Matematisk bevisföring

Vi undersöker ett bevis i taget.

Masumi påstår sig ha bevisat att 1=2. Detta verkar inte särskilt troligt, så hon har nog gjort fel någonstans. Vi undersöker ett steg i taget. På första raden anger hon att a=b, så a och b är alltså samma tal. På andra och tredje raden multiplicerar hon med a respektive subtraherar med b^2. Detta går bra eftersom man alltid kan multiplicera och subtrahera båda led med vilket tal som helst utan att göra likheten ogiltig. a^2&=ab a^2-b^2&=ab-b^2 Hon väljer sedan att utveckla vänsterledet med konjugatregeln samt bryta ut b ur högerledet. Detta går också bra — det är ju bara omskrivningar. (a-b)(a+b)=b(a-b)

Så här långt är alltså det matematiska resonemanget korrekt. Från rad 4 till rad 5 händer dock något ogiltigt: Masumi dividerar båda led med (a-b). Detta kanske inte verkar konstigt vid första anblick men eftersom a och b är samma tal dividerar Masumi med 0 när hon dividerar med (a-b). Nolldivision är inte tillåtet så detta steg är inte giltigt!

Stegen som kommer efteråt är rätt men det spelar ingen roll: Om ett steg i beviset är fel är hela beviset fel. Vi kan alltså konstatera att Masumis bevis inte stämmer.

Povilas verkar ha utgått från att jämna tal är delbara med 2 och brukar skrivas på formen a=2n, där n är ett heltal. Han har dock inte definierat vad n står för i sitt bevis, vilket han borde ha gjort. Stegen därefter är inga konstigheter: Båda led upphöjs till 2 och högerledet utvecklas med potenslagarna. Han påstår sedan att 2n^2är ett heltal. Detta är sant om n är ett heltal, eftersom produkten av flera heltal också är ett heltal. Han borde dock ha motiverat detta tydligare eftersom man inte bara kan gissa att det är på det sättet. Han skriver till sist om 2n^2 som m, vilket är klokt eftersom det då är lätt att se att högerledet är ett jämnt tal: a^2=2m. Povilas bevis är alltså rätt om man antar att n:et i hans bevis är ett heltal. Vid bevisföring är det dock extremt viktigt att man anger vad olika okända faktiskt står för, annars är beviset oanvändbart. Povilas skulle kunna förbättra sitt bevis genom att utveckla det ungefär såhär.

Vi börjar med att formulera det Tula säger matematiskt och kallar heltalet för a. Tula säger då att om a^2 är jämnt så är a är jämnt: a^2 jämnt ⇒ a jämnt. Vi ska visa detta med ett indirekt bevis och negerar därför båda påståendena och byter plats på dem. ¬(a jämnt) ⇒ ¬ (a^2 jämnt) Negationen till att a är jämnt är att det är udda och negationen till att a^2 är jämnt är att det är udda. Detta betyder att vi ska visa att a udda ⇒ a^2 udda. Detta påstående är helt ekvivalent med det som Tula säger. Eftersom jämna tal är delbara med 2 kan de alltid skrivas på formen 2k, där k är ett heltal. Efter varje jämnt tal kommer ett udda och det betyder att alla udda tal kan skrivas på formen 2k+1. Vi låter a vara 2k+1 och kvadrerar det.

De två första termerna innehåller båda faktorn 2. Vi bryter ut den.

Uttrycket 2k är ett jämnt tal — det har vi redan konstaterat. 2k^2 är en produkt av heltal eftersom k är ett heltal, och när man multiplicerar heltal får man ett heltal. 2k^2+2k är alltså en summa av heltal vilket betyder att det också är ett heltal. Vi kan kalla det m. a^2=2(2k^2+2k)+1=2m+1. Eftersom m är ett heltal betyder det att 2m är jämnt, enligt definitionen av jämna tal. Efter ett jämnt tal kommer alltid ett udda tal så 2m+1 är udda. Detta innebär alltså att a^2 är udda.

I beviset antas att både summan av heltal och produkten av heltal är heltal. Detta är en egenskap hos heltalen som kallas slutenhet och som under vissa omständigheter anses vara ett axiom. Det brukar därför vara tillåtet att anta detta utan bevis.