbara med

2

och brukar skrivas på formen

a = 2 n,

där

n

är ett heltal. Han har dock inte definierat vad

n

står för i sitt bevis, vilket han borde ha gjort. Stegen därefter är inga konstigheter: Båda led upphöjs till

2

och högerledet utvecklas med potenslagarna. Han påstår sedan att

2 n^{2} \ddot{a} r ett heltal .

Detta är sant om

n

är ett heltal, eftersom produkten av flera heltal också är ett heltal. Han borde dock ha motiverat detta tydligare eftersom man inte bara kan gissa att det är på det sättet. Han skriver till sist om

2 n^{2}

som

m,

vilket är klokt eftersom det då är lätt att se att högerledet är ett jämnt tal:

a^{2} = 2 m .

Povilas bevis är alltså rätt om man antar att

n :

et i hans bevis är ett heltal. Vid bevisföring är det dock extremt viktigt att man anger vad olika okända faktiskt står för, annars är beviset oanvändbart. Povilas skulle kunna förbättra sitt bevis genom att utveckla det ungefär såhär.

Begrepp

Bevismetoder

Många bevis går ut på att visa att ett påstående, P, leder till ett annat påstående, Q. Man kan t.ex. visa att

P : Talen a och b \ddot{a} r udda leder till Q : Produkten a \cdot b \ddot{a} r udda,

för två heltal

a

och

b .

Detta kan skrivas som implikationen P

\Rightarrow

Q, som säger att om talen

a

och

b

är udda så är produkten

a \cdot b

udda. Det finns många olika bevismetoder och beroende på hur man har valt att formulera sitt problem kan en viss metod vara mer eller mindre lämplig.

Begrepp

Direkt och indirekt bevis

Det mest intuitiva är antagligen att följa implikationen

P \Rightarrow Q

och utgå från att P är sant och visa att Q följer av det.

Detta kallas för ett direkt bevis. Ibland kan det dock vara enklare att gå åt det motsatta hållet och använda ett så kallat indirekt bevis. Då visar man istället implikationen $\neg Q \Rightarrow \neg P,$ alltså att

utgå från att Q inte är sant och visa att P då inte heller kan vara det.

För exemplet ovan visar man då att om produkten $a \cdot b$ är jämn måste minst ett av talen $a$ och $b$ vara jämnt. Detta är ekvivalent med ett direkt bevis och visar alltså precis samma sak.

Begrepp

Motsägelsebevis

En tredje bevismetod är motsägelsebevis. Man antar då motsatsen till det man vill bevisa och visar att detta leder till en motsägelse. Om man t.ex. vill bevisa påståendet R: Kvadraten av ett jämnt tal är delbar med

4

skulle man anta motsatsen

\neg

R: Kvadraten av ett jämnt tal är inte delbar med

4 .

Sedan visar man att detta leder till en motsägelse, t.ex. att $1 = 2$ eller att jämna tal både är och inte är delbara med $2 .$ Så länge resonemanget som leder fram till motsägelsen är korrekt kan man dra slutsatsen att $\neg$ R är falskt, vilket betyder att det ursprungliga påståendet R måste vara sant. För implikationer på formen $P \Rightarrow Q,$ kan motsatsen

\neg (P \Rightarrow Q)

skrivas som

P och

\neg

Q. Då antar man alltså att både påståendet P och motsatsen till påståendet Q är sanna och undersöker sedan eventuella motsägelser som detta leder till. För påståendena P och Q ovan skulle man då anta att talen

a

och

b

är udda samt att produkten

a \cdot b

är jämn.

Visa påståendet med ett indirekt bevis

fullscreen

Tula säger att ett heltal är jämnt om dess kvadrat är jämn. Visa detta med ett indirekt bevis.

Visa Lösning

Vi börjar med att formulera det Tula säger matematiskt och kallar heltalet för

a .

Tula säger då att om

a^{2}

är jämnt så är

a

är jämnt:

a^{2} j \ddot{a} mnt \Rightarrow a j \ddot{a} mnt .

Vi ska visa detta med ett indirekt bevis och negerar därför båda påståendena och byter plats på dem.

\neg (a j \ddot{a} mnt) \Rightarrow \neg (a^{2} j \ddot{a} mnt)

Negationen till att

a

är jämnt är att det är udda och negationen till att

a^{2}

är jämnt är att det är udda. Detta betyder att vi ska visa att

a udda \Rightarrow a^{2} udda .

Detta påstående är helt ekvivalent med det som Tula säger. Eftersom jämna tal är delbara med

2

kan de alltid skrivas på formen

2 k,

där

k

är ett heltal. Efter varje jämnt tal kommer ett udda och det betyder att alla udda tal kan skrivas på formen

2 k + 1 .

Vi låter

a

vara

2 k + 1

och kvadrerar det.

a = 2 k + 1

RaiseEqn

$VL^{2} = HL^{2}$

a^{2} = (2 k + 1)^{2}

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

a^{2} = (2 k)^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot 1 + 1^{2}

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

a^{2} = (2 k)^{2} + 4 k + 1

PowProdII

$(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$

a^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1

De två första termerna innehåller båda faktorn

2 .

Vi bryter ut den.

a^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

a^{2} = 2 \cdot 2 k^{2} + 2 \cdot 2 k + 1

FactorOut

Bryt ut $2$

a^{2} = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1

Uttrycket

2 k

är ett jämnt tal — det har vi redan konstaterat.

2 k^{2}

är en produkt av heltal eftersom

k

är ett heltal, och när man multiplicerar heltal får man ett heltal.

2 k^{2} + 2 k

är alltså en summa av heltal vilket betyder att det också är ett heltal. Vi kan kalla det

m .

a^{2} = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1 = 2 m + 1 .

Eftersom

m

är ett heltal betyder det att

2 m

är jämnt, enligt definitionen av jämna tal. Efter ett jämnt tal kommer alltid ett udda tal så

2 m + 1

är udda. Detta innebär alltså att

a^{2}

är udda.

Q.E.D.

Exempel

Kommentar

I beviset antas att både summan av heltal och produkten av heltal är heltal. Detta är en egenskap hos heltalen som kallas slutenhet och som under vissa omständigheter anses vara ett axiom. Det brukar därför vara tillåtet att anta detta utan bevis.

Begrepp

Jämförelse av bevis

Till sist sammanfattas de olika bevistyperna och hur de tolkas för påståendena

P : Talen a och b \ddot{a} r udda Q : Produkten a \cdot b \ddot{a} r udda,

där

a

och

b

är heltal. Tabellen visar vilken strategi som används i respektive metod, samt hur de tillämpas.

Bevis	Strategi	Tillämpning
Direkt	$P \Rightarrow Q$	Anta att $a$ och $b$ är udda och visa att $a \cdot b$ är udda
Indirekt	$\neg Q \Rightarrow \neg P$	Anta att produkten $a \cdot b$ är jämn och visa att minst en av $a$ och $b$ måste vara jämn
Motsägelse	P och $\neg$ Q $\Rightarrow ⊥$	Anta att $a$ och $b$ är udda samt att produkten $a \cdot b$ är jämn och visa att detta leder till en motsägelse

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Stämmer bevisen?

Exempel

Visa påståendet med ett indirekt bevis