Linjära funktioner

Utgå ifrån räta linjens ekvation, dvs. y=kx+m. Koefficienten framför x är k-värdet och konstanten är m-värdet. Lägg märke till att både k och m är konstanter, så x tillhör med andra ord inte k-värdet.

Vi resonerar på samma sätt som i förra deluppgiften. Om vi jämför y=-4.5x-12 med räta linjens ekvation ser vi att k=-4.5 och m=-12.

Vi resonerar på samma sätt som tidigare, men här måste vi först fundera över vilken koefficient som ska stå framför x. Genom att skriva om x som 1x blir det mycket tydligare att k=1 och m=1.

Vi läser av linjens k- och m-värde: y= 3x -9 k= 3 och m= - 9 Riktningskoefficienten k är alltså 3, vilket betyder att linjen ökar med 3 steg på y-axeln när man går ett steg åt höger på x-axeln. Vidare ser vi att m-värdet är - 9. Det betyder att funktionen skär y-axeln när y = - 9.

Vi läser av linjens k- och m-värde: y= -2x+ 5 k= -2 och m= 5 Riktningskoefficienten är -2, vilket betyder att linjen minskar med 2 steg på y-axeln när man går ett steg åt höger på x-axeln. Vidare ser vi att m-värdet är 5. Det betyder att funktionen skär y-axeln när y = 5.

Det är möjligt att läsa av linjens k-värde i figuren, men vi kan också beräkna det med formeln k = Δ yΔ x. De två punkterna i grafen är A=(3,4) och B=(7,6)- Ur grafen kan vi direkt läsa av att ändringen i x från A till B är 4, men vi kan också räkna ut den med Δ x = x_2 - x_1.

På samma sätt här kan vi se att förändringen i y-led är 2 eller så sätter in y-värdena i formeln Δ y = y_2 - y_1.

Vi sätter nu in Δ x och Δ y i k-formeln för att bestämma lutningen.

Linjens lutning är alltså 0.5.

Lutningen för en linje kan bestämmas genom att dividera skillnaden mellan punkternas y-värden med skillnaden mellan deras x-värden: k=Δ y/Δ x=y_2-y_1/x_2-x_1. Sätter vi in punkternas x- och y-värden kan vi alltså beräkna k-värdet.

Linjens lutning är alltså 1.

Vi bestämmer linjens riktningskoefficient genom att använda formeln för beräkning av k: k = Δ y/Δ x = y_2 - y_1/x_2 - x_1. Våra kända punkter längs linjen är P_1 = (2, 2) och P_2 = (8, 5). Vi har valt att kalla den av de två punkterna som har mindre x-koordinat för P_1, eftersom detta gör beräkningarna av linjens lutning lite enklare, men den andra ordningen hade också fungerat. Vi markerar dessa punkter i ett koordinatsystem och kan därigenom se hur skillnaden i x-led, Δ x, och skillnaden i y-led, Δ y, kan beräknas.

Punkten P_1 = (2, 2) har koordinaterna x_1 = 2 och y_1 = 2, medan punkten P_2 = (8, 5) har koordinaterna x_2 = 8 och y_2 = 5. Det är dessa beteckningar vi använder när vi nu beräknar riktningskoefficienten k.

Linjen som går genom de två punkterna har alltså riktningskoefficienten k = 0.5.

På samma sätt som i första deluppgiften sätter vi in punkterna i formeln och räknar ut riktningskoefficienten.

Vi räknar ut riktningskoefficienten på samma sätt.

För att bestämma linjens ekvation behöver vi ta reda på k- respektive m-värdet i y=kx+m. Vi börjar med att bestämma k-värdet med hjälp av k-formeln.

Nu kan vi sätta in detta värde i ekvationen: y=2x+m. Till sist bestämmer vi m-värdet genom att sätta in en punkt vi vet att linjen går genom, t.ex. (4,3), i ekvationen.

Ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (4, 3) och (6, 7) är alltså y=2x-5.

För att skriva den räta linjens ekvation på k-form måste vi bestämma både k-värdet och m-värdet. Linjens m-värde är y-koordinaten i punkten där linjen skär y-axeln.

Vi ser att m-värdet är 0.5. För att bestämma linjens lutning mäter vi skillnaden i y-led mellan två punkter på grafen som ligger 1 steg ifrån varandra i x-led.

Skillnaden i y-led är - 0.5 eftersom den minskar med 0.5 när man går ett steg åt höger i x-led. Linjens lutning är k = - 0.5 och genom att sätta in k- och m-värdet i räta linjens ekvation får vi y=- 0.5x+0.5.

En linje med uppförsbacke, om vi tänker oss att vi går från vänster till höger, har positivt k-värde. Endast en av linjerna lutar uppåt och det är A.

På liknande sätt ger "nedförsbacke" ett negativt k-värde och en "platt linje" ger k-värdet noll. Alltså har

• A: positivt k-värde.
• B: negativt k-värde.
• C: k-värdet 0

Men hur är det med D? Denna linje är lodrät och därmed inte en funktion eftersom det finns flera, oändligt många i det här fallet, y-värden för x-värdet 7.5. Denna linje kan därför inte skrivas på formen y=kx+m och saknar alltså k-värde.

