Likformighet och kongruens

För likformiga figurer får man samma kvot om man dividerar motsvarande sidor med varandra. Vi får alltså samma kvot om vi dividerar stora triangelns bas med lilla triangelns bas som om vi dividerar stora triangelns högra sida med samma sida på den lilla. Det ger oss att 10/x = 8/6. Det hade gått lika bra att dela sidlängderna för den lilla triangeln med de för den stora, så länge man gör på samma sätt på båda sidor om likhetstecknet: x/10 = 6/8. Båda dessa ekvationer ger samma svar, men vi väljer att lösa den andra där x redan står i täljaren.

Den okända sidan x har längden 7,5 le.

Vi känner till basen för båda trianglarna, vilket gör att vi kan ställa upp en kvot för att bestämma de båda okända sidorna. Vi delar basen för den stora triangeln med basen för den lilla och sätter det lika med samma division för den högra sidan i trianglarna. 15/10 = y/9,2. Vi löser nu ut y.

Nu har vi bestämt y: y = 13,8 le.

I likformiga figurer är kvoten mellan motsvarande sidor lika stora. Det innebär att vi får samma kvot när vi dividerar den stora triangelns bas med den lilla triangelns bas som när vi dividerar den stora triangelns högra sida med den lilla triangelns högra sida: z/4=20/5. Vi löser nu ekvationen.

Den okända sidan z är alltså 16 le.

Vi använder samma lösningsmetod som i föregående deluppgift och börjar med att ställa upp ekvationen x/9=99/11. Denna visar att kvoten mellan motsvarande sidor i trianglarna är lika. Genom att lösa ekvationen bestämmer vi x.

Sidan x är alltså 81 le.

Eftersom figurerna är likformiga gäller att om vi dividerar basen i den stora triangeln med basen i lilla kommer denna kvot vara samma som om vi dividerar någon av de andra sidorna i stora triangeln med motsvarande den lilla. Vi använder detta samband ställa upp ekvationen x/2,4=4,2/1,05. Vi löser nu ekvationen för att bestämma x.

Vi använder samma metod igen för att bestämma y. Ekvationen blir då y/2,1=4,2/1,05. Genom att lösa denna kan vi bestämma y.

Sidornas längder är x=9,6 le. och y=8,4 l.e.

Vi utnyttjar även här att kvoten mellan motsvarande sidor i likformiga figurer är lika. Vi börjar med att dividera x med motsvarande sida 2,5 i den mindre fyrhörningen och likställa det med 18 dividerat på 6. Då får vi ekvationen x/2,5=18/6. Vi löser denna för att bestämma x.

Vi fortsätter nu med att bestämma y, och gör det med samma metod som tidigare. Vi använder återigen den kända kvoten mellan figurernas ovansida.

Nu återstår bara att bestämma z. För att få variabeln i täljaren vänder vi på sambandet och delar den lilla figurens sidor med motsvarande i den stora.

Vi kan alltså konstatera att sida x är 7,5 le., sida y är 6 le. och sida z är 5 le.

För att lättare se vilka sidor som motsvarar varandra vrider vi figurerna så att motsvarande sidor har samma relativa position. Det enklaste är att identifiera de längsta eller kortaste sidorna och vrida en eller båda figurer så att dessa sidor hamnar på samma ställe. Vi vrider båda figurer.

Nu kan vi para ihop motsvarande sidor i figurerna: a → x, b → y, c → z, d → w.

Vi vrider figurerna så att de längsta sidorna, dvs. e och u ligger längst ner. För att få figurerna att matcha spegelvänder vi även den mindre femhörningen.

Nu kan vi para ihop motsvarande sidor i figurerna: a → w, b → z, c → y, d → z, e → u.

Eftersom rektanglarna är likformiga är förhållandet mellan motsvarande sidor likadant. Vi vrider den mindre rektangeln för att enklare se hur kort- och långsidor förhåller sig till varandra.

Vi får samma förhållande om vi delar den stora rektangelns långsida med den lilla rektangels långsida som om vi delar den stora rektangelns kortsida med kortsidan för den lilla. Gör vi det får vi sambandet 15/x = 9/6. Nu har vi en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Den okända sidan x är alltså 10 le.

För att lättare se vilka sidor som motsvarar varandra roterar vi den stora femhörningen.

Här vill vi gärna ha x i täljaren, så vi dividerar den stora femhörningens sidor med motsvarande sidor i den lilla femhörningen. Det ger oss ekvationen x1 = 52, som vi kan lösa ut x ur.

Längden på den okända sidan x är 2,5 le.

Vi vet inget om femhörningarnas vinklar så enda sättet att avgöra om de är likformiga är med sidlängderna. Vi vänder den ena så att de får samma position.

Vi avgör sedan likformighet på två sätt.

Avgör likformighet med beräkningar

Om figurerna är likformiga ska kvoten mellan alla motsvarande sidor vara lika stor. Det räcker att vi hittar två kvoter som inte är samma för att veta att de inte är likformiga. Vi bestämmer kvoten mellan de minsta sidorna i figuren och går sedan medurs i figurerna: 0,48/0,8=0,6, 0,6/1=0,6, 0,63/1=0,63. Kvoten mellan 0,63 och 1 är större än övriga kvoter som beräknades. Detta innebär att figurerna inte är likformiga.

Avgör likformighet med resonemang

I den större femhörningen är två sidor 1 men i den mindre är motsvarande sidor 0,6 respektive 0,63. Om de är likformiga ska sidorna 0,6 och 0,63 vara lika stora eftersom de motsvarande sidorna i den större femhörningen är det. De är alltså inte likformiga.

Vi vet att fyrhörningarna är likformiga och att den stora har sidlängder som är 2.5 gånger så långa som den lilla. Det innebär till exempel att sidan 4 på den stora fyrhörningen är 2.5 gånger så stor som x på den lilla. Det kan vi skriva som 2,5 * x = 4.

Dividerar vi båda sidor med 2,5 får vi x = 4/2,5 = 1,6. Den okända sidan x är alltså 1,6 m.

Eftersom kongruenta trianglar har lika långa sidor och lika stora vinklar kan vi bestämma de saknade sidorna och vinklarna genom att läsa av motsvarande vinklar i triangeln bredvid. Det innebär alltså att vi genom att jämföra med den gula triangeln ser att x= 4 le. och u=125,1^(∘) i den gröna triangeln. På motsvarande sätt kan vi bestämma den gula triangelns sidor och vinklar och får då två trianglar som är helt identiska med avseende på vinklar och sidor.

Övriga okända sidor och vinklar är alltså: z=5 le., u=125,1^(∘), v=30,8^(∘) och w=24,1^(∘).

Två figurer är kongruenta om de är identiska, dvs. kopior av varandra. För att vara det måste

• motsvarande vinklar i figurerna vara lika stora och
• motsvarande sidor i figurerna vara lika stora.

Figur A

Figur A har lika stora sidor som den gröna parallellogrammen, men är inte kongruent med den eftersom den har vinklarna 90^(∘) i varje hörn och inte 63^(∘) och 117^(∘).

Figur B

I figur B är alla vinklar lika stora, men sidorna är inte lika långa. Den är alltså inte kongruent med den gröna parallellogrammen.

Figur C

Figur C har samma sidlängder och samma vinklar som den gröna parallellogrammen. Alltså är den kongruent med den. Att den är roterad spelar ingen roll.

Vi vet att rektanglarna är likformiga. Vi kallar långsidan på B för x.

Vi delar stora långsidan med lilla långsidan och sätter detta lika med samma kvot för kortsidorna, vilket ger en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Långsidan för rektangel B är alltså 18 cm.