body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 2

Linjära funktioner

Linjära funktioner beskriver en rät linje i ett koordinatsystem och skrivs ofta på formen y=kx+m. Här representerar k lutningen av linjen, och m är det y-värde där linjen skär y-axeln. Lutningen, även kallad riktningskoefficient, kan vara positiv (linjen lutar uppåt) eller negativ (linjen lutar nedåt). Om k är 0, blir linjen horisontell. Lutningen kan beräknas genom att dividera skillnaden i y-värde mellan två punkter på linjen med skillnaden mellan x-värdena. Denna skillnad betecknas ofta med den grekiska bokstaven delta. Linjära funktioner är ett viktigt verktyg inom matematiken och används i många olika sammanhang, från ekonomi till fysik.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	28 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Linjära funktioner

Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Linjär funktion
$k -$ värde
Riktningskoefficient
$m -$ värde
Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Koncept

Linjär funktion

En linjär funktion är en funktion vars graf är en icke-vertikal linje.

Linjära funktioner kan skrivas i följande form, den så kallade

k -

formen.

y = k x + m

I denna formel är

k

och

m

konstanter.

k -

värdet anger linjens lutning och

m -

värdet är det värde där linjen skär

y -

axeln.

Koncept

$k -$ värde

För en rät linje anger konstanten $k$ lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i $y -$ led när man går $1$ steg åt höger i $x -$ led. Denna lutning kallas oftast bara för $k -$ värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt $k -$ värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt $k -$ värde innebär att den lutar nedåt. Om $k$ är $0$ har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Regel

Riktningskoefficient

Formeln för att beräkna $k -$ värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

$k = \frac{Δ y}{Δ x} eller k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Δ

är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i

y -

värde mellan två punkter på linjen,

(x_{1}, y_{1})

och

(x_{2}, y_{2}),

och dividerar med skillnaden mellan

x -

värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Drar man i punkterna kan man se att

k -

värdet för linjen är konstant även om skillnaden i

x

och

y -

led förändras.

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Ledtråd

Hitta den horisontella och vertikala förflyttningen mellan två punkter på linjen.

Lösning

I koordinatsystemet är $1$ steg längs $x -$ axeln lika stort som $1$ steg längs $y -$ axeln. Därför kan vi bestämma linjens lutning genom att räkna antalet steg man måste gå i $y -$ led för varje steg man går i $x -$ led.

Man går alltså $3$ steg uppåt vilket betyder att linjens lutning är $k = 3 .$

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna

(2, 1)

och

(4, 5) ?

Ledtråd

Använd formeln för lutning.

Lösning

Lutningen på en linje ges av

k -

värdet och detta kan beräknas med

k -

formeln, dvs. genom att dividera skillnaden i

y -

led med skillnaden i

x -

led. Vi sätter in punkternas koordinater i formeln. Det spelar ingen roll i vilken ordning de sätts in så länge den är samma i täljaren och nämnaren.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(4, 5)$ & $(2, 1)$

k = \frac{5 - 1}{4 - 2}

SubTerms

Subtrahera termer

k = \frac{4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 2

Linjen har lutningen

2 .

Övning

Hitta linjens lutning med hjälp av formeln för lutning

Hitta lutningen för en linje som går genom de givna punkterna med hjälp av formeln för lutning.

Koncept

$m$ -värde

För en rät linje skriven på $k -$ form, kan konstanten $m$ tolkas som ett mått på linjens förskjutning i $y -$ led från origo. Det läses av som det $y -$ värde där linjen skär $y -$ axeln.

Metod

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Man kan bestämma ekvationen för en linje om man vet att linjen går genom två punkter, t.ex.

(2, - 1) och (7, 19) .

Linjens ekvation kan skrivas i tre steg.

Bestäm

k -

värdet

Linjens

k -

värde kan bestämmas med

k

-formeln. Man kan exempelvis låta

(2, - 1)

vara punkt

1

och

(7, 19)

vara punkt

2 .

(2, - 1) (7, 19) \to (x_{1}, y_{1}) \to (x_{2}, y_{2})

Därefter sätter man in koordinaterna i

k -

formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(7, 19)$ & $(2, - 1)$

k = \frac{1 9 - ( - 1 )}{7 - 2}

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

k = \frac{1 9 + 1}{7 - 2}

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

k = \frac{2 0}{5}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 4

Bestäm

m -

värdet

När man har bestämt

k -

värdet sätter man in det i

k -

formen. I det här fallet får man

y = 4 x + m .

Med hjälp av en av de kända punkterna, t.ex.

(7, 19),

kan man nu bestämma

m .

Man sätter alltså in punktens koordinater och löser ut

m .

y = 4 x + m

SubstituteII

$x = 7$ och $y = 19$

19 = 4 \cdot 7 + m

Multiply

Multiplicera faktorer

19 = 28 + m

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

28 + m = 19

SubEqn

$VL - 28 = HL - 28$

m = - 9

Bestäm linjens ekvation

Nu vet man både

k -

och

m -

värdet, och då kan man ställa upp linjens ekvation. I det här fallet blir den

y = 4 x - 9 .

Linjära funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.