Matematisk bevisföring

Vi börjar med att ställa upp det vi ska visa: x^2-6x+5 jämnt ⇒ x udda, där x är ett heltal. För att visa detta med ett indirekt bevis negerar vi båda påståenden och byter plats på dem, dvs. ställer upp implikationen ¬(x udda) ⇒ ¬(x^2-6x+5 jämnt). Om inte x är udda är det jämnt och om inte x^2-6x+5 är jämnt är det udda. Vi ska alltså visa x jämnt ⇒ x^2-6x+5 udda. Eftersom vi utgår från att x är jämnt kan vi skriva det som x=2n, där n är ett heltal. Vi sätter in det i x^2-6x+5 och visar att vi då får ett udda tal.

Eftersom n är ett heltal, är även 2n^2-6n+2 det — vi kallar det m. Det betyder att uttrycket kan skrivas x^2-6x+5=2m+1, där m är ett heltal. 2m är ett jämnt tal, vilket betyder att 2m+1 är udda, så x^2-6x+5 är udda.

Innan vi tar oss an problemet formulerar vi det med hjälp av logiska symboler. Vi låter P betyda "produkten ab är jämn" och Q betyda "minst en av a och b är jämn." Det vi ska visa kan då skrivas som P ⇒ Q, förutsatt att a och b är heltal. Vi kan nu undersöka om detta stämmer antingen med ett direkt-, indirekt- eller motsägelsebevis, och vi går därför igenom alla tre metoderna var för sig. Ett indirekt bevis rekommenderas och visas här först eftersom beviset delvis är algebraiskt, och är antagligen något lättare att följa. För de andra typerna krävs resonemang på en något högre nivå för att vara fullständiga.

Indirekt bevis

När vi gör ett indirekt bevis av en implikation måste vi först formulera en annan implikation som är ekvivalent med den första. För P ⇒ Q är den ekvivalenta implikationen ¬ Q ⇒ ¬ P. Vi behöver nu fundera på vad negationerna av P och Q betyder. Negationen av "produkten ab är jämn," alltså ¬P, är att "produkten ab är udda." För att slutsatsen "minst en av a och b är jämn" ska gälla kan antingen en eller två av talen vara jämna. Motsatsen till detta vore om både a och b är udda. Det vi måste visa är därför att om både a och b är udda så är produkten ab udda. Eftersom a och b är udda skriver vi dem som a = 2k + 1 och b = 2m + 1, där k och m är godtyckliga heltal. Vi kan nu ta fram ett uttryck för ab genom att multiplicera a och b.

Vi kan nu bryta ut faktorn 2 ur de tre första termerna och får då ab = 2(2km + k + m) + 1. Detta gör vi för att kunna konstatera att 2km + k + m är ett heltal, eftersom k och m är heltal. Vi kan garantera detta för att heltal multiplicerade och adderade med varandra alltid resulterar i ett heltal. Det kan ses som ett axiom för heltalen. Vi kallar detta nya heltal n och får att ab = 2n + 1, vilket är ett udda heltal. Vi har nu visat att ¬ Q ⇒ ¬ P, vilket innebär att vi samtidigt visat den ekvivalenta implikationen P ⇒ Q.

Direkt bevis

För att göra ett direkt bevis utgår vi från att P gäller och visar sedan att Q också måste gälla. Att produkten ab är jämn innebär att vi kan skriva den som ab = 2k, där k är ett godtyckligt heltal. Här kan vi inte göra en omskrivning för att visa att minst en av a och b är jämna, utan vi måste resonera oss fram. Intuitivt kan man tänka att eftersom faktorn 2 finns med i högerledet samtidigt som a, b och k är heltal måste även faktorn 2 vara med i vänsterledet, antingen i a eller b. Men detta resonemang är dock inte välgrundat, utan man måste använda sig av aritmetikens fundamentalsats som säger att alla heltal kan primtalsfaktoriseras på endast ett sätt. Heltalen ab och 2k är samma, och därför måste deras primtalsfaktorisering också vara samma. Eftersom faktoriseringen av 2k måste innehålla faktorn 2 minst en gång måste även faktoriseringen av ab göra det. Både a och b är heltal, alltså kan faktorn 2 omöjligen delas av a och b, t.ex. genom att båda innehåller sqrt(2). Minst ett av talen a och b måste alltså innehålla primtalsfaktorn 2, och därmed vara ett jämnt tal.

Motsägelsebevis

För motsägelsebeviset antar vi att både P och ¬Q stämmer samtidigt, dvs. att produkten ab är jämn samt att ingen av a eller b är jämn, och visar att det leder till en motsägelse. Då vet vi att om P gäller kan inte ¬Q gälla, och Q måste då gälla. Vi börjar detta bevis på samma sätt som det direkta beviset och konstaterar att P innebär att faktorn ab kan skrivas som ab = 2k, där k är ett godtyckligt heltal. Av samma anledning som i det direkta beviset måste primtalsfaktorn 2 ingå i både 2k och ab, men vi har samtidigt antagit ¬Q, alltså att a och b är udda. Att a och b är udda innebär att ingen av dem har primtalsfaktorn 2, och därför har inte heller deras produkt ab primtalsfaktorn 2. Vi har nu fått att ab både innehåller och inte innehåller faktorn 2, vilket är en motsägelse. Med logisk notation kan vi skriva detta som P och¬ Q ⇒ ⊥, vilket betyder att P ⇒ Q.

När vi ska undersöka om en likhet stämmer gör vi det gärna genom att utgå från ena ledet och skriva om det tills det är identiskt med det andra. Vi väljer här att utgå från vänsterledet eftersom det ofta är lättare att börja med det krångligare ledet. Vi försöker förenkla uttrycket så att vi får 1.

Nu har vi visat att vänsterledet och högerledet är identiska, för de x då vänsterledet är definierat.

Här kan vi använda oss av additionsformeln för cosinus för att skriva om vänsterledet. Vi kommer då att få något i stil med högerledet, vilket är vad vi är ute efter. Vidare förenkling bör då kunna ge oss ett uttryck som möjligtvis är identiskt med högerledet.

Vi har nu visat att vänsterledet är lika med högerledet.

I den här likheten är det vänsterledet som är knöligast så vi ser om vi kan skriva om det så att det blir lika med tan(x). Vi skriver bråket som .(sin(x)+tan(x)) /(1+cos(x)). för att lättare hålla koll på täljare och nämnare. Ett bra första steg är att skriva om tan(x) som en kvot av sinus och cosinus. Vi kan sedan gå vidare genom att skriva termerna i täljaren som ett bråk.

Vänsterledet, sin(x)+tan(x)1+cos(x), är alltså lika med högerledet, tan(x).