En rät linje på k-form skrivs y=kx+m, där k anger lutningen eller det antal steg funktionen rör sig i y-led då man går 1 steg i x-led. m anger y-värdet där linjen skär y-axeln. Vi börjar med att rita ett koordinatsystem och pricka in m-värdet, som för y=3x-1 är lika med -1.

Linjens k-värde är 3. Exempelvis kan vi utgå från punkten vi satte ut och gå ett steg åt höger i x-led. Sedan går vi 3 steg uppåt, och där sätter vi ut en ny punkt. Slutligen sammanbinder vi punkterna med en linje som sträcker sig över hela koordinatsystemet.

Vi resonerar på samma sätt som i förra deluppgiften. För funktionen y=-2 x+4 är k=-2 och m = 4. Vi markerar m-värdet 4 på y-axeln. Minustecknet innebär att linjen rör sig 2 steg nedåt för varje steg i x-led. Detta ger oss följande linje.

Funktionen y=- x-3 kan även skrivas som y=-1 x-3. Vi ser då att k=-1 och m=-3. På precis samma sätt som i tidigare deluppgifter ritar vi linjen utifrån denna information.

Termerna i linjens ekvation är skrivna i en annan ordning är den vanliga, men den är fortfarande skriven på k-form, dvs. y = kx + m. För att lättare se detta byter vi plats på termerna:

y = - 2x + 3. m-värdet, som anger det y-värde där linjen skär y-axeln, är 3. Det innebär att punkten (0,3) finns på linjen. Vi sätter ut den i ett koordinatsystem.

k-värdet, som anger antalet steg man ska gå i y-led för varje steg man går åt höger i x-led, är - 2. Vi ska alltså gå 2 steg nedåt för varje steg i x-led. Om vi utgår från punkten på y-axeln och går 1 steg åt höger i x-led och 2 steg nedåt i y-led hittar vi en till punkt på linjen. Vi ritar en linje igenom de två punkterna.

Kom ihåg att linjen ritas genom hela koordinatsystemet och inte bara mellan de två punkterna.

För att lättare se att ekvationen för linjen är skriven på k-form, y = kx + m, skriver vi om den på formen

y = 1/2x + 1. Vi markerar m-värdet 1 på y-axeln. k-värdet är 12, vilket innebär att vi ska gå ett halv steg uppåt och ett steg åt höger för att hitta en till punkt på linjen. Eftersom den punkten hamnar mellan två linjer i koordinatsystemet kan det vara enklare att gå 2 steg åt höger istället, vilket ger en ökning på ett helt steg i y-led. Dessa punkter ger oss linjen i koordinatsystemet nedan.

Ekvationen y = - 3 är även den skriven på k-form, trots att den inte har någon x-term. Detta blir mycket tydligare om vi skriver om den som

y = 0 * x - 3. k-värdet är alltså noll vilket innebär att linjen inte har någon lutning. Vi sätter först in m-värdet - 3 på x-axeln och går sedan ett steg åt höger i x-led utan att gå varken upp eller ner på y-axeln. Kopplar vi ihop dessa punkter får vi den vågräta linje som ritats i koordinatsystemet.

För att bestämma ekvationen för den räta linjen behöver vi bestämma linjens k- och m-värde. Eftersom m-värdet representerar y-värdet där linjen skär y-axeln kan vi läsa av det i figuren: m=4.

k-värdet representerar linjens lutning och kan bestämmas genom att man undersöker hur y-värdet förändras när x-värdet ökar med 1.

Vi ser att y-värdet ökar med 2 när x-värdet ökar med 1, så k=2. Nu sätter vi in k-och m-värdena i räta linjens ekvation för att få ekvationen för linjen i figuren: y=2x+4.

För att ange sambandet mellan kostnaden och antalet resor måste vi dels ta hänsyn till att ett kort kostar 25 kr och att resorna kostar 9 kr/st. Styckpriset multipliceras med antalet resor, som vi kan kalla x. Då kostar x resor 9x kr. Totala kostnaden, y, är summan av detta och kortpriset: y=9x+25.

Nu ska vi bestämma hur många resor man måste göra för att kostnaden för betalning med rabattkort ska vara lika mycket eller mindre än den för enkelresor. Vi vet att 1 enkelresa kostar 13 kr, så x enkelresor kostar 13xkr. Vi vet också att motsvarande pris för x resor med rabattkort är 9x+25kr. Genom att likställa dessa uttryck och lösa ekvationen får vi reda på hur många resor man behöver åka för att kostnaden med rabattkort och enkelresor ska bli lika.

Vi antar att man bara betalar för hela resor, så för att det ska löna sig att ha ett rabattkort behöver man åka minst 7 resor. Skulle vi ha avrundat nedåt hade det fortfarande varit billigare att köpa enkelbiljetter.

En rät linje kan oftast skrivas på k-form, dvs. y=kx+m. För att bestämma linjens ekvation måste vi alltså bestämma både k- och m-värdet.

m-värde

En rät linjes m-värde är y-värdet där grafen skär y-axeln. Fråna grafen ser vi att den skär y-axeln i (0,2) så m=2. Det ger oss y=kx+2.

k-värde

Den räta linjens k-värde visar dess lutning, dvs. hur mycket den ökar/avtar när man går ett steg åt höger. För att hitta lutningen kan vi sätta in våra punkter i k-formeln.

Funktionens k-värde är k=- 0.5.

Funktion

Nu kan vi skriva funktionen genom att sätta in k- och m-värdet: y=- 0.5 x+2